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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A001764号 a(n)=二项式(3*n,n)/(2*n+1)(枚举三元树和非交叉树)。
(原名M2926 N1174)
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%I M2926 N1174#668 2024年3月21日08:32:19

%S 1,1,3,12,5527314287752432632466751430715841464050067108,

%电话:30083057218227665201112475566468328754959422030545335,

%电话:2619631042665163329222903001022401098976956423124512774540481484403912025594403741131680162250238001816900

%N a(N)=二项式(3*N,N)/(2*N+1)(枚举三元树和非交叉树)。

%C平面上n个点上的最小数量的无交叉直线生成树。

%C通过将对角线不相交成边数为奇数且总边数为2n+1(边和对角线)的多边形,对某些凸多边形进行剖分的次数。-_Emeric Deutsch,2002年3月6日

%C从(0,0)到(n,2n)的n个东阶和2n个北阶的晶格路径数,并弱位于直线y=2x下方。-_David Callan_,2004年3月14日

%C带插值零点时,它有g.f.2*sqrt(3)*sin(arcsin(3*sqrt(3)x/2)/3)/(3*x)和a(n)=C(n+楼层(n/2),楼层(n/2))*C(楼层(n/3),n-楼层(n+2))/(n+1)。这是Riordan数组倒数的第一列(1-x^2,x(1-x*2))(本质上是y-y*3的倒数)_保罗·巴里,2005年2月2日

%C编号12312-避免[2n]上的匹配。

%C具有n个内部节点或3n条边的完整三元树的数目。

%C具有2n条边的有根平面树的数量,其中每个顶点都具有偶数出度(“偶数树”)。

%C a(n)是[2n]中所有块大小均为偶数的非交叉分区数。例如:a(2)=3计数12-34、14-23、1234_David Callan_,2007年3月30日

%C Pfaff-Fuss-Catalan序列C^{m} _n(n)对于m=3,参见Graham等人的参考文献,第347页。等式7.66。

%C同样,3-雷尼序列,见Graham等人参考,第346-7页。

%C从(0,0)到(2n,0)的晶格路径数,使用Up-step=(1,1)和Down-step=(0,-2)并保持在x轴上方。例如,a(2)=3;UUUDD、UUUDUD、UUDUUD.-查尔斯·摩尔(chamoore(AT)howard.edu),2008年1月9日

%C a(n)是(推测)[n+1]的排列数,这些排列避免了模式4-2-3-1和4-2-5-1-3,并以上升结束。例如,a(4)=55统计[5]中以上升结束的所有60个排列,但42315、52314、52413、53412除外,它们都包含4-2-3-1模式和42513_David Callan,2008年7月22日

%C摆动三角形A167763.-的中心项_Philippe Deléham,2009年11月12日

%C当B(x,t)=x+t*x^3时,比较。x中关于0的逆是A(x,t)=Sum{j>=0}A(j)(-t)^jx^(2j+1)。设U(x,t)=(x-A(x,t))/t。然后DU(x,d)/Dt=DU/Dt+U*DU/dx=0和U(x、0)=x^3,即U是无粘汉堡方程或Hopf方程的解。此外,U(x,t)=U(x-t*U(x、t),0)和dB(x、t)/dt=U(B(x,t),t)=x^3=U(x和0)。Hopf方程的特征是x(t)=x(0)+t*U。这些结果适用于所有Fuss-Catalan序列,其中3被n>0替换,2被n-1替换(例如,A000108的n=2和A002293的n=4),另请参见A086810,其可推广到A133437,以了解结合面体_汤姆·科普兰,2014年2月15日

%C尺寸为n的Kreweras晶格(通过细化排序的非交叉分区)中的区间数(即x≤y的有序对(x,y)),参见Bernardi&Bonichon(2009)和Krewera(1972)参考文献_Noam Zeilberger,2016年6月1日

%C可组合总数(423142513)-避免排列。推测,和的数量是不可分解的(243145231)-避免排列。-_Alexander Burstein_,2017年10月19日

%C a(n)是游戏“种植布鲁塞尔芽”在n个顶点上拓扑上不同的终态数,请参阅Ji和Propp链接_Caleb Ji_,2018年5月14日

%C 2n+2-gon的完整四边形的数量。见巴里什尼科夫第12页。另请参阅A134264中2014年11月10日的评论_Tom Copeland_,2018年6月4日

%C a(n)是字母表[n]中避开模式231和221的2个规则单词的数量。等效地,这是字母表[n]上2个规则乌龟可排序单词的数量(见Defant和Kravitz链接)_Colin Defant,2018年9月26日

%C a(n)是长度为3n的Motzkin路径数,每种类型有n个步骤,条件是(1,0)和(1,1)步骤交替(从(1,O)开始)。-_赫尔穆特·普罗丁格(Helmut Prodinger),2019年4月8日

%C a(n)是长度为2n+1的唯一排序排列数,这些排列避免了模式312和1342_Colin Defant,2019年6月8日

%C上述科普兰评论中的成分逆o.g.f.对与Balduf论文中的一对量子场有关,见第92页的定理4.2_Tom Copeland_,2019年12月13日

%C Fuss-Catalan数的序列出现在随机矩阵和量子物理的文章中,这是加泰罗尼亚数A000108(下一个是A002293)之后的第一个序列。参见Banica等人、Collins等人和Mlotkowski等人。A134264提供了根据特定非交叉分区集的基数对这些序列的解释_汤姆·科普兰,2019年12月21日

%C调用C(p,[alpha],g)具有p个元素的循环有序集的划分数,循环类型为[alpha],属g(属g Faa di Bruno系数为[alfa])。这个序列将p=3n的亏格0划分(非交叉或平面划分)计算为长度为3的n个部分:a(n)=C(3n,[3^n],0)。属1见A371250,属2见A371251_Robert Coquereaux,2024年3月16日

%C a(n)是n>0时长度为3*n的所有2_1-Dyck路径中第一个向上步骤之前的向下步骤总数。2_1-Dyck路径是具有步骤(1,2)、(1,-1)的晶格路径,其起点和终点均为y=0,且不低于线y=-1。-_Sarah Selkirk,2020年5月10日

%C a(n)是[n]的非交叉分区的对数(a<=B)。-_弗朗西丝卡·艾卡迪(Francesca Aicardi),2022年5月28日

%C a(n)是大小为n的停车功能的数量,避免了模式231和321_劳拉·普德维尔,2023年4月10日

%C由n个带有Schläfli符号{4,oo}的双曲线规则瓷砖的方形单元组成的有根多胞体的数量。一个有根的polyomino有一个被识别的外边缘,手性对被计算为两个。可以通过Christensson链接获得彭卡盘上{4,oo}瓷砖的赤平投影_罗伯特·拉塞尔(Robert A.Russell),2024年1月27日

%这是A130564注释中给出的族{C(k,n)}_{n>=0}的实例k=3_Wolfdieter Lang,2024年2月5日

%C具有给定底三角形的n+3个顶点的Apollonian网络(平面3树)的数量_Allan Bickle,2024年2月20日

%C由n个四面体细胞组成的有根多胞体的数目,这些细胞是带有Schläfli符号{3,3,oo}的双曲线规则瓷砖。一个有根的多面体有一个被识别的外表面,手性对被计算为两个。a(n)=第二条Beineke和Pippert链路中的T(n)_Robert A.Russell_,2024年3月20日

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%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%H<a href=“/index/Tra#trees”>为与树相关的序列索引条目</a>

%F From _Karol A.Penson,2001年11月8日:(开始)

%F G.F.:(2/sqrt(3*x))*sin((1/3)*arcsin(sqrt)(27*x/4))。

%例如:浅地层([1/3,2/3],[1,3/2],27/4*x)。

%F在[0,27/4]上正函数的n阶矩的积分表示:a(n)=Integral_{x=0..27/4}(x^n*((1/12)*3^(1/2)*2^(1/3)*(2^ 0。这种表示是独特的。(结束)

%F G.F.A(x)满足A(x)=1+x*A(x,^3=1/(1-x*A,x)^2)[Cyvin(1998)]_Ralf Stephan,2003年6月30日

%F a(n)=幂级数P(n)的第n个展开系数,其中P(0)=1,P(k+1)=1/(1-x*P(k)^2)。

%F G.F.版次(x/c(x))/x,其中c(x)是A000108的G.F.(版次=版次)。-_保罗·巴里(Paul Barry),2010年3月26日

%F From _Gary W.Adamson_,2011年7月7日:(开始)

%F设M=生产矩阵:

%第1、1层

%F 2、2、1

%三、三、二、一楼

%四、四、三、二、一楼

%传真:5、5、4、3、2、1

%F。。。

%F a(n)=M^n中的左上项。M^n的顶行项=(n+1)-三角形A143603的第四行,顶行和生成A006013:(1,2,7,30,143,728,…)。(结束)

%F递归:a(0)=1;a(n)=和{i=0..n-1,j=0..n-1-i}a(i)a(j)a(n-1-i-j)对于n>=1(按根的子树计算三元树)_David Callan_,2011年11月21日

%光纤:1+6*x/(Q(0)-6*x);Q(k)=3*x*(3*k+1)*(3*k+2)+2*(2*(k^2)+5*k+3)-6*x*;(连分数)。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基(Sergei N.Gladkovskii),2011年11月27日

%带递归的F D-有限:2*n*(2n+1)*a(n)-3*(3n-1)*(3n-2)*a_R.J.Mathar,2011年12月14日

%A115140的F REVERT转换。二进制转换为A188687。A188678的SUMADJ变换。HANKEL变换为A051255。A023053的INVERT转换。INVERT转换为A098746_Michael Somos,2012年4月7日

%F(n+1)*a(n)=A174687(n)。

%F G.F.:F([2/3,4/3],[3/2],27/4*x)/F([2/3,1/3],[1/2],(27/4)*x)其中F()是超几何函数_Joerg Arndt_,2012年9月1日

%F a(n)=二项式(3*n+1,n)/(3*n+1)=A062993(n+1,1)。-_Robert FERREOL,2015年4月3日

%对于n>0.-,F a(n)=A258708(2*n,n)_Reinhard Zumkeller_,2015年6月23日

%F 0=a(n)*(-3188646*a(n+2)+20312856*a*a(n+5)),适用于所有整数n.-Michael Somos_,2016年6月3日

%F a(n)~3^(3*n+1/2)/(平方(Pi)*4^(n+1)*n^(3/2))_伊利亚·古特科夫斯基,2016年11月21日

%F给定g.F.A(x),则A(1/8)=-1+sqrt(5),A(2/27)=(-1+squart(3))*3/2,A(4/27)=3/2,A(3/64)=-2+2*sqrt_Michael Somos,2018年7月17日

%F From _Peter Bala,2021年9月14日:(开始)

%F A(x)=exp(和{n>=1}(1/3)*二项式(3*n,n)*x^n/n)。

%对于n>=1,由b(n):=[x^n]A(x)^n=A224274(n)定义的序列满足素数p>=3的同余b(p)==b(1)(mod p^3)。参见A060941。(结束)

%固定资产净值:1/sqrt(B(x)+(1-6*x)/(9*B(x_弗拉基米尔·克鲁奇宁,2021年9月28日

%Fx*A'(x)/A(x)=(A(x)-1)/(-2*A(x)+3)=x+5*x^2+28*x^3+165*x^4+。。。是A025174的o.g.f。参见A002293-A002296.-_彼得·巴拉(Peter Bala),2022年2月4日

%F a(n)=超几何([1-n,-2*n],[2],1)。A108767.行总和_彼得·巴拉(Peter Bala),2023年8月30日

%F G.F.:z*exp(3*z*超几何([1,1,4/3,5/3],[3/2,2,2],(27*z)/4))+1。

%F-_Karol A.Penson_,2023年12月19日

%F G.F.:超几何([1/3,2/3],[3/2],(3^3/2^2)*x)。参见上述示例_Wolfdieter Lang,2024年2月4日

%F a(n)=(3*n)!/(n!*(2*n+1)!).-_Allan Bickle,2024年2月20日

%e a(2)=3,因为只有5条边的剖分是由两条对角线中任意一条剖分的正方形和没有剖分对角线的五边形给出的。

%总资产=1+x+3*x^2+12*x^3+55*x^4+273*x^5+1428*x^6+7752*x^7+43263*x^8+。。。

%p A001764:=n->二项式(3*n,n)/(2*n+1):seq(A001764(n),n=0..25);

%p with(combstruct):BB:=[T,{T=Prod(Z,F),F=Sequence(B),B=Prod_Zerinvary Lajos,2007年4月22日

%p with(combstruct):BB:=[S,{B=Prod(S,S,Z),S=Sequence(B)},标签]:seq(count(BB,size=n)/n!,n=0..21);#_Zerinvary Lajos,2008年4月25日

%pn:=30:G:=系列(RootOf(G=1+x*G^3,G),x=0,n+1):seq(系数(G,x,k),k=0..n);#_Robert FERREOL_,2015年4月3日

%p别名(PS=ListTools:-PartialSums):A001764列表:=proc(m)局部A,p,n;

%p A:=[1,1];P:=[1];对于从1到m-2的n,做P:=PS(PS([op(P),P[-1]]));

%pA:=[op(A),p[-1]]od;A端:A001764List(25);#_Peter Luschny_,2022年3月26日

%t逆级数[级数[y-y^3,{y,0,24}],x](*则a(n)=y(2n+1)=在凸(2n+4)-gon中放置非交叉对角线以仅创建四边形瓷砖的方法*)(*_Len Smiley_,2000年4月8日*)

%t表[二项式[3n,n]/(2n+1),{n,0,25}](*_Harvey P.Dale_,2011年7月24日*)

%o(PARI){a(n)=如果(n<0,0,(3*n)!/n!/(2*n+1)!)};

%o(PARI){a(n)=如果(n<0,0,polceoff(serreverse(x-x^3+o(x^(2*n+2))),2*n+1))};

%o(PARI){a(n)=my(a);如果(n<0,0,a=1+o(x);对于(m=1,n,a=1+x*a^3);波尔科夫(a,n))};

%o(PARI)b=矢量(22);b[1]=1;对于(n=2,22,对于(i=1,n-1,对于(j=1,n-1,对于(k=1,n-1,如果(i-1)+(j-1)+(k-1)-(n-2),为空,b[n]=b[n]+b[i]*b[j]*b[k]))));a(n)=b[n+1];打印1(a(0));(n=1,21,print1(“,”,a(n)))\\_Gerald McGarvey,2008年10月8日

%o(PARI)Vec(1+serreverse(x/(1+x)^3+o(x^30)))\\_Gheorghe Coserea_,2015年8月5日

%o(鼠尾草)

%o定义A001764_list(n):

%o D=[0]*(n+1);D[1]=1

%o R=[];b=假;h=1

%o对于范围(2*n)内的i:

%对于k in(1..h):D[k]+=D[k-1]

%o如果不是b:R.append(D[h])

%o其他:h+=1

%o b=非b

%o返回R

%o A001764_list(22)#_Peter Luschny_,2012年5月3日

%o(岩浆)[二项式(3*n,n)/(2*n+1):n in[0..30]];//_文森佐·利班迪(Vincenzo Librandi),2014年9月4日

%o(哈斯克尔)

%o a001764 n=a001764_列表!!n个

%o a001764_list=1:[a258708(2*n)n|n<-[1..]]

%o--_Reinhard Zumkeller_,2015年6月23日

%o(GAP)列表([0.25],n->二项式(3*n,n)/(2*n+1));#_Muniru A Asiru_,2018年10月31日

%o(Python)

%o来自数学导入梳

%o定义A001764(n):返回梳(3*n,n)//(2*n+1)#_Chai Wah Wu_,2022年11月10日

%Y参见A001762、A001763、A002294-A002296、A006013、A025174、A063548、A064017、A072247、A072 248、A134264、A143603、A258708、A256311、A188687(二项式变换)、A346628(反二项式转换)。

%Y三角形A102537的一列。

%A047749和A047761的Y剖分。

%Y三角形的行和A108410和A108767。

%Y三角形A062993的第二列。

%Y型号3=A113047。

%Y 2D多边形:A005034(定向)、A005036(无定向)、A369315(手性)、A047749(非手性)、P000108{3,oo}、A002293{5,oo}。

%Y 3D Polyominoes:A007173(定向)、A027610(无定向)、A371350(手性)和A371351(非手性)。

%Y参考A130564(对于C(k,n)情况)。

%K轻松,不,好,核心,改变

%0、3

%A _N.J.A.斯隆_

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