通用公式：（1/（x+x^2）^2）*Sum_{n>=0}n*（x/（1+x）^2）^n-弗拉德塔·乔沃维奇2007年6月29日
通用公式：（1/E（0）-1+x-x^2）/x^2，其中E（k）=（1+x）^2+k*x-（k+1）*x*（1+x）^2/E（k+1；（连分数，欧拉第一类，1步）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2012年9月17日
使用[Lucas]中的公式，我们有
（i） a（1）=0，a（2）=3，对于n>=3，a（n）=（n+2）*a（n-1）+a（n-2）+2*（-1）^n
（注意，（i）得出a（3）=13，且当n>=4时，
a（n-1）=（n+1）*a（n-2）+a（n-3）-2*（-1）^n。将其与（i）相加，我们看到（i）定义了A000904号);
（ii）对于n>=1，a（n）=(A000179号（n+3）+2*（-1）^n）/（n+3）；
（iii）*如果n是偶数，则a（n）=和{i=0..（n+2）/2）}A000179号（2*i）；
（iii）**如果n是奇数，则a（n）=和{i=2..（n+1）/2}A000179号（2*i+1）。
阿尔索
（iv）*a（n）=Sum_{i=0..n+2}（-1）^i*A000271号（n-i+2）；
（v） a（n-2）=和{i=0..n}（-1）^i*二项式（2*n-i+1，i）*（n-i）！，n> =3。
请注意，Lucas认为这个序列带有其他首字母。他在《卢卡斯》（Lucas）一书的第491-495页证明了他的公式（i）-（iii），我们为当前的缩写写了这些公式。
其他5个公式，包括显式公式5）是新的，我们给出了它们的证明：
（iii）*，（iii）**。公式（iii）*和（iii）**是通过分别对偶数和奇数值的（iii）直接求和得到的，同时考虑了首字母。
（iv）。要获得（iv），请在表格中填写（iii）
a（j+1）-a（j）=-（a（j）-a（j-1））+A000179号（j+3），j>=2。
求和{j=2..n}，我们有
a（n+1）-a（2）=-a（n）+a（1）+和{j=2..n}A000179号（j+3）。由于a（1）=0，a（2）=3，我们发现
需要注意的是，根据定义，
和{i=0..n+2}（-1）^i*A000271号（n-i+2）=和{i=0..n-2}（-1）^i*A000271号（n-i+2），通过（iv），最后一个和等于
和{i=0..n-2}（-1）^i（a（n-i）+a（n-i-1））=a（n）+（-1）（n-2）*a（1）=a。
（v） ●●●●。我们对n>=3使用归纳法。在n=3（v）的情况下，得出6-6*2+10-4=0=a（1）。集合n:=n+2。
假设对于一些（现在n>=1）我们有
a（n）=和{i=0..n+2}（-1）^i*二项式（2*n-i+5，i}*（n+2-i）！(*)
A000271号（n+3）=和{j=0..n+3}（-1）^j*二项式（2*n-j+6，j）*（n-j+3）！，n> 3、。
现在，通过（iv）和（*）改变求和j=i+1，我们得到
a（n+1）=Sum_{j=0..n+3}（-1）^j*二项式（2*n-j+6，j）*（n-j+3）！+求和{j=1..n+3}（-1）^j*二项式（2*n-j+6，j-1}*（n+3-j）！
由于二项式（n，-1）=0，那么在第二个和中，求和可以从j=0开始。
所以，我们有
a（n+1）=和{j=0..n+3}}（-1）^j*二项式（2*n-j+7，j}*（n+3-j）！=求和{j=0..n+3}（-1）^j*二项式（2*（n+1）-j+5，j）*（（n+1，+2-j）！
因此，通过将n替换为n+1，可以从（*）中正式获得此表达式。
QED（结束）
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