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提示
问候整数序列的在线百科全书!)
A000 1032 n个连续整数>1的平方和是一个正方形。
(前M1996 N0797)
二十九
1, 2, 11,23, 24, 26,33, 47, 49,50, 59, 73,74, 88, 96,97, 107, 121,122, 146, 169,177, 184, 191,193, 194, 218,239, 241, 242,249, 289, 297,299, 311, 312,299, 311, 312,γ,γ,γ,γ,γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

由Watson(又由Ljunggren)证明,如果0 ^ 2+1 ^ 2 +…+R^ 2为正方形,r=0, 1或24。

高达1391的项==0, 1, 2、9, 11, 16、23 mod 24。开始号码在A000 775(n)。和的平方根是A076215(n)。-拉尔夫斯蒂芬04月11日2002

n=2的情况下的解是A000 1652A08229.

对于K>5和K=1或5(mod 6),似乎所有的K ^ 2都在这里。当n不是正方形时,问题6552的解表明n个连续平方的和等于一个平方的数目是无穷的。当n为正方形时,只有有限个数。例如,只有49个项的总和是25 ^ 2 +…+ 73 ^ 2=357 ^ 2。-诺德1月20日2011

在前面的注释中,“k”2的平方可以从(k^ 2+1)(k^ 2-25)/48和和平方开始。-托马斯·安德鲁斯2月14日2011

A18042A2对于找到n的互补问题,使得从n ^ 2开始的连续平方和等于平方。

托马斯·安德鲁斯,2月22日2011:(开始)

n序列中的基本必要条件:

1。如果n=s^ 2b,其中b是无平方的,则:

如果S可被3整除,则B可被3整除。

b.如果S可被2整除,则B可被2整除。

如果B可被3整除,则B=6(mod 9)。

D.B仅具有素因子p,其中3为正方形,modulo p.(So,p=2,p=3,或p= 12k+/- 1)。

2。

如果n+1可被3整除,则(n+1)/3是两个完全平方的和。

如果n+1不能被3整除,则n+1是两个完全平方的和。

满足这些条件的最小数目是不在这个序列中的842。

这些条件可以用来建立Ralf Stephan的猜想,上面,所有的项都是=0, 1, 2,9, 11, 16,或23(mod 24)(结束)。

满足上述条件但不在这个序列中的数字可以在A26468. -克里斯托弗·E·汤普森6月28日2016

推荐信

W. Ljunggren,E. Lucas提出的一个新的解决方案。TID。34(1952),65-72。

S.N.J.A.斯隆,《整数序列手册》,学术出版社,1973(包括这个序列)。

S.N.J.A.斯隆和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995(包括这个序列)。

链接

Christopher E. Thompsonn,a(n)n=1…10438的表(高达250000,扩展了由T. D. Noe计算的前128项)。

U. Alfred平方和为完全平方的连续整数数学。Mag.,37(1964),19-32。

L. Beeckmans可表示为连续平方和的平方阿梅尔。数学月,101(1994),434-44。

K. S. Brown连续n次幂和等于n次方

M. Laub可表示为n个连续平方和的方块,高级问题6552阿梅尔。数学每月97(1990),622-625。

S. Philipp关于平方和为完全平方的连续整数的注记数学。Mag.,37(1964),218-220。

Vladimir Pletser与平方整数相等的连续平方整数之和数的同余条件,阿西夫:1409.7969(数学,NT),2014。

V. Pletser用Chebyshev多项式的广义PLE方程解找到可表示为连续平方整数之和的所有平方整数,ARXIV预印记ARXIV:1409.7972 [数学,NT ],2014。

G. N. Watson正方形金字塔问题数学信使48(1918),第1-22页。

Eric Weisstein的数学世界,炮弹问题

与平方和相关的序列的索引条目

例子

3 ^ 2+4 ^ 2=5 ^ 2,有两个连续的项,所以2是在序列中。

Mathematica

(*经验重计算,假设Ralf Stephan猜想)nmax=600;min [*最小起始数*)=1;Max [ *最大起始数* ]=10 ^ 5;min [ 457(*第一个不那么容易的项*)]=10 ^ 7;min [577 ]=10 ^ 5;min [587 ]=10 ^ 7;max [y]=max [y]=max [y]=无穷大;Okq[n]/;{ 0, 1, 2,9, 11, 16,23 },mod[n],[n]:= [m=Mn[n],M+],如果[整数=[Sqrt[**n*(1 +6 *M^ 2 +6 *m *(n- 1)-3 *n+2 *n^)],返回[true ] ];No==Reop[k=;do];如果[OKQ[n]==真,打印[a(“,k,”)= =,n,],开始nb=贝米克A000 775(“,k,”)=“,m,”,qRT(和)=A076215(“,k,”)=“,r];k++;SoW[{n,m,r}] ],{n,1,nMax }[] [[ 2, 1 ] ];A000 1032= NMR [〔所有,1〕〕;A000 775= NMR [〔所有,2〕〕;A076215= NMR [〔所有,3〕〕让弗兰,SEP 09 2013*)

黄体脂酮素

(PARI)IS(n,L= max(999,n^ 5 \ 2e5),s=正规2((1…n-1))={BITTEST(8456711,n% 24)& &(x=n,l,iSquare(S+=(2×X-N)*n)& &(x))}返回最小的“结束数”x(使得(x+n+1)^ 2 +…+x^ 2是正方形),如果n在序列中,否则为零。-哈斯勒,02月2日2016

交叉裁判

囊性纤维变性。A000 775A076215A151557A26468.

囊性纤维变性。A097 812(n ^ 2是两个或多个连续方阵之和)。

语境中的顺序:A018351 A000 464 A1855*A045 A084354 A067025

相邻序列:A000 1029 A000 1030 A000 1031*A000 1033 A000 1034 A000 1035

关键词

诺恩容易

作者

斯隆

扩展

修正的诺德8月25日2004

偏移量由1变为斯隆2008年6月

添加到B文件的附加项高达30000克里斯托弗·E·汤普森6月10日2016

添加到B文件的附加项高达250000克里斯托弗·E·汤普森2月20日2018

地位

经核准的

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最后修改11月13日0:59 EST 2019。包含329085个序列。(在OEIS4上运行)