%I M0102 N0038#247 2023年10月15日06:31:39

%S 1,0，-1，-1，-2，-1，-2，-2，-1，-2，-2，-3，-2，-1，-1，-2，-2，-2，-3，-3，-3，-2，

%T-2，-2，-1，-1，-1,-2，-3，-4，-4，-3，-2，-1,1，-1，-2，1,0,0，-1，-2-，-3，-3，-2-，

%U-3，-3，-3

%N Mertens函数：Sum_{k=1..N}mu（k），其中mu是Moebius函数A008683。

%C Moebius函数A008683的部分和。

%C如果j=1或i除以j，则由A（i，j）=1定义的n X n（0,1）矩阵的行列式。

%C当n>1时，Mertens函数的第一个正值是n=94。该图似乎显示了Mertens函数的负偏差，这与切比雪夫偏差非常相似（如A156749和A156709所述）。所谓的偏差似乎在经验上近似于-（6/Pi^2）*（sqrt（n）/4）（通过查看图表）（参见MathOverflow链接，2012年5月28日），其中6/Pi^2=1/zeta（2）是无平方数的渐近密度（Moebius mu为0的平方数）。这将是一种类似切比雪夫偏差的增长模式_Daniel Forgues_，2011年1月23日

%所有整数在这个序列中都无限频繁地出现_Charles R Greathouse IV，2012年8月6日

%C Soundararajan证明，在Riemann假设下，a（n）<<sqrt（n）exp（sqrt）*（log log n）^14），锐化了众所周知的等价性_Charles R Greathouse IV_，2015年7月17日

%C Balazard&De Roton（根据Riemann假设）将这一点改进为a（n）<<sqrt（n）exp（sqrt）*（log log n）^k）for any k>5/2，其中Vinogradov符号中的隐含常数取决于k_Charles R Greathouse IV，2023年2月2日

%D E.Landau，Vorlesungenüber Zahlenthorie，纽约州切尔西，第2卷，第157页。

%D D.H.Lehmer，《数论表格指南》。第105号公报，国家研究委员会，华盛顿特区，1941年，第7-10页。

%D F.Mertens，“UE ber eine zahlentheoretische Funktion”，Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber，IIa 106，（1897），第761-830页。

%D D.S.Mitrinovic等人，《数论手册》，Kluwer，第VI.1节。

%D Biswajyoti Saha和Ayyadurai Sankaranarayanan，《关于Mertens函数的估计》，《国际数论杂志》，第15卷，第02期（2019年），第327-337页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%D J.von zur Gathern和J.Gerhard，《现代计算机代数》，剑桥，1999年，见第482页。

%D H.S.Wilf，《问候》；以及对黎曼假设的看法，阿默。数学。月刊，94:1（1987），3-6。

%H T.D.Noe，n的表格，n=1..10000的a（n）</a>

%米歇尔·巴拉扎德和安妮·德·罗顿，<a href=“https://arxiv.org/abs/0812.1689“>Sur un critère de Baez-Duarte pour l'hythohèse de Riemann，《国际数论杂志》第06卷，第04期，第883-903页（2010年），arXiv预印本（2008年）。arXiv:0812.1689[math.NT]

%H B.Boncompagni，<a href=“http://mertens.redgolpe.com“>Mertens函数的选定值</a>。

%H O.Bordelles，<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Bordelles2/bordelles21.html“>Mobius函数的一些显式估计，J.Int.Seq.18（2015），15.11.1。

%H G.J.Chaitin，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0306042“>关于黎曼假说的思考</a>，arXiv:math/0306042[math.HO]，2003。

%H J.B.Conrey，<a href=“http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf“>《黎曼假设》，《美国数学学会通告》，第50期（2003年3月第3期），第341-353页。见第347页。

%马克·德雷格利什和乔·里瓦特，<a href=“http://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447“>计算Mobius函数的总和，《实验数学》第5卷第4期（1996年），第291-295页。

%H F.连衣裙，<a href=“https://projecteuclid.org/euclid.em/1048516214“>Moebius功能体细胞功能。专业实验</a>，实验。数学，第2卷，第2期（1993年），89-98。

%H F.Dress和M.El Marraki，<a href=“https://projecteuclid.org/euclid.em/1048516215“>Moebius功能体细胞功能。2。多数无症状性</a>，实验。数学。，第2卷，第2期（1993年），99-112。

%H M.El-Marraki，<a href=“http://www.numdam.org/item？id=JTNB_1995__7_2_407_0“>Function sommaoire de la function mu de Möbius，3。多数无症状有效强化</a>，《波尔多命名期刊》，Tome 7（1995）第2期，第407-433页。

%H Brady Haran、Holly Krieger和Pete McPartlan，<a href=“https://www.youtube.com/watch？v=uvMGZb0Suyc“>A Prime Surprise（Mertens推测）</A>，数字爱好者视频（2019）。

%H Harald A.Helfgott和Lola Thompson，<A href=“https://arxiv.org/abs/20101.08773“>求和mu（n）：一种更快的初等算法，arXiv:2101.08773[math.NT]，2021。

%H Greg Hurst，<a href=“https://arxiv.org/abs/1610.08551“>Mertens函数的计算和Mertens猜想的改进边界</a>，arXiv:1610.08551[math.NT]，2016-2017。

%H数学溢出，<a href=“http://mathoverflow.net/questions/98174“>Mertens函数是否存在负偏差？</a>，2012年5月28日发布。

%H数学溢出，<a href=“http://mathoverflow.net/questions/211095“>Mertens函数的近似值，发布于2015年7月8日。

%H Nathan Ng，<a href=“https://arxiv.org/abs/math/0310381“>Möbius函数求和函数的分布，Proc.London Math.Soc.（3）89（2004），no.2，361-389；arXiv:Math/0310381[Math.NT]，2003。

%H A.M.Odlyzko和H J.J.te Riele，<A href=“http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html“>对Mertens猜想的反驳，J.reine angew.Math.，357（1985），第138-160页。

%H Lowell Schoenfeld，<a href=“https://eudml.org/doc/204893“>莫比乌斯函数求和函数的改进估计，《算术学报》15:3（1969），第221-233页。

%H Kannan Soundararajan，<a href=“http://arxiv.org/abs/0705.0723“>Möbius函数的部分和</a>，《fur die reine und angewandte Mathematik杂志》，第631卷（2009年），第141-152页。arXiv:07050723[math.NT]，2007-2008年。

%H Robert Daublebsky von Sterneck，<a href=“https://www.zobodat.at/pdf/SBAWW_106_2a_0835-1024.pdf“>Empirische Untersuchung ueber den Verlauf der zahlentheoretischer函数sigma（n）=Sum_{x=1..n}mu（x）im Intervalle von 0 bis 150 000</a>，Sitzungbericht der Kaiserichen Akademie der Wissenschaften Wien，Mathematisch-Naturwissenschafflichen Klasse，2a，v.106，1897，835-1024。

%H Robert Daublebsky von Sterneck，<a href=“https://doi.org/10.1007/BF01707854“>Bemerkungüber die Summierung einiger zahlen-theoretischen Functionen</a>，Monatsheft für Mathematik und Physik 9（1）（1898），43-45。[他证明了不等式|a（n）|<=（n/9）+8。]

%H Paul Tarau，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2014.04.025“>通过自然数的多集分解实现素性的一般观点，《理论计算机科学》，第537卷，2014年6月5日，第105-124页。

%H Paul Tarau，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/978-3642-23283-1_15“>用自然数的多集表示模拟素数，《计算的理论方面》，ICTAC 2011，计算机科学讲义，2011年，第6916/2011卷，218-238。

%H G.Villemin的《数字年鉴》，<a href=“http://villemin.gerard.free.fr/TABLES/aaaFArit/MobiusMe.htm“>Moebius和Mertens的编号</a>。

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/MertensFunction.html“>Mertens函数</a>

%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/RedhefferMatrix.html“>Redheffer矩阵。

%H维基百科，<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Mertens_function网站“>Mertens函数。

%F假设黎曼假设，每eps>0，a（n）=O（x^（1/2+eps））（利特伍德-见兰多第161页）。

%F Lambert级数：和{n>=1}a（n）*（x^n/（1-x^n）-x^（n+1）/（1-x ^（n+1））

%对于n>1，F a（n）+2=A192763（n，1）；对于k>1，a 192763（1，k）（猜想）_Mats Granvik，2011年7月10日

%F Sum_｛k=1..n｝a（楼层（n/k））=1.-_David W.Wilson，2012年2月27日

%F a（n）=和{k=1..n}τ{-2}（k）*楼层（n/k），其中τ{-2-}是A007427_Enrique Pérez Herrero_，2013年1月23日

%F a（n）=总和{k=1..A002088（n）}exp（2*Pi*i*A038566（k）/A038567（k-1）），其中i是虚单位_Eric Desbiaux，2014年7月31日

%F Schoenfeld证明了n>1时|a（n）|<5.3*n/（log n）^（10/9）_Charles R Greathouse IV_，2018年1月17日

%F G.F.A（x）满足（x）=（1/（1-x））*（x-和{k>=2}（1-x^k）*A（x^k_伊利亚·古特科夫斯基，2021年8月11日

%e G.f.=x-x ^3-x ^4-2*x ^5-x ^6-2*x ^7-2**x ^8-2*x^9-x ^10-2*。。。

%p与（数字理论）；A002321:=n->添加（mobius（k），k=1..n）；

%t休息[FoldList[#1+#2&，0，Array[MoebiusMu，100]]

%t累加[Array[MoebiusMu，100]]（*哈维·P·戴尔，2011年5月11日*）

%o（PARI）a（n）=总和（k=1，n，moebius（k））

%o（PARI）a（n）=如果（n<1，0，matdet（矩阵（n，n，i，j，j==1|0=j%i））

%o（PARI）a（n）=我的；forsquarefree（k=1，n，s+=moebius（k））；2018年1月8日，夏尔斯R Greathouse IV

%o（哈斯克尔）

%o导入数据。列表（genericIndex）

%o a002321 n=通用索引a002321_llist（n-1）

%o a002321_list=扫描1（+）a008683_list

%o——Reinhard Zumkeller，2014年7月14日，2012年12月26日

%o（Python）

%o来自sympy import mobius

%o def M（n）：返回和（范围（1，n+1）中k的mobius（k））

%o打印（[M（n）代表范围（151）中的n）]#_Indranil Ghosh，2017年3月18日

%o（Python）

%o从functools导入lru_cache

%o@lru_cache（maxsize=无）

%o定义A002321（n）：

%o如果n==0：

%o返回0

%o c，j=n，2

%o k1=无

%o当k1>1时：

%o j2=无/无k1+1

%o c+=（j2-j）*A002321（k1）

%o j，k1=j2，n//j2

%o 2021年3月30日返回j-c#_Chai Wah Wu_

%o（岩浆）[&+[MoebiusMu（k）：k in[1..n]]：n in[1..81]]；//_Bruno Berselli_，2021年7月12日

%Y参见A008683、A059571、A084237、A209802。

%Y A134541的第一列。

%Y A179287的第一列。

%K符号，简单，好

%O 1,5型

%A·N·J·A·斯隆_