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提示
(问候来自整数序列在线百科全书!)
A001032型 数n使得n个连续整数的平方和>=1为平方。
(原M1996 N0787)
31
1、2、11、23、24、26、33、47、49、50、59、73、74、88、96、97、107、121、122、146、169、177、184、191、193、194、218、239、241、242、249、289、297、299、311、312、313、337、338、347、352、361、362、376、383、393、407、409、431、443、457、458、479、481、491、506 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2号

评论

沃森(还有容格伦)证明,如果0^2+1^2+。。。+r^2是正方形,则r=0、1或24。

1391年以前的术语是==0,1,2,9,11,16,23 mod 24。数字在开始A007475号(n) 一。和的平方根在A076215(n) 一。-拉尔夫·斯蒂芬2002年11月4日

n=2情况下的解为A001652型A082291号.

对于k>5且k=1或5(mod 6),似乎所有k^2都在这里。当n不是平方时,问题6552的解表明有无穷多个n个连续平方和等于一个平方。当n是平方时,只有一个有限的数。例如,只有49项的和是25^2+…+73^2=357^2。-T、 D.不2011年1月20日

在前面的注释中,“它似乎”可以删除,因为k^2+1(k^2-25)/48开始的k^2平方和为一个平方。-托马斯·安德鲁斯2011年2月14日

看到了吗邮编:A180442对于求数n的互补问题,使得有以n^2开始的连续平方和为平方。

托马斯·安德鲁斯2011年2月22日:(开始)

n在这个序列中的基本必要条件:

1。如果n=s^2b,其中b是无平方的,则:

如果s可被3整除,则b可被3整除。

如果s可被2整除,则b可被2整除。

c.如果b可被3整除,则b=6(mod 9)

d.b只有素因子p,其中3是平方,模p。(因此,p=2,p=3,或p=12k+/-1)

2。

如果n+1可被3整除,那么(n+1)/3是两个完全平方的和。

如果n+1不能被3整除,那么n+1是两个完全平方的和

满足这些条件的最小数字不在这个序列中是842。

这些条件可以用来建立拉尔夫·斯蒂芬的猜想,上面所有的项都是==0,1,2,9,11,16,或23(mod 24.)(结束)

满足上述条件但不在此序列中的数字可以在中找到A274469号. -克里斯托弗·汤普森2016年6月28日

参考文献

W、 容格伦,E。卢卡斯提出的一个问题的新解决方案,诺斯克马特。天啊。34年(1952年),65-72年。

N、 J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。

N、 J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。

链接

克里斯托弗·汤普森,表1/n(最多250000个,扩展了由T.D.Noe计算的前128个术语)。

U、 阿尔弗雷德,平方和为完全平方的连续整数,数学。Mag.,37(1964),19-32。

五十、 比克曼,可表示为连续平方和的平方,艾默尔。数学。月刊,101(1994),437-442。

K、 S.布朗,连续n次方和等于n次方

M、 劳布,可表示为n个连续平方和的平方,进阶问题6552,艾默尔。数学。月刊97(1990),622-625。

S、 菲利普,关于平方和为完全平方的连续整数的注记,数学。Mag.,37(1964年),218-220年。

弗拉基米尔·普雷泽,连续平方整数和等于平方整数项数的同余条件,arXiv:1409.7969[math.NT],2014年。

五、 普雷泽,用Chebyshev多项式的广义Pell方程解求可表示为连续平方整数和的所有平方整数,arXiv预印本arXiv:1409.7972[math.NT],2014年。

G、 N.沃森,正方形金字塔问题《数学信使》48(1918),第1-22页。

埃里克·韦斯坦的数学世界,炮弹问题

与平方和相关的序列的索引项

例子

3^2+4^2=5^2,有两个连续的项,所以2在序列中。

数学

(*一个经验的重新计算,假设Ralf Stephan猜想*)nmax=600;min[](*最小起始数*)=1;max[](*最大起始数*)=10^5;min[457(*第一个不太容易的项*)]=10^7;min[577]=10^5;min[587]=10^7;max[457]=max[577]=max[587]=无穷大;okQ[n_2;![答:]okQ[n[(m=m=m[m=min[n[n]max[n[max[n]max[n]max[n]n],m[m=min[n],m<max[n[n],m<max[n],m++,如果[整合者Q[r=Sqrt[1/6*n*(1+6*m^2+6*m*2+6*m*(n-1)-3*n+2*n^2]]]的,返回[True]]];nmr=收获[k=1;做[如果[okQ[n]==True,Do[如果[okQ[n]==True,打印[“a(,k,“)=”,n,“,n,“,n,“,n,“,,“,开始编号=A007475号(“,k,”)=“,m,”,sqrt(和)=A076215(“,k,”)=“,r];k++;Sow[{n,m,r}]],{n,1,nmax}]][[2,1]];A001032型=nmr[[全部,1]];A007475号=nmr[[全部,2]];A076215=nmr[[全部,3]](*让·弗朗索瓦·阿尔科弗2013年9月9日*)

黄体脂酮素

(PARI)is(n,L=max(999,n^5\2e5),s=norml2([1..n-1])={bitst(8456711,n%24)&&for(x=n,L,issquare(s+=(2*x-n)*n)&&return(x))}\\n返回最小的“结束数”x(因此(x-n+1)^2+…+x^2是一个正方形),如果n在序列中,则返回0。-M、 哈斯勒2016年2月2日

交叉引用

囊性纤维变性。A007475号,A076215,A151557号,A274469号.

囊性纤维变性。A097812号(n^2是两个或多个连续平方的和)。

上下文顺序:A018351号 A004642号 邮编:A185545*A045386号 A0354年 A066725号

相邻序列:A001029型 A001030型 A001031号*A001033型 A001034号 A001035型

关键字

,容易的,美好的

作者

N、 斯隆

扩展

更正人T、 D.不2004年8月25日

偏移量更改为1N、 斯隆2008年6月

b文件中增加了30000条附加条款克里斯托弗·汤普森2016年6月10日

附加条款不超过250000,由克里斯托弗·汤普森2018年2月20日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年8月3日13:49。包含336198个序列。正在运行OE4(运行)