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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A005148美元 与Pi的快速收敛序列相关的系数序列。
(原名M5290)
10
0, 1, 47, 2488, 138799, 7976456, 467232200, 27736348480, 1662803271215, 100442427373480, 6103747246289272, 372725876150863808, 22852464771010647496, 1405886026610765892544, 86741060172969340021952 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
Newman和Shanks的论文有一个Don Zagier的附录,该附录最终为序列本身提供了一个有效的递归算法,而主要的论文将每个项单独处理,这一过程要慢得多。使用Zagier的附录,在500MHz Alpha上运行PARI/GP可以在25秒内计算出1000个项-大卫·布罗德赫斯特,2002年6月17日(请参阅此处的第二版PARI代码)
推测:以下两个定义给出了相同的序列:(1)数字k,8^m是2除以a(k)的最大幂,(2)数字k的二进制表示形式正好是(m+1)1。A018900型是特例m=1-贝诺伊特·克洛伊特,2002年6月22日,编辑雨果·普福尔特纳2021年8月21日
猜想:存在多项式P_k(x),使得P_(m)=j_m(tau)^k的常数项,其中j_m是Hecke群G(lambda_m)的模,j_3是常数项为744的Klein不变量j,P_(x)=a(k+1)乘以一元多项式的乘积-巴里·布伦特2022年11月25日
参考文献
F.Beukers,致D.Shanks的信,1984年3月13日
J.M.Borwein和P.B.Borwein.,《Pi和AGM》,威利出版社,1987年,第195页;参见练习6(a)。
D.Shanks,《数论中已解决和未解决的问题》,纽约切尔西出版社,1985年,第255-7276页
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..555时的n,a(n)表(T.D.Noe的前101个术语)
巴里·布伦特,文件夹:“当前草稿”
巴里·布伦特,关于Hecke群的某些亚纯模形式的常数项,arXiv:2212.12515[math.NT],2022年。
巴里·布伦特,关于某些Laurent级数的常数项,预印本(2023)2023061164。
M.Newman和D.Shanks,关于π的级数产生序列,数学。公司。,42 (1984), 199-217.
D.柄,致N.J.A.Sloane的信,日期未知。还包括N.J.A.斯隆的一些笔记。
配方奶粉
a(n)=(1/24)*乘积{k>=1}(1+x^(2k-1))^(24n)中x^n的系数。
渐近(D.Zagier):a(n)=C*(64^n)/sqrt(n)*(1-a/n+b/n^2+…),C=(sqrt(Pi)/12)*伽马(3/4)^2/伽马(1/4)^2=0.0168732651。。。。;a=6*伽马(3/4)^4/伽马(1/4)^4=0.078300067…,b=60*伽马(3/4)^8/伽马(1/4)^8-1/128=0.002405668-贝诺伊特·克洛伊特2002年6月22日;常数“a”的数值由修正瓦茨拉夫·科特索维奇,2013年7月28日
这些常数的替代表达式:C=Pi^(5/2)/(6*Gamma(1/4)^4),a=24*Pi^4/Gamma-瓦茨拉夫·科特索维奇,2013年7月28日
A076657号(n) =Sum_{i=0..n}二项式(2*n-2*i,n-i)^3a(i)=(1/24)*二项式-拉尔夫·斯蒂芬2002年10月24日
(Pi/(2K(q)))^2/(1-2*K(q)^2)-1)/24的展开式为(K'(q)*K(q/4)^2的幂。[博文和博文,6(a)(i)]-迈克尔·索莫斯,2014年7月6日
((Pi/(2K(q)))^2/(1+K(q)^2)-1)/24的展开式,其幂为。[博文和博文,6(a)(ii)]-迈克尔·索莫斯,2014年7月6日
例子
G.f.=x+47*x^2+2488*x^3+138799*x^4+7976456*x^5+467232200*x^6+。。。
数学
a[n]:=a[n]=(二项式[2n,n](16^n-二项式[2],n]^2))/24-和[二项式[20n-2i,n-i]^3a[i],{i,0,n-1}]
a[n_]:=如果[n<1,0,SeriesCoefficient[ComposeSeries[Series[(Pi/(2椭圆[m]))^2/;(*迈克尔·索莫斯2014年7月6日*)
a[n_]:=如果[n<1,0,SeriesCoefficient[ComposeSeries[Series[(Pi/(2EllipticK[m]))^2/(1+m)-1)/24,{m,0,n}],逆级数[Series[-(1-m)^-2 m/16,{m、0,n{]],{m;(*迈克尔·索莫斯2014年7月6日*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,polceoff(prod(k=1,(n+1)\2,1+x^(2*k-1),1+x*O(x^n))^(24*n),n)/24)};
(PARI){nt=1000;a=[1];b=[1];d=1;e=0;g=0;打印(1);对于(n=2,nt,c=48*(a[n-1]+g)+128*(d-32*e);e=d;d=c;i=(n-1)\2;g=12*如果(n%2==0,a[n/2]^2)+24*总和(j=1,i,a[j]*a[n-j]);h=12*if(n%2==0,b[n/2]^2)+24*总和(j=1,i,b[j]*b[n-j]);f=(c+5*h)/n^2-g;a=连接(a,f);b=连接(b,n*f);打印(f))}/*Broadhurst 2002*/
(PARI){a(n)=如果(n<1,0,va[n])}{b(n)=n*a(n”)}{doit(nt)=局部(c,d,e,g);va=向量(nt);va[1]=1;d=1;e=0;g=0;对于(n=2,nt,c=48*(a(n-1)+g)+128*(d-32*e);e=d;d=c;g=12*如果(n%2=0,a(n/2)^2)+24*和(j=1,(n-1)\2,a(j)*a(n-j));va[n]=(c+5*(12*如果(n%2==0,b(n/2)^2)+24*总和/*迈克尔·索莫斯2002年11月5日*/
(PARI){a(n)=局部(an,cb);如果(n<1,0,an=cb=向量(n,i,二项式(2*i,i));an[1]=1;对于(j=2,n,an[j]=(cb[j]*16^j-cb[j]^3)/24-和(i=1,j-1,cb[j-i]^3*an[i]);an[n])}/*迈克尔·索莫斯2004年3月9日*/
交叉参考
囊性纤维变性。A005149号A076657号A018900型.
囊性纤维变性。A060236级(减少模块3)。
关键词
非n容易的美好的
作者
扩展
更多术语来自迈克尔·索莫斯2001年11月24日
状态
已批准

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上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月29日06:57。包含371265个序列。(在oeis4上运行。)