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A001949号 五阶概率差分方程的解。
(原名M1127 N0430)
11

%I M1127 N0430#83 2022年4月13日13:25:16

%S 0,0,0,1,2,4,8,16,32,6312448094418563649717414104,

%电话:2772854512107168210687414200814296160086431472166187264,

%电话:1216384123913482470126689242447218170172835721619270226854313806236042714234540

%五阶概率差分方程的解。

%C这个序列是r阶概率差分方程解中r=5的情况,可在Dunkel(1925)第356页的等式(4)和(3)中找到。(方程(3)遵循论文中的方程(4)!)对于r=2,我们得到了A000071的移位版本。对于r=3,我们得到了A008937的移位版本。对于r=4,我们得到了A107066的移位版本。对于r=6,我们得到了A172316的移位版本。另请参见A172119中的表格_Petros Hadjicostas_,2019年6月15日

%D N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

%H Vincenzo Librandi,n的表格,n=0..1000的a(n)</a>

%H O.Dunkel,<a href=“http://www.jstor.org/stable/2298801“>概率差分方程的解,《美国数学月刊》,32(1925),354-370;见第356和369页。

%H T.Langley、J.Liese和J.Remmel,<a href=“https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL14/Langley/langley2.html“>广义因子序下Wilf等价的生成函数,J.Int.Seq.14(2011),第11.4.2条。

%H西蒙·普劳夫,<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”,魁北克大学论文,1992年;arXiv:0911.4975[math.NT],2009年。

%H Simon Plouffe,<a href=“/A00051/A000051_2.pdf”>1031生成函数</a>,论文附录,蒙特利尔,1992

%H<a href=“/index/Rec#order_06”>具有常系数的线性递归索引条目,签名(2,0,0,0.0,-1)

%F对于n>=6,a(n+1)=2*a(n)-a(n-5)。

%传真:x^5/((x-1)*(x^5+x^4+x^3+x^2+x-1))。

%F a(n)=和{k=1..n-4}和{j=0..floor((n-k-4)/5)}(-1)^j*二项式(n-5*j-5,k-1)*二项法(n-k-5*j-4,j).-_弗拉基米尔·克鲁奇宁,2011年10月19日

%F 4*a(n)=A000322(n+1)-1.-_R.J.Mathar,2017年8月16日

%F From _Petros Hadjicostas,2019年6月15日:(开始)

%当n>=5时,F a(n)=1+a(n-1)+a(n-2)+a。(参见Dunkel(1925)第356页的等式(4)和r=5的定理。)

%对于n>=5,F a(n)=T(n-5,5),其中T(n,k)=Sum_{j=0..floor(n/(k+1))}(-1)^j*二项式(n-k*j,n-(k+1。

%F(结束)

%p A001949:=1/(z-1)/(z**5+z**4+z**3+z**2+z-1);#_西蒙·普劳夫(Simon Plouffe)1992年论文

%t={0,0,0,1,0};做[AppendTo[t,t[[-5]]+t[[-4]]+t[[-3]]+t[[-2]]+t[[-1]]+1],{n,40}];t(*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky,2012年1月21日*)

%t线性递归[{2,0,0,00,0,-1},{0,0,1},40](*哈维·P·戴尔,2015年1月17日*)

%o(最大值)

%o a(n):=总和(总和((-1)^j)*二项式(n-5*j-5,k-1)*二项式(n-k-5*j-4,j),j,0,(n-k-4)/5),k,1,n-4);/*_弗拉基米尔·克鲁奇宁,2011年10月19日*/

%o(PARI)x='x+o('x^99);concat(矢量(5),矢量(x^5/((x-1)*(x^5+x^4+x^3+x^2+x-1)))

%Y列k=A141020的1(具有不同的偏移)和A141021的第二条主对角线(没有零)。

%A172119的Y列k=5。

%K nonn,简单

%0、7

%A _N.J.A.斯隆_

%E名称由_Petros Hadjicostas编辑,2019年6月15日

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