%I M1278#243 2022年7月5日03:26:54

%S 2,4,14,521947242702100843763414045252417419562447300802，

%电话：272469641016870543795012521416317954528577056419726764302，

%电话：736212866442747583822741025412245238268905875341428215010768453301709843202198924689265124

%N a（N）=4*a（N-1）-a（N-2），a（0）=2，a（1）=4。

%C a（n）给出满足x^2-3*y^2=4的x值；相应的y值由2*A001353（n）给出。

%如果M是序列的任何给定项，那么下一项是2*M+sqrt（3*M^2-12）_Lekraj Beedassy，2002年2月18日

%C当n>0时，三个数字a（n）-1、a（n；或A（n）=3*A001353（2*n）/2且其半周长为3*A[n]/2。该序列是关于a[0]对称的，即a[-n]＝a[n]。

%C对于n>0，a（n）+2是2*nX2克莱因瓶的二聚体数（参见A103999）。

%C Tsumura证明，对于素数p，a（p）是复合的（与Juricevic的猜想相反）_Charles R Greathouse IV，2010年4月13日

%C除第一项外，x（或y）的正值满足x^2-4*x*y+y^2+12=0_科林·巴克，2014年2月4日

%C除第一项外，x（或y）的正值满足x^2-14*x*y+y^2+192=0_科林·巴克，2014年2月16日

%C A268281（n）-1是该序列的成员，前提是A268281n是素数_Frank M Jackson，2016年2月27日

%C a（n）给出了满足3*x^2-4*y^2=12的x值；A005320给出了相应的y值_Sture Sjöstedt，2017年12月19日

%C几乎等边的希腊三角形的中间边长_韦斯利·伊万·赫特，2020年5月20日

%C对于序列的所有元素k，3*（k-2）*（k+2）是一个正方形_戴维德·罗通多，2020年10月25日

%D B.C.Berndt，Ramanujan笔记本第四部分，Springer-Verlag，见第82页。

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%H T.D.Noe，n表，n=0..200时的a（n）</a>

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%H Yu Tsumura，<a href=“http://arxiv.org/abs/1004.1244“>关于特殊类型整数的复合性，arXiv:1004.1244[math.NT]，2010。

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%H A.V.Zarelua，<A href=“https://doi.org/10.1007/s11006-006-0090-y“>关于费马小定理的矩阵类比，数学笔记，第79卷，第6期，2006年，第783-796页。翻译自Matematicheskie Zametki，第79卷，第6期，2006年，第840-855页。

%H<a href=“/index/Rea#recurse1”>重复周期的索引条目a（n）=k*a（n-1）+/-a（n-2）</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_02”>带常数的线性重复出现的索引条目，签名（4，-1）。

%F a（n）=（2+平方码（3））^n+（2-平方码（2））^ n。

%F a（n）=2*A001075（n）。

%F G.F:2*（1-2*x）/（1-4*x+x^2）_西蒙·普劳夫（Simon Plouffe）在1992年的论文中写道。

%F a（n）=A001835（n）+A001836（n+1）。

%F a（n）=2 X 2矩阵n次幂的迹[1 2/1 3]_Gary W.Adamson_，2003年6月30日[由Joerg Arndt_更正，2020年6月18日]

%F从加法公式a（n+m）=a（n）*a（m）-a（m-n），很容易导出乘法公式，如：a（2*n）=（a（n））^2-2，a（3*n）=（a（n））^3-3*（a（n）），a（4*n）=（a（n））^4-4*（a（n））^2+2，a（5*n）=（a（n））^5-5*（a（n））^3+5*（a（n）），a（6*n）=（a（n））^6-6*（a（n））^4+9*（a（n））^2-2等。展开式中系数的绝对值由三角形A034807给出_约翰·布莱斯·多布森，2007年11月4日

%F a（n）=2*A001353（n+1）-4*A001533（n）_R.J.Mathar，2007年11月16日

%F From _Peter Bala，2013年1月6日：（开始）

%设F（x）=乘积{n=0.无穷}（1+x^（4*n+1））/（1+x^（4*n+3））。设alpha=2-sqrt（3）。这个序列给出了1+F（alpha）=2.24561 99455 06551 88869…=的简单连分式展开式2 + 1/(4 + 1/(14 + 1/(52 + ...))). 参见A174500。

%F（α）=0.74544 81786 39692 68884。。。具有连分式表示1-1/（4-1/（14-1/（52-…））和简单连分式展开1/（1+1/（（4-2）+1/（1+1/（（14-2）+1/。

%F F（α）*F（-alpha）具有简单的连分式展开式1/（1+1/（（4^2-4）+1/（1+1/（（14^2-4。

%F（结束）

%F a（2^n）=A003010（n）_约翰·布莱斯·多布森，2014年3月10日

%F a（n）=[x^n]（（1+4*x+sqrt（1+8*x+12*x^2））/2）^n对于n>=1.-_Peter Bala，2015年6月23日

%例如：2*exp（2*x）*cosh（sqrt（3）*x）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2016年4月27日

%F a（n）=和{k=0.楼层（n/2）}（-1）^k*n*（n-k-1）/（k！*（n-2*k）！）*n>=1时为4^（n-2*k）_Peter Luschny_，2016年5月10日

%F From _Peter Bala，2019年10月15日：（开始）

%F a（n）=迹（M^n），其中M是2X2矩阵[0，1；-1，4]。

%因此，对于所有素数p和正整数n和k，高斯同余成立：a（n*p^k）=a（n*p^（k-1））（mod p^ k）。参见Zarelua和Stanley（第5章，例5.2（a）及其解）。

%F2*Sum_{n>=1}1/（a（n）-6/a（n））=1。

%F6*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）+2/a（n））=1。

%F8*Sum_{n>=1}1/（a（n）+24/（b（n）-12/（a（m）））=1。

%F8*Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/（a（n）+8/（a。

%F系列倒数和加速度公式：

%F和{n>=1}1/a（n）=1/2-6*和{n>=1}1/（a（n，

%F和{n>=1}1/a（n）=1/8+24*和{n>=1}1/（a（n，

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1/6+2*和{n>=1}

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=1/8+8*和{n>=1}（-1^（n+1）/（a（n）*（a（n^2+12）））。

%F和{n>=1}1/a（n）=（θ_3（2-sqrt（3））^2-1）/4=0.34770 07561 66992 06261。。。。参见Borwein和Borwein3.5（i）号提案，第91页。

%F Sum_{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=（1-θ_3（sqrt（3）-2）^2）/4。参见A003499和A153415。（结束）

%F a（n）=tan（Pi/12）^n+tan（5*Pi/12

%F From_Wolfdieter Lang，2021年9月6日：（开始）

%F a（n）=S（n，4）-S（n-2，4）=2*T（n，2），对于n>=0，使用S和T切比雪夫多项式，其中S（-1，x）=0，S（-2，x）=-1。S（n，4）=A001353（n+1），对于n>=-1，且T（n，2）=A001075（n）。

%F a（2*k）=A067902（k），a（2xk+1）=4*A001570（k+1），对于k>=0。（结束）

%F a（n）=平方（2+2*A011943（n+1））=平方_拉尔夫·斯坦纳（Ralf Steiner），2021年9月23日

%p A003500：=程序（n）选项记忆；如果n<=1，则2*n+2，否则4*procname（n-1）-procname（n-2）；fi；

%p端程序；

%ta[0]=2；a[1]=4；a[n]：=a[n]=4a[n-1]-a[n-2]；表[a[n]，｛n，0，23｝]

%t线性递归[{4，-1}，{2,4}，30]（*哈维·P·戴尔，2011年8月20日*）

%t表格[LucasL圆形[2n，Sqrt[2]，{n，0，20}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2016年9月15日*）

%o（Sage）[lucas_number2（n，4,1）for n in range（0，24）]#_Zerinvary Lajos_，2009年5月14日

%o（哈斯克尔）

%o a003500 n=a003500_列表！！n个

%o a003500_list=2:4:zipWith（-）

%o（映射（*4）$tail a003500_list）a003500_list

%o--_Reinhard Zumkeller_2011年12月17日

%o（PARI）x='x+o（'x^99）；Vec（-2*（-1+2*x）/（1-4*x+x^2））\\_Altug Alkan_，2016年4月4日

%o（岩浆）I:=[2,4]；[n le 2选择I[n]else 4*Self（n-1）-Self，n-2）：n in[1..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2018年11月14日

%Y参考A001075、A001353、A001835。

%Y参考A011945（区域），A334277（周长）。

%Y参考该序列（中间边长）、A016064（最小边长）和A335025（最大边长）。

%Y参见A001570、A002530、A005320、A006051、A048788、A174500、A268281。

%Y参考A011943，A102344。

%不，简单，好

%0、1

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自James A.Sellers_的更多条款，2000年5月3日

%E列克拉·比达西的补充意见，2002年2月14日