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%I M1624 N0635#316 2024年1月5日14:58:52
%S 0,1,0,1,2,6,18,571866222120733825724911443258781174281，
%电话：42602821554869457048048210295326778483932289281824410786724388，
%电话：403479196261513558470125692741501562146336125648811050847325230711521376
%N Fine序列（或Fine数）：N集上的价关系数>=1；还有n个节点具有偶次根的有序根树的数量。
%C有符号加泰罗尼亚三角形A009766的行和。-_沃特·米森_
%对于这些数字的最佳索引，有两种观点。德国和夏皮罗的a（4）=6，而这里的a（5）=6。这里给出的公式使用了两个标签。
%C摘自D.G.Rogers，2005年10月18日：（开始）
%我注意到您还有一些二进制括号的其他零对计算（例如A055395）。但是，如果您有一个操作#，其中0#0=1#0=1，0#1=1#1=0，并查看从0出来的n个0字符串的括号数，您会得到Fine数的另一个实例。
%C对于Z=1+x（ZW+WW）=1+x CW和W=x（ZZ+ZW）=xZC。因此，Z=1+xxCCZ，Fine数的g.f.的函数方程。事实上，C=Z+W=Z+xCZ。
%C对于具有偶次根的有根平面树，这表示在所有有根的平面树中，有些树具有偶数次根（Z），而有些树具有奇次根（xCZ）。（结束）
%（n+1）=[1,0,1,2,6,18,57186，…]的C汉克尔变换是A000012=[1,1,1,1，…]_菲利普·德雷厄姆，2007年10月24日
%C从偏移量3开始=M*[1,0,0,0，…]的迭代，其中M=以[0,2,2,2，…]为主对角线和[1,1,1，…]作为上对角线与次对角线的三对角矩阵_Gary W.Adamson，2009年1月9日
%C从1开始并与A068875卷积=加泰罗尼亚数字偏移量1.-_Gary W.Adamson_，2009年5月1日
%C有关根系统a_n的非交叉分区的关系，请参见A100754_汤姆·科普兰，2014年10月19日
%C来自Tom Copeland，2014年11月2日：（开始）
%C设P（x）=x/（1+x）与comp。逆Pinv（x）=x/（1-x）=-P[-x]，C（x）=[1-sqrt（1-4x）]/2，是移位加泰罗尼亚数字A000108的o.g.f.，逆Cinv（x）=x*（1-x。
%C Fin（x）=P[C（x）]=C（x”/[1+C（x“）]是精细数的o.g.f.，A000957具有反向Fin ^（-1）（x）=Cinv[Pinv（x）]=Cinv[-P（-x）]=（x-2x^2）/（1-x）^2，Fin（Cinv（x））=P（x）。
%C Mot（x）=C[P（x）]=C[-Pinv（-x）]给出了移位A005043的o.g.f.，Motzkin或Riordan数与comp。逆Mot^（-1）（x）=Pinv[Cinv（x）]=（x-x^2）/（1-x+x^2”）（参见A057078）。
%C BTC（x）=C[Pinv（x）]给出了A007317，这是加泰罗尼亚数字的二项式变换，BTC^（-1）（x）=P[Cinv（x）]=（x-x^2）/（1+x-x^ 2）。
%C纤维（x）=-翅片[Cinv（Cinv（-x））]=-P[Cinv[-x）]=x+2 x^2+3 x^3+5 x^4+…=（x+x^2）/[1-x-x^2]是移位斐波那契数列A000045的o.g.f.，所以comp。逆为Fib^（-1）（x）=-C[品目（-x）]=-BTC（-x。
%C推广到P（x，t）=x/（1+t*x）和Pinv（x，t）=x\（1-t*x。
%C（结束）
%C a（n+1）是半长n的Dyck路径数，避免0级的UD。对于n=3，a（4）=2这样的Dyck路径是UUUDDD和UUDUDD_冉盼，2015年9月23日
%C对于n>=3，a（n）是[n-2]的置换数pi，使得s（pi）避免了模式132、231和312，其中s是West的堆栈排序图_Colin Defant，2018年9月16日
%C以美国科学家泰伦斯·莱昂·费恩（1939-2021）的名字命名_Amiram Eldar，2021年6月8日
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%H<a href=“/index/Ro#rooted”>与根树相关的序列的索引项</a>
%F加泰罗尼亚语（n）=2*a（n+1）+a（n），n>=1。【修订人：蓬特斯·冯·布罗姆森，2022年7月23日】
%F a（n）=（A064306（n-1）+（-1）^（n-1。
%F G.F.：（1-sqrt（1-4*x））/（3-sqrt_Emeric Deutsch公司_
%F a（n）~4^n/（9*n*sqrt（n*Pi））。（由_Peter Luschny_修订，2015年10月26日）
%Fa（n）=（2/（n-1））*Sum_{j=0..n-3}（-2）^j*（j+1）*二项式（2n-1，n-3-j），n>=2.-_Emeric Deutsch，2003年12月26日
%F a（n）=3*Sum_{j=0..floor（（n-1）/2）}二项式（2n-2j-2，n-1）-二项式_Emeric Deutsch，2004年1月28日
%F g.F.（x-2x^2）/（1-x）^2.-的反转_Ralf Stephan，2004年3月22日
%F a（n）=（（-1）^n/2^n）*（-3/4-（1/4）*和{k=0..n，C（1/2，k）8^k}）+0^n；a（n）=（（-1）^n/2^n）*（-3/4-（1/4）*和{k=0..n，（-1）
%F Hankel行列式变换为1-n。-Michael Somos，2006年9月17日
%F a（n+1）=A126093（n，0）_菲利普·德雷厄姆（Philippe Deléham），2007年3月5日
%F a（n+1）有g.F.1/（1-0*x-x^2/（1-2*x-x*2/_Paul Barry，2008年12月2日
%F From _Paul Barry，2009年1月17日：（开始）
%F G.F.:x*c（x）/（1+x*c；
%F a（n+1）=和{k=0..n}（-1）^k*C（2n-k，n-k）*（k+1）/（n+1。（结束）
%F a（n）=3*（-1/2）^（n+1）+伽玛（n+1/2）*4^n*超几何（[1，n+1/2]，[n+2]，-8）/（sqrt（Pi）*（n+1！）（对于n>0）_Mark van Hoeij，2009年11月11日
%F设A是n阶Toeplitz矩阵，定义为：A[i，i-1]=-1，A[i、j]=Catalan（j-i），（i<=j），A[i，j]=0，否则。然后，对于n>=1，a（n+1）=（-1）^n*charpoly（a，1）_米兰Janjic_，2010年7月8日
%F a（n）=M^n中的左上项，n>0；其中M=无限平方乘积矩阵：
%F 0，1，0，0，0,0。。。
%F 1、1、1，0、0、0。。。
%F 1、1、1，1、0、0。。。
%F 1、1、1，1、1和0。。。
%F 1、1、1，1、1。。。
%F。。。
%F-_Gary W.Adamson_，2011年7月14日
%F a（n+1）=总和{k=0..n}A039598（n，k）*（-2）^k.-Philippe Deléham，2011年11月4日
%带递归的F D-有限：2*n*a（n）+（12-7*n）*a（n-1）+2*（3-2*n）*a（n-2）=0.-_R.J.Mathar，2011年11月15日
%F a（n）=总和（总和（2^（s-2n-2k）*（n/n+2k）二项式（n+2k，k）*二项式_2012年3月22日，何塞·路易斯·拉米雷斯
%对于Z中的所有n，如果我们扩展a（0）=-1，a（-n）=-3/4*（-2）^n_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2014年1月31日【由蓬图斯·冯·布罗姆森（Pontus von Brömssen）更正】
%F G.F.A（x）满足x*A'（x）/A（x）=x+2*x^3+6*x^4+22*x^5+。。。，A072547的o.g.f_Peter Bala，2015年10月1日
%F a（n）=2^n*（n-2）*（2*n-1）*（3*（n-1）*上层（[1,3-n]，[3+n]，2）-n-2）/（n+2）！+2015年10月25日，0 ^n.-_Vladimir Reshetnikov
%F a（n）=二项式（2*n，n）*（超几何（[1，（1-n）/2,1-n/2]，[1-n，3/2-n]，1）*3/（4-2/n）-1）对于n>=2.-_Peter Luschny_，2015年10月26日
%F O.g.F.A（x）满足1+A（x）=（1+3*Sum_{n>=1｝加泰罗尼亚（n）*x^n）/（1+2*Sum_{n>=1｝加泰罗尼亚（n）*x^n）=（1+2*Sum_{n>=1｝二项式（2*n，n）*x^n）/（1+3/2*Sum_{n>=1｝二项式（2*n，n）*x^n）。-_Peter Bala，2016年9月1日
%F a（n）=和{i=2..n-1}C（n-i-1）*（a（i）+a（i-1）），a（0）=0，a（1）=1，其中C（n）=A000108（n）_Vladimir Kruchinin，2020年4月23日
%总长度=x+x^3+2*x^4+6*x^5+18*x^6+57*x^7+186*x^8+622*x^9+2120*x^10+。。。
%p t1:=（1平方米（1-4*x））/（3平方米（1~4*x）；t2：=系列（t1，x，90）；A000957:=n-系数（t2，x，n）；
%p A000957:=过程（n）：如果n=0，则0否则添加（（-1）^（n+k-1）*二项式（n+k-1，n-1）*（n-k）/n，k=0..n-1）fi:end:seq（A000957（n），n=0..28）；#_Johannes W.Meijer，2013年7月22日
%p#第三个Maple程序：
%p a:=proc（n）选项记忆`如果`（n<3，n*（2-n），
%p（（7*n-12）*a（n-1）+（4*n-6）*a
%p端：
%p序列（a（n），n=0..32）；#_Alois P.Heinz_，2020年4月23日
%t表[Plus@@表[（-1）^（m+n）（n+m）！/n！/m！（n-m+1）/（n+1），{m，0，n}]，{n，0，36}]（*_Wouter Meeussen_*）
%ta[0]=0；a[n]：=（1/2）*（-3*（-1/2）^n+2^（n+1）*（2n-1）！！*超几何2F1正则化[2，2n+1，n+2，-1]）；（*_Jean-François Alcover，2012年2月22日*）
%t表[2^n（n-2）（2n-1）！！（3（n-1）超几何2F1[1，3-n，3+n，2]-n-2）/（n+2）！+KroneckerDelta[n]，{n，0，20}]（*_Vladimir Reshetnikov_，2015年10月25日*）
%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polceoff（1/（1+2/（1-平方（1-4*x+x*o（x^n））），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年9月17日*/
%o（PARI）{a（n）=如果（n<1，0，polceoff（1/（1+1/serreverse（x-x^2+x*o（x^n）），n））}；/*_迈克尔·索莫斯（Michael Somos），2006年9月30日*/
%o（哈斯克尔）
%o a000957 n=a000957_列表！！n个
%o a000957_list=0:1：
%o（map（`div`2）$tail$zipWith（-）a000108_list a000957_list）
%o——_ Inhard Zumkeller_，2011年11月12日
%o（Magma）[0,1]cat[n le 1 select n-1 else（Catalan（n）-Self（n-1））/2:n in[1..30]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2016年11月17日
%o（鼠尾草）
%o定义罚款（）：
%o f，c，n=1，1，1
%o产量0
%o为True时：
%o产量f
%o n+=1
%o c=c*（4*n-6）//n
%o f=（c-f）//2
%o a=精细（）
%o打印（[next（a）for _ in range（29）]）#_Peter Luschny_，2016年11月30日
%o（最大值）
%o C（n）：=二项式（2*n，n）/（n+1）；
%o a（n）：=如果n<=0，则0 else如果n=1，则1 else和（C（n-i-1）*（a（i）+a（i-1）），i，2，n-1）；
%o/*_Vladimir Kruchinin，2020年4月23日*/
%o（Python）
%o从itertools导入计数，islice
%o def A000957_gen（）：#术语生成器
%o（0,1,0）的产量
%o a，c=0，1
%计数（1）中n的o：
%o产量（a:=（c:=c*（（n<<2）+2）//（n+2））-a>>1）
%o A000957_list=list（岛屿（A000957-gen（），20））#_Chai Wah Wu_，2023年4月26日
%Y一列A065600。
%带符号的Y序列：A064310。
%Y等分：A138413、A138414。
%Y对数导数：A072547。
%Y参见A068875、A000108、A000045、A005043、A057078、A007317、A091867、A104597。
%Y参见A000012、A009766、A039598、A055395、A064306、A100754、A126093。
%K nonn，很好，很容易
%0、5
%A _N.J.A.斯隆_
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