%I M4595 N1960#100 2023年11月6日02:02:18

%S 1,0,9,8,6,1,2,2,8,8,66,8,1,0,96,9,1,3,9,5,4,5,2,3,6,9,2,5,2,5，

%温度7,0,4,6,4,7,4,9,0,5,5,7,8,2,7,4,1,9,4,5,1,7,3,4,,6,6,9,4，

%U 9,4,2,9,3,2,1,8,6,0,8,9,6,6,8,7,3,6,1,5,7,5,4,8,1,3,7,0,0,8、7,9,7

%N自然对数3的十进制展开式。

%D W.E.Mansell，《自然对数和普通对数表》。皇家学会数学表，第8卷，剑桥大学出版社，1964年，第2页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H Harry J.Smith，n表，n=1..20000的a（n）</a>

%H D.H.Bailey，<a href=“网址：http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf“>bbp公式概要</a>。

%H Peter Bala，旧函数的新系列。

%H G.Huvent，<a href=“https://web.archive.org/web/2015091121320/http://gery.huvent.pagesperso-orange.fr/articlespdf/bbp-base3.pdf“>Formules bbp en base 3</a>.-_Jaume Oliver Lafont_，2009年10月12日

%H Melissa Larson，<a href=“https://www.d.umb.edu网址/~jgreene/masters_reports/BBP%20Paper%20final.pdf“>验证和发现BBP类型的公式</a>，2008年。

%H Simon Plouffe，普劳夫逆变器，<a href=“http://www.plouff.fr/simon/constants/log3.txt“>3到10000位数的自然对数</a>。

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://web.archive.org/web/201509112131/http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscelloneousMathematicalConstants/chap61.html“>log（3），3到2000位的自然对数。

%H S.Ramanujan，<a href=“网址：http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NoteBooks/NoteBook2/chapterII/page2.htm“>笔记本条目</a>。

%H Horace S.Uhler，<a href=“https://doi.org/10.1073/pnas.26.3205“>模数和2、3、5、7和17的对数的重新计算和扩展，《美国国家科学院院刊》第26卷，（1940年）第205-212页。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://www.mathworld.wolfram.com/BBP-TypeFormula.html“>BBP型配方奶粉。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula“>Bailey-Borwein-Plouffe配方奶粉。

%超越数的索引项</a>

%F log（3）=和{n>=1}（9*n-4）/（（3*n-2）*（3*n-1）*3*n）。[乔利，级数求和，多佛（1961）方程74]

%F log（3）=（1/4）*（1+Sum_{m>=0}（1/9）^（k+1）*（27/（2*k+1）+4/（2*k+2）+1/（2xk+3）））（BBP型公式）_Alexander R.Povolotsky，2008年12月1日

%F对数（3）=4/5+（1/5）*Sum_{n>=0}（1/4）^n*（1/（2*n+1）+1/（2*n+3））_Alexander R.Povolotsky，2008年12月18日

%F对数（3）=和{k>=0}（1/9）^（k+1）*（9/（2k+1）+1/（2k+2））_Jaume Oliver Lafont_，2008年12月22日

%F求和{i>=1}1/（9^i*i）+求和{i>=0}1/（9 ^i*（i+1/2））=2*log（3）（Huvent 2001）_Jaume Oliver Lafont_，2009年10月12日

%F猜想：log（3）=Sum_{k>=1}A191907（3，k）/k.-Mats Granvik，2011年6月19日

%F log（3）=lim_{n->oo}和{k=3^n..3^（n+1）-1}1/k。另请参见A002162。通过类比1/x的积分，log（m）=lim_{n->oo}Sum_{k=m^n..m^（n+1）-1}1/k，对于m>1_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2014年8月16日

%F From _Peter Bala，2015年2月4日：（开始）

%F log（3）=总和{k>=0}1/（（2*k+1）*4^k）。

%定义一对整数序列a（n）=4^n*（2*n+1）/不！B（n）=A（n）*Sum_{k=0..n}1/（（2*k+1）*4^k）。这两个序列满足相同的二阶递推方程u（n）=（20*n+6）*u（n-1）-16*（2*n-1）^2*u（n-2）。根据这个观察，我们得到了连续分数展开对数（3）=1+2/（24-16*3^2/（46-16*5^2/…-16*（2*n-1）^2/））。参见A002162、A073000和A105531，了解类似扩建。

%F log（3）=2*Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）*（4/3）^k/（k*二项式（2*k，k））。

%F log（3）=（1/4）*和{k>=1}（-1）^（k+1）（55*k-23）*（8/9）^k/（2*k*（2*k-1）*二项式（3*k，k））。

%F log（3）=（1/4）*Sum_{k>=1}（7*k+1）*（8/3）^k/（2*k*（2*k-1）*二项式（3*k，k））。（结束）

%F log（3）=-lim_{n->oo}（n+1）个zeta（n）的导数/n个zeta的导数。当n=1000时，收敛到25位数。一个相关的表达式：lim_{n->oo}ζ（n-1）的n阶导数/ζ（n）的n阶导数=3。另请参见A002581。-_理查德·福伯格（Richard R.Forberg），2015年2月24日

%F From _Peter Bala，2019年11月2日：（开始）

%F log（3）=2*积分_{x=0..1}（1-x^2）/（1+x^2+x^4）dx=2*（1-（2/3）+1/5+1/7-（2/9）+1/11+1/13-（2/15）+…）。

%F对数（3）=16*Sum_{n>=0}1/（（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5））。

%F对数（3）=4/5+64*Sum_{n>=0}（18*n+1）/（（6*n-5）*（6*n-3）*（6*n-1）*（六*n+1”）。（结束）

%F From _Amiram Eldar_，2020年7月5日：（开始）

%F等于2*弧（1/2）。

%F等于和{k>=1}（2/3）^k/k。

%F等于积分{x=0..Pi}sin（x）dx/（2+cos（x））。（结束）

%F log（3）=积分{x=0..1}（x^2-1）/log（x）dx.-_Peter Bala，2020年11月14日

%F From _Peter Bala，2023年10月28日：（开始）

%F上面给出的级数表示log（3）=16*Sum_{n>=0}1/（（6*n+1）*（6*n+3）*（6*n+5））似乎是log（三）的下列无穷级数表示族的k=0的情况：

%F对数（3）=c（k）+（-1）^k*d（k）*Sum_{n>=0}1/（（6*n+1）*（6*n+3）**（6*n+12*k+5）），其中c（k）是对数（3）的有理逼近，d（k）=2^（6*k+3）/27^k*（6*k+2）！。

%F对于k>=0，c（k）的前几个值为[0，2996/2673，89195548/81236115，23239436137364/21153065697225，3345533089100222564/3045239236561677，…]。参考A304656。（结束）

%电子邮箱：1.098612288668109691395245236922525704647490557822749451734694333637494。。。

%t RealDigits[Log[3]，10120][[1]（*哈维·P·戴尔，2011年4月23日*）

%o（PARI）log（3）\\_Charles R Greathouse IV_，2012年1月24日

%o（Python）#计算时使用一些保护数字。

%o#BBP公式P（1，4，2，（1，0））。

%o从decimal导入decimal as dec，getcontext

%o定义BBPlog3（n:int）->dec:

%o getcontext（）.prec=n

%o s=下降（0）；f=下降（1）；g=下降（4）

%对于范围（2*n）中的k，为o：

%o s+=f/dec（2*k+1）

%o f/=克

%o返回s

%o打印（BBPlog3（200））#_Peter Luschny_，2023年11月3日

%Y参考A058962、A154920、A002162、A016731（连续馏分）、A073000、A105531、A254619。

%K nonn，cons公司

%O 1,3

%A _N.J.A.斯隆_

%E编辑和来自_Charles R Greathouse IV_的更多术语，2010年4月20日