%I M1008 N0376#200 2023年4月26日08:07:10

%S 0,1,2,4,6,10,12,18,22,28,32,42,46,58,64,72,80,96102120128140150，

%电话：172180200212230242270278308324344360384396450474，

%电话：490530542584604628650696712754748068308829009464

%N总函数之和：a（N）=Sum_{k=1..N}phi（k），参见A000010。

%集合{（x，y）中的元素数：1<=x<=y<=n，1=gcd（x，y）}.-_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），1999年6月13日

%C Sum_{k=1..n}phi（k）给出了包含无限个素数且其差值不超过n的不同算术级数的数目。例如，{1k+1}、{2k+1}、{3k+1、3k+2}、}4k+1、4k+3}、[2]5k+1、..5k+4}表示10个序列_Labos Elemer，2001年5月2日

%C随着n的增加，商A024916（n）/a（n）=求和Sigma/求和Totient似乎接近Pi^4/36=zeta（2）^2=A098198~2.7058084277845_Labos Elemer，2004年9月20日（由Peter Pein更正，2009年4月28日）

%C分母q<=n.-Franz Vrabec _的（0,1]）中的有理数p/q，2005年1月29日

%C a（n）是实数大于1的Beatty序列的初始段数，当序列中的下一项大于等于n时，将被截断。例如，序列1、2包含在n=3和n=4中，但不包含在n>=5中，因为Beatty顺序的下一个项必须为3或4。由_David W.Wilson_.-提出的问题_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2006年10月19日

%C满足{x^1=1，x^2=1，x^3=1，x2=1，x^5=1，…，x^n=1}中任意一个条件的复数的数目Paul Smith（数学白痴（AT）gmail.com），2007年3月19日

%C a（n+2）等于长度为n的斯图尔语单词的数量，这些单词是“特殊”的，两个长度为n+1的斯图尔语单词的前缀_Fred Lunnon，2010年9月5日

%C对于n>1:A020652（a（n））=1和A038567（a（n））=n；当n>0时：A214803（a（n））=1.-_Reinhard Zumkeller，2012年7月29日

%C集合{（x，y）中的元素数：1<=x+y<=n，x>=0，y>0，其中x和y是相对素整数}。因此，具有x非负、y正和x+y<=n的归约有理数x/y的个数。（对于n>=1，0<=x/y<=n-1，清楚地包括该区间中的每个整数。）-Rick L.Shepherd_，2014年4月8日

%C这个函数，phi=A0000010的部分和，有时用（大写）phi表示。-_M.F.Hasler，2015年4月18日

%C From _Roger Ford_，2016年1月16日：（开始）

%C对于n>=1:a（n）是具有n个拱的完美拱半弯曲解的数目。为了达到完美，拱群的数量必须等于当前代和前代中长度为1的拱的数量。

%C示例：p是长度为1的拱的数量（/\），g是拱组的数量（-），n是半弯曲解决方案上半部分的拱数量

%C类/\

%C/\（抄送）//\\

%C//\-/\-///\-n=6 p=3 g=3前面的每个拱配置

%C/\/\通过连接拱门形成

%C/\-//\-//\-n=5 p=3 g=3在第一个位置结束

%C/\在最后一个位置拱起末端。

%C类//\\

%C///\\-/\-n=4 p=2 g=2

%C/\

%C//\-/\-n=3 p=2 g=2

%C/-/-n=2 p=2 g=2

%C/\-n=1 p=1 g=1。（结束）

%C a（n）是长度为n且平衡的二进制单词的不同列表数（Sturmian）_Dan Rockwell、Will Wodrich、Aaliyah Fiala和Bob Burton，2019年5月30日

%D A.Beiler，《数字理论中的娱乐》，多佛出版社，1966年，第十六章。

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%H A.Walfisz，<A href=“https://doi.org/10.1002/zamm.19640441217“>Weylsche Exponential summen in der neueren Zahlentheorie，VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften，柏林，1963年。

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%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/TotientSummatoryFunction.html“>总求和函数</a>

%H R.G.Wilson，v，致N.J.a.Sloane的信，1989年1月24日</a>

%F a（n）=（3*n^2）/（Pi^2）+O（n log n）。

%F更准确地说，a（n）=（3/Pi^2）*n^2+O（n*（log（n））^（2/3）*_Benoit Cloitre_，2003年2月2日

%F a（n）=（1/2）*总和{k>=1}亩（k）*楼层（n/k）*楼板（1+n/k_Benoit Cloitre_，2003年4月11日

%F a（n）=A000217（n）-A063985（n）=A018805（n）-A015614（n）。-_Reinhard Zumkeller_，2013年1月21日

%F克洛伊特公式的一个稍微简单的版本是A（n）=1/2+Sum_{k=1..oo}floor（n/k）^2*mu（k）/2.-_Bill Gosper，2020年7月25日

%F商A024916（n）/a（n）=Summatory Sigma/SummatoryTotient，随着n的增加，似乎接近（Pi^4）/36=Zeta（2）^2=2.705808084277845。另请参见A067282_Labos Elemer，2004年9月21日

%F A024916（n）/a（n）=zeta（2）^2+O（log（n）/n）。这是根据序列的渐近公式得出的_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2006年10月19日

%F三角形A134542.-的行和_Gary W.Adamson_，2007年10月31日

%F G.F.：（总和{n>=1}mu（n）*x^n/（1-x^n）^2）/（1-x），其中mu（n）=A008683（n）.-_Mamuka Jibladze_，2015年4月6日

%F a（n）=A005728（n）-1，对于n>=0.-_Wolfdieter Lang_，2016年11月22日

%F a（n）=（总和{k=1..floor（sqrt（n））}k*（k+1）*（M（floor（n/k））-M（floor）（n/（k+1_Daniel Suteu，2018年11月23日

%F a（n）=A015614（n）+1.-_R.J.Mathar，2023年4月26日

%e G.f.=x+2*x^2+4*x^3+6*x^4+10*x^5+12*x^6+18*x^7+22*x*8+28*x*9+。。。

%p with（numtheory）:A002088：=n->加（φ（i），i=1..n）：序列（A002088（n），n=0..70）；

%t表[Plus@@EulerPhi[Range[n]]，{n，0，57}]（*_Alonso del Arte_，2006年5月30日*）

%t累计[EulerPhi[范围[0,60]]（*哈维·P·戴尔，2011年8月27日*）

%o（PARI）a（n）=总和（k=1，n，eulerphi（k））\\查尔斯·格里特豪斯IV，2011年6月16日

%o（PARI）a（n）=我的（s=1）；forsquarefree（k=1，n，s+=（n\k[1]）^2*moebius（k））；s/2\\_Charles R Greathouse IV，2021年10月15日

%o（PARI）first（n）=my（v=向量（n），s）；对于因子（k=1，n，v[k[1]]=s+=eulerphi（k））；v \\_Charles R Greathouse IV，2021年10月15日

%o（哈斯克尔）

%o a002088 n=a002088_列表！！n个

%o a002088_list=scanl（+）0 a000010_list--_Reinhard Zumkeller_2，2012年7月29日

%o（GAP）列表（[1..60]，n->总和（[1..n]，i->功率因数（i））；#_Muniru A Asiru_，2018年7月31日

%o（岩浆）[&+[EulerPhi（i）：i in[1..n]]：n in[1..60]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2018年8月1日

%o（Sage）[sum（euler_phi（k）for k in（1..n））for n in（0..60）]#_G.C.Greubel_，2018年11月25日

%o（Python）

%o从functools导入lru_cache

%o@lru_cache（maxsize=无）

%o def A002088（n）：#基于A018805中的第二个公式

%o如果n=0：

%o返回0

%o c，j=0，2

%o k1=无

%o当k1>1时：

%o j2=无/无k1+1

%o c+=（j2-j）*（2*A002088（k1）-1）

%o j，k1=j2，n//j2

%o返回（n*（n-1）-c+j）//2#恰瓦乌，2021年3月24日

%Y参考A000010、A015614、A005728、A067282、A001088、A134542。

%不，简单，好

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

%E来自伦·斯迈利的其他评论_