%I M4622 N1974#111 2024年3月23日08:19:44

%S 1,9,411293216811289224136495641836111969166412256929961，

%电话：390415004963241788899728118721143529172041204609241601，

%电话：28340133040838304144172950692157908165868974624184224994747110617611186369

%N居中的四维正交数（四维立方晶格的水晶球序列）。

%C a（n）是Z^4晶格中距离相邻图中原点最多n的点的数量_N.J.A.Sloane，2013年2月19日

%C直径d（G）=n.-S.Bujnowski&B.Dubalski（slawb（AT）atr.bydgoszcz.pl）的虚拟最优弦图中8阶节点的数量，2002年3月7日

%C如果Y_i（i=1,2,3,4）是一个（n+4）集X的2个块，则a（n-4）是与每个Y_i相交的8个X子集的数目（i=1,1,2,4）_米兰Janjic_，2007年10月28日

%C等于[1,8,24,32,16,0,0,0，…]的二项式变换，其中（1，8，24，32，16）=切比雪夫三角形A013609的第4行_Gary W.Adamson，2008年7月19日

%本·瑟斯顿（Ben Thurston）2013年2月18日的评论：在平面上，如果你从一个中心点在8个基本方向中的每一个方向上迈出一步，然后从每个方向上朝8个方向迈出一步。。。（见图），图中n步后的点数似乎等于a（n）。来自N.J.A.Sloane的回复，2013年2月19日：这是正确的，因为Z模块Z[1，i，（+-1+i）/sqrt（2）]本质上是Z^4晶格的副本。

%C a（n）=D（4，n），其中D是Delannoy数（A008288）。因此，a（n）给出了从（0,0）到（4，n）的网格路径数，使用将一个单元向北、向东或向东北移动的步骤_Jack W Grahl_，2021年2月15日

%C上述第一条注释可以重新表述和概括如下：a（n）是Z^4中距离任何给定点的L1（曼哈顿）距离<=n的点数。等效地，由于Delannoy数字数组（A008288）中更容易看到的对称性，作为Dmitry Zaitsev于2015年12月10日对A008288-的评论的特例，a（n）是Z^n中距离任何给定点的L1（曼哈顿）距离<=4的点数_Shel Kaphan，2023年1月2日

%D L.Comtet，《高级组合数学》，Reidel，1974年，第81页。

%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

%H T.D.Noe，n表，n=0..1000时的a（n）</a>

%H D.Bump、K.Choi、P.Kurlberg和J.Vaaler，<a href=“网址：http://www.cecm.sfu.ca/~choi/paper/lrh.pdf“>局部黎曼假设，I</A>第16和17页

%H J.H.Conway和N J.A.Sloane，低维格VII：配位序列，Proc。伦敦皇家学会，A453（1997），2369-2389（<a href=“http://neilsloane.com/doc/Me220.pdf“>pdf）。

%H米兰Janjic，<a href=“http://www.pmfbl.org/janjic/“>两个枚举函数。[断开链接；<a href=”https://web.archive.org/web/20110204173116/http://www.pmfbl.org:80/janjic/“>WayBackMachine存档

%H G.Kreweras，<a href=“http://www.numdam.org/item？id=BURO_1973__20__3_0“>Sur les hiérarchies de segments，Cahiers du Bureau Universitye de Recherche Opérationnelle，Institute de Statistique，University de Pariséde University，#20（1973）。

%H G.Kreweras，《细分市场研究》，巴黎大学统计研究所，第20期（1973年）。（带注释的扫描副本）

%H西蒙·普劳夫，<a href=“https://arxiv.org/abs/0911.4975“>Approximations de séries génératrices et quelques consuggestures”，魁北克大学论文，1992年；arXiv:0911.4975[math.NT]，2009年。

%H Simon Plouffe，<a href=“/A00051/A000051_2.pdf”>1031生成函数</a>，论文附录，蒙特利尔，1992

%H R.G.Stanton和D.D.Cowan，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/1012049“>关于“方形”函数方程的注释，SIAM Rev.，12（1970），277-279。

%H Ben Thurston，二维前四组点的图解</a>

%H<a href=“/index/Cor#crystal_ball”>水晶球序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Rec#order_05”>具有常系数的线性递归索引条目，签名（5，-10,10，-5,1）。

%传真：（1+x）^4/（1-x）^5。

%F a（n）=（2*n^4+4*n^3+10*n^2+8*n+3）/3.-S.Bujnowski和B.Dubalski（slawb（AT）atr.bydgoszcz.pl），2002年3月7日

%F From _Jonathan Vos Post，2006年3月15日：（开始）

%F a（n）=和{i=0..n}A008412（i）；

%F a（n）=和{i=0..n}8*i*（i^2+2）/3；

%F a（n）=和{i=0..n}8*i*（A059100（i））/3。（结束）

%F a（n）=和{k=0..min（4，n）}2^k*二项式（4，k）*二项法（n，k）。参见Bump等人-Tom Copeland_，2014年9月5日

%例如：exp（x）*（3+24*x+36*x^2+16*x*^3+2*x^4）/3.-_斯特凡诺·斯佩齐亚（Stefano Spezia），2024年3月14日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/（n*a（n-1）*a（n））=log（2）-7/12=log_彼得·巴拉（Peter Bala），2024年3月23日

%e a（6）=1289：（2*6^4+4*6^3+10*6^2+8*6+3）/3=（2592+864+360+48+3）/3=3867/3=1289。

%p表示n从1到k的do eval（（2*n^4+4*n^3+10*n^2+8*n+3）/3）od；

%p A001846:=-（z+1）**4/（z-1）**5；#西蒙·普劳夫在1992年的论文中（正确地）推测

%t系数列表[系列[（-z^4-4 z^3-6 z^2-4 z-1）/（z-1）^5，{z，0，200}]，z]（*_Vladimir Joseph Stephan Orlovsky_，2011年6月19日*）

%Y参见A005408、A001844、A00184、A0018.45、A0011847、A059100、A013609。

%Y第一个差异是A008412。

%Y参见A240876。

%A008288的Y行/列4。

%K nonn，简单

%0、2

%A _N.J.A.斯隆_