%I M0829#118 2023年7月27日12:37:47

%第1,1,1,2,3,7,11,26,41,9715336257113512131504279531881729681页，

%电话：7022611077126208741340397812215428413650401575796113623482，

%电话：2148900350843527801980518975062993032017081589771117014753

%N a（N）=（1+a（N-1）*a（N-2））/a（N-3），a（0）=a（1）=a（2）=1。

%对于n>=4，我们有线性递归a（n）=4*a（n-2）-a（n-4）艾哈迈德·法尔斯（ahmedfares（AT）my-deja.com），2001年6月4日

%方程floor的C整数解（sqrt（3）*x^2）=x*floor（sqrt（3）*x）。-_Benoit Cloitre_，2004年3月18日

%C对于n>2，a（n）是最小的整数>a（n-1），使得sqrt（3）*a（n。也就是说，a（n）是最小整数>a（n-1），因此frac（sqrt（3）*a（n_Benoit Cloitre_，2003年1月20日

%C下主和中间收敛到3^（1/2），从1/1、3/2、5/3、12/7、19/11开始，形成严格递增序列；基本上，分子=A143643，分母=A005246_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2008年8月27日

%C这个序列是下列情况的一个特殊情况：a（0）=1，a（1）=a，a（2）=b，递归关系a（n+3）=（a（n+2）*a（n+1）+q）/a（n），其中q在Z中给定，q=（a*b^2+q*b+a+q）/（a*b）本身在Z中。2+Z^4）；所以我们有线性递归：a（n+4）=Q*a（n+2）-a（n）。a（n）的一般形式为：a（2*m）=和{p=0..floor（m/2）}（-1）^p*二项式（m-p，p）*Q^（m-2*p）+（b-Q）*和{p=0.floor（（m-1）/2）}，p）*Q^（m-2*p）+（a*b+Q-a*Q）*Sum_{p=0..floor（（m-1）/2）}（-1）^p*二项式（m-1-p，p）*Q^_Richard Choulet_，2010年2月24日

%C来自Tim Monahan，2011年7月7日：（开始）

%C在封闭式公式中，

%C平方码（2+sqrt（3））^n=（（sqrt）（6）+sqert（2））/2）^n；

%C-平方码（2+平方码（3））^n=（（-sqrt（6）-sqrt（2））/2）^n；

%C平方（2平方（3））^n=（（平方（6）-平方（2））/2）^n；

%C-平方（2平方（3））^n=（（平方（2）-平方（6））/2）^n。

%C（结束）

%对于n>1，C a（n）是（floor（m^2/3）+1）的整数平方根，其中m的值由A143643给出。另请参见A082630_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2013年11月14日

%C a（n）=（1+a（n-1）*a（n-2））/a（n-3）递归具有Laurent属性。如果a（0）、a（1）和a（2）是变量，那么a（n）是一个洛朗多项式（具有单项式分母的有理函数）_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2019年2月27日

%D Serge Lang，Diophantine近似介绍，Addison-Wesley，纽约，1966年。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..500时的a（n）</a>

%H Reid Barton，<a href=“https://factory.uml.edu/jpropp/reach/Barton/b-interp.html“>序列1、1、2、6、21、77…的组合解释</a>

%H Reid Barton，序列1、1、2、6、21、77…的组合解释</a> ，[带注释的扫描副本]

%H Peter Cameron的博客，<a href=“https://cameroncounts.wordpress.com/2011/06/23/the-ade-affair-3/“>ADE事件，3</a>，发布于2011年6月23日。

%H T.克里利，<a href=“网址：http://www.jstor.org/stable/3617570“>正整数的双序列，《数学杂志》，69（1985），263-271。

%H Enrica Duchi、Andrea Frosini、Renzo Pinzani和Simone Rinaldi，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Duchi/doch4.html“>关于有理继承规则的注释，J.Integer Seqs.，第6卷，2003年。

%H R.K.Guy，致N.J.a.Sloane的信，1986年2月</a>

%H克拉克·金伯利，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/s000170050020“>最佳上下近似无理数</a>，Elemente der Mathematik，52（1997）122-126。

%H Valentin Ovsienko，Serge Tabachnikov，<a href=“https://arxiv.org/abs/1705.01623“>双数、加权箭袋和扩展Somos和Gale-Robinson序列，arXiv:1705.01623[math.CO]，2017年。见第10页。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，1031生成函数，论文附录，蒙特利尔，1992年

%H<a href=“/index/Rec#order_04”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（0,4,0，-1）。

%财务报表：（1+x-3*x^2-2*x^3）/（1-4*x^2+x^4）。

%F极限{n->oo}a（2n+1）/a（2n）=（3+sqrt（3））/3=1.5773502。。。；lim_{n->oo}a（2n）/a（2n-1）=（3+sqrt（3））/2=2.3660254….-Benoit Cloitre，2002年8月7日

%F A101265（n）=a（n）*a（n+1）.-_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2006年4月24日

%2006年11月15日Z.-Michael Somos中所有n的F a（n）=a（2-n）

%F a（2*n+1）=A001075（n）。a（2*n）=A001835（n）。a（2*n+1）-a（2*n）=a（2*n+2）-a_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年5月24日

%F对于n>2:a（n）=a（n-1）+和{k=1..floor（（n-1，/2）}a（2*k）.-_Reinhard Zumkeller_，2007年12月16日

%F From _Richard Choulet_，2010年2月24日：（开始）

%F a（2*m）=和{p=0..floor（m/2）}（-1）^p*二项式（m-p，p）*4^（m-2*p）-3*和{p=0.floor（（m-1）/2）}。

%F a（2*m+1）=和{p=0..floor（m/2）}（-1）^p*二项式（m-p，p）*4^（m-2*p）-2*和{p=0.floor（（m-1）/2）}。（结束）

%F From _Tim Monahan，2011年7月1日：（开始）

%F不带额外前导符的闭合形式1:（（sqrt（6）+3）*（sqert（2+sqrt）（3））^n+（sqrt（2-sqrt。

%F带额外前导的闭合形式1:（（6+3*sqrt（6）-2*sqert（3）-3*sqrt（2））*+2*sqrt（3）-3*sqert（2））*（-sqrt（2-sqrt）^n））/24。（结束）

%F a（2*n+2）=和{k=0..n}2^k*二项式（n+k，2*k）；当n>=1时，a（2*n+1）=Sum_{k=0..n}n/（n+k）*2^k*二项式（n+k，2*k）。A211956.-行总和_Peter Bala，2012年5月1日

%F a（n）=（（平方码（2）+平方码（3）+（-1）^n*（平方码_Gerry Martens_，2015年6月6日

%2017年2月10日，Z.-Michael Somos_中，如果n是偶数，F 0=a（n）-2*a（n+1）+a（n+2），如果n对所有n都是奇数

%e.G.f.=1+x+x^2+2*x^3+3*x^4+7*x^5+11*x^6+26*x^7+41*x^8+。。。

%e发件人_Richard Choulet_，2010年2月24日：（开始）

%e a（4）=4^2-4^0-3*4^1=3。

%e a（7）=4^3-4*二项式（2,1）-2*（4^2-1）=26。（结束）

%p A005246:=-（-1-z+2*z**2+z**3）/（1-4*z**2+z**4）；#由西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）在1992年的论文中推测。给出除前导1以外的序列。

%p对于从1到10的q do:a:=1:b:=1:q:=（a*b^2+q*b+a+q）/（a*b）：对于从0到15的m do U（m）：=总和（（-1）^p*二项式（m-p，p）*q^（m-2*p），p=0..floor（m/2））+（b-q）*总和（-1）m从0到15 do V（m）：=a*总和（（-1）^p*二项式（m-p，p）*q^（m-2*p），p=0..楼层（m/2））+（a*b+q-a*q）*总和*Q^（m-1-2*p），p=0..层（（m-1）/2）：od：对于0到15 do W（2*m）的m：=U（m）：od:对于0到14 do W的m（2*m+1）：=V（m）:od:seq（W（m），m=0..30）：od；#_Richard Choulet_，2010年2月24日

%t循环表[{a[0]==a[1]==a[2]==1，a[n]==（1+a[n-1]a[n-2]）/a[n-3]}，a，{n，40}]（*哈维·P·戴尔，2013年5月28日*）

%t a[n_]：=余弦[（n-1）*ArcSinh[1/Sqrt[2]]*If[EvenQ[n]，Sqrt[2/3]，1]；表[a[n]//FunctionExpand，{n，0，34}]（*_Jean-François Alcover_，2014年12月10日，在_Peter Bala_*之后）

%t a[n_]：=与[{m=如果[n<0，2-n，n]}，级数系数[（1+x-3x^2-2x^3）/（1-4x^2+x^4），{x，0，m}]]；（*迈克尔·索莫斯，2017年2月10日*）

%o（PARI）{a（n）=如果（n<0，n=2-n）；polceoff（（1+x-3*x^2-2*x^3）/（1-4*x^2+x^4）+x*o（x^n），n）}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年11月15日*/

%o（PARI）{a（n）=实（（2+四元数（12））^（n\2）*if（n%2，1，1-1/四元数））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2012年5月24日*/

%o（哈斯克尔）

%o a005246 n=a005246_列表！！n个

%o a005246_list=1:1:1:map（+1）（zipWith div

%o（zipWith（*）（放置2个005246_list）（尾部a005246_ list））005246_1list）

%o——Reinhard Zumkeller，2012年3月7日

%Y等分为A001835和A001075。

%Y参考A101265。A211956的行总和。

%Y参考A001353。

%放松，不，很好

%0、4

%A _N.J.A.斯隆_

%E更多来自Michael Somos的术语，2001年8月1日