%I#190 2022年9月8日08:44:28

%S-1,3,15,35,63,991431952553233994835757578389910231155，

%电话：1295144315991763193521152303249927032915313533633599，

%电话：3843409543554623489951835475577560836399672370557395

%N a（N）=4*N ^2-1。

%C总和_｛n>=1｝（-1）^n*a（n）/n！=1-1/e=A068996。-_Gerald McGarvey_，2007年11月6日

%C序列产生于从-1读取直线，方向为-1、15。。。从3开始的同一条直线，在方向3，35。。。，在正方形螺旋中，其非负顶点为正方形A000290_Omar E.Pol_，2008年5月24日

%C a（n）是连续奇数整数2n-1和2n+1的乘积（参见A005408）_Doug Bell，2009年3月8日

%C对于n>0：a（n）=A176271（2*n，n）；参见A016754、A053755_Reinhard Zumkeller_，2010年4月13日

%C a（n+1）给出了第n个圆的曲率C（n），该圆与对称阿贝洛（1/2，1/2）和（n-1）-st圆的两个相等半圆相接触，输入C（0）=3=A059100（1）（指Pappus链的第二个圆），对于n>=0_Wolfdieter Lang和Kival Ngaokrajang，2015年7月3日

%C在3之后，a（n）是基2n的伪素数。例如：（2*2）^（a（2）-1）==1（moda（2”）），实际上4^14=15*17895697+1.-_Bruno Berselli，2015年9月24日

%C数字m，使m+1和（m+1）/4为正方形_Bruno Berselli，2016年3月3日

%C在-1之后，2*m+1和2*m-1的最小公倍数_科林·巴克，2017年2月11日

%C该序列包含双素数对的所有乘积（参见A037074）_Charles Kusniec_，2019年10月3日

%D T.M.Apostol，《解析数论导论》，Springer-Verlag，1976年，第3页。

%D L.B.W.Jolley，《级数求和》，多佛，第二版，1961年。

%D Granino A.Korn和Theresa M.Korn，《科学家和工程师数学手册》，McGraw-Hill图书公司，纽约（1968年），第980-981页。

%D A.Languasco和A.Zaccagini，《Crittografia手册》，Ulrico Hoepli编辑（2015），第259页。

%H Vincenzo Librandi，n的表，n=0..900的a（n）</a>

%H Isabel Caçao、Helmuth R.Malonek、Maria Irene Falcáo和Graça Tomaz，<a href=“https://www.emis.de/journals/JIS/VOL21/Falcao/falcao2.html“>与多维多项式序列相关的组合恒等式</a>，J.Int.Seq.，第21卷（2018年），第18.7.4条。

%H米兰·扬基奇和鲍里斯·佩特科维奇，<a href=“http://arxiv.org/abs/1301.4550“>A计数函数，arXiv 1301.4550[math.CO]，2013。

%H Kival Ngaokrajang，巴普斯链（向下）图解。

%H<a href=“/index/Rec#order_03”>具有常系数的线性重复出现的索引条目，签名（3，-3,1）。

%出生日期：（1-6*x-3*x^2）/（x-1）^3.-_R.J.Mathar，2011年3月24日

%例如：（-1+4*x+4*x^2）*exp（x）.-_伊利亚·古特科夫斯基，2016年5月26日

%F和{n>=1}1/a（n）=1/2[Jolley等式233]_Benoit Cloitre_，2002年4月5日

%F Sum_{n>=1}2/a（n）=1=2/3+2/15+2/35+2/63+2/99+2/143。。。，部分和：2/3、4/5、6/7、8/9、10/11、12/13、14/15…-_Gary W.Adamson_，2003年6月16日

%F 1/3+和{n>=2}4/a（n）=1=1=3+4/15+4/35+4/63。。。，部分和：1/3、3/5、5/7、7/9、9/11。。。，（2n+1）/（2n+3）.-_Gary W.Adamson_，2003年6月18日

%F和{n>=0}2/a（2*n+1）=Pi/4=2/3+2/35+2/99，…=(1 - 1/3) + (1/5 - 2/7) + (1/9 - 1/11) + ... = 和{n>=0}（-1）^n/（2*n+1）_Gary W.Adamson_，2003年6月22日

%F乘积（n>=1，（a（n）+1）/a（n））=Pi/2（Wallis公式）Mohammed Bouayoun（Mohammed.Bouayoun（AT）sanef.com），2004年3月3日

%F a（n）+2=A053755（n）.-_扎克·塞多夫，2007年1月16日

%F a（n）^2+A008586（n）*2=A053755（n）|2（勾股三元组）_扎克·塞多夫，2007年1月16日

%F a（n）=a（n-1）+8*n-4对于n>0，a（0）=-1.-_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2010年12月17日

%F和{n>=1}（-1）^（n+1）/a（n）=Pi/4-1/2=（A019669-1）/2。[乔利方程（366）]_R.J.Mathar，2011年3月24日

%对于n>0，a（n）=2/（积分_{x=0..Pi/2}（sin（x））^3*（cos（x），^（2*n-2））_弗朗西斯科·达迪（Francesco Daddi），2011年8月2日

%F笛卡尔三圆定理中c（n）=a（n+1）的非线性递推（参见上面的阿贝洛斯注释）：c（n）=4+c（n-1）+4*sqrt（c（n-1）+1），输入c（0）=3=A059100（1），n>=0。这个递归的适当解是c（n-1）+1=4*n^2_Wolfdieter Lang，2015年7月3日

%F a（n）=3*Pochhammer（5/2，n-1）/Pochhamder（1/2，n-1。因此，对于a（n+1），即去掉第一项，例如f.是3*1F1（5/2；1/2；x），其中1F1是汇合超几何函数（也称为Kummer函数）_Stanislav Sykora，2016年5月26日

%F乘积{n>=1}（1-1/a（n））=sin（Pi/sqrt（2））/sqrt_Amiram Eldar，2021年2月4日

%p A000466:=n->4*n^2-1；序列号（A000466（n），n=0..100）；#_韦斯利·伊万·赫特，2013年11月19日

%t 4范围[0,50]^2-1（*哈维·P·戴尔，2011年1月23日*）

%o（岩浆）[4*n^2-1:n in[0..50]]；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2011年4月26日

%o（PARI）a（n）=4*n^2-1\\查尔斯·格里特豪斯IV，2011年10月27日

%o（Maxima）清单（4*n^2-1，n，0，50）；/*_Martin Ettl，2012年11月12日*/

%o（Sage）[4*n^2-1表示n英寸（0..50）]#_Bruno Berselli_，2015年9月24日

%Y参考A000290、A001539、A016286、A016742。

%A160466的Y系数。A037074的超集。

%Y参考A059100（Pappus链的曲率）。

%K符号，简单

%0、2

%陈兆基（skchan5（AT）hkein.ie.cuhk.hk）