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可能是有限的。
对于n>1，数字0不会出现。因此数字1不会出现，所有术语都有按非递减顺序排列的数字。
a（n）最多由1-3组成，最多由1-2组成，但不包括两者。如果它们同时包含这两个数字，则可以用一个数字6替换，给出一个较小的数字。两个三可以替换为一个9。类似地，最多有一个四和一个六，但不是两个都有。两个六可以替换为49。四和六可以替换为三和八。对于n>2，偶数和5不会同时出现。
综上所述，n>2的a（n）项由7、8和9组成，其前缀为以下一组数字之一：{{}、{2}、}3、{4}、[6}、[2,6}，[3,5}，{5,5，…}}[由修订酒井小平2017年5月27日]
不超过10^200。（结束）
设p（n）是n的位数的乘积，p（n）是n的乘法持久性。任何p（n）>1都必须只有来自两个集合{2,3,7}或{3,5,7}之一的素因子。以下是所有p（n）<10^20000的情况：
p（n）=10时的最大p（n）是2^4*3^20*7^5。唯一已知的其他此类p（n）是p（a（11））=2^19*3^4*7^6。
p（n）=9的最大p（n）是2^33*3^3（12位数字）。
p（p（n））=8的最大p（n）为2^9*3^5*7^8（12位数字）。
p（n）=7的最大p（n）是2^24*3^18（16位数字）。
p（n）=6的最大p（n）是2^24*3^6*7^6（16位数字）。
p（n）=5的最大p（n）是2^35*3^2*7^6（17位数字）。
p（n）=4的最大p（n）是2^59*3^5*7^2（22位数字）。
p（n）=3的最大p（n）是2^4*3^17*7^38（42位数字）。
p（n）=2的最大p（n）是2^25*3^227*7^28（140位）。
所有介于10^140和10^20000之间的p（n）都具有1的持久性，这意味着它们包含一个0数字。（结束）
本杰明·查芬的评论暗示，截至20585年10月，没有其他条款。对于每一个持续性大于1的介于10^200和10^20585之间的数字N，N的位数的乘积在10^140和10^20000之间，并且每个乘积的持续性都为1-大卫·拉德克利夫2019年3月22日
设p_10（n）是以10为基数的n的数字的乘积。我们可以通过n DP_10 m在n上定义等价关系DP_10当且仅当p_10（n）=p_10；等价关系的名称DP_b代表“以b为基数表示的数字乘积”。当且仅当p_10（n）=p_10；即，如果它是该类别中的最小数量；它也称为约化数。
对于除乘法持久性2以外的任何乘法持久化，具有该乘法持久度的类代表数集被推测为有限的。
每个类代表数表示具有相同乘法持久性的无限组数。
对于乘法持久性2，只有以数字0结尾的类代表数集是无限的。不同乘法持久性（mp）的类代表数表如下所示：
最后一位数
mp总计0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
====================================================
0 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 inf信息0 4 0 1 1 5 0 7 0
3 12199 12161 0 8 0 3 3 8 0 16 0
4 408 342 0 14 0 5 4 19 0 24 0
5 151 88 0 9 0 1 3 37 0 13 0
6 41 24 0 1 0 0 0 14 0 2 0
7 13 9 0 0 0 0 0 4 0 0 0
8 8 7 0 0 0 0 0 1 0 0 0
9 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
11 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0
由此可以观察到，对于乘法持久性为1的约化数，素数11、13、17和19不会出现在另一个（较大）数的任何轨迹中；即，由减少的数字11、13、17和19表示的所有数字都具有至少11的素因子（根据观察结果推测）。
减号19表示的数字示例：91=7*13，133=7*19，313为素数，331为素数，119=7*17，191为素数，911为素数，1133=11*103，1313=13*101，1331=11^3，3113=11*283，3131=31*101和3311=7*11*43。
事实上，所有轨迹都可以投影到根为0..9的减少数的十棵树中的一棵树的轨迹上，并且每个叶子的减少数所代表的数字具有至少11的素因子（根据观察结果推测）。
27777788888899的轨迹示例（请参见A121111号)在简约数树中（括号中给出了未简约数）：2777778888899->3778888999（4996238671872）->26888999。（结束）
新下限：如果a（12）存在，则必须大于2.67*10^30000。仍然是这样，所有至少有20000个数字的候选者的数字乘积（此处报告的最后一次长期运行的大致位置）包含一个零数字，因此候选者都具有持久性2。此外，数字产品的最后306位数字中都至少包含一个零。一个极限是数字乘积2^13802*3^16807*7^1757。它有13659个十进制数字，其中1335个是零。它以零结尾，后跟305个非零数字。因此，为了确认不超过30000个数字的大候选者具有持久性2，计算模10^306的数字乘积就足够了。
注意：我所说的“候选”是指匹配这八个（两两不相交）简单正则表达式之一的数字字符串。每个这样的字符串都会给出最小的整数及其数字乘积（并将空字符串视为具有数字乘积1），它们的并集涵盖所有不以零结尾的数字乘积。
7* 8* 9*
2 7* 8* 9*
3 7* 8* 9*
4 7* 8* 9*
5 5* 7* 9*
6 7* 8* 9*
26 7* 8* 9*
35 5* 7* 9*
有（8*N^2+13*N+6）*（N+1）/6个这样的字符串，不超过N个数字。长时间运行计算机检查N=30000，略多于36*10^12个候选人。大于30000位的最小候选值大于2.67*10^30000，这是a（12）的最小剩余可能性。（结束）
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