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(来自的问候整数序列在线百科全书!)
A000272号 n个标记节点上的树数:n ^(n-2),a(0)=1。
(原名M3027 N1227)
299

%I M3027 N1227#302 2023年8月12日00:50:38

%S 1,1,1,3,161251296168072621444782969100000002357947691,

%电话:6191736422417921603940375669312375296195068359375,

%电话:7205759403792793628624230515098157931214395310965942517765480386857784802185939

%N N个标记节点上的树数:N ^(N-2),a(0)=1。

%C在n个标记节点上的完整图K_n中的生成树数。

%C Robert Castelo(rcastelo(AT)imim.es),2001年1月6日,观察到n^(n-2)也是n-1顶点上传递子树无圈有向图的数目。

%C a(n)也是将对称群S_n中的n个圈表示为n-1转置的乘积的方法数,参见示例丹福(Dan.Fux(AT)OpenGaia.com或danfux(AT)OpenGaia.com),2001年4月12日

%C还统计停车功能、芯片点火游戏的关键配置、按优先级队列排序的允许对[Hamel]。

%C长度n的停车函数可以描述为所有单词[d(1),d(2),…,d(n)]的所有排列,其中1<=d(k)<=k;请参见示例。有长度为n的(n+1)^(n-1)=a(n+1

%C a(n+1)是长度不大于1的圈的内函数数;n个顶点上有根标记树的森林数_米奇·哈里斯,2006年7月6日

%C a(n)也是(n元集的)幂零部分双射数。等价地,部分对称半群中幂零的个数,P subn.-Abdullahi Umar_,2008年8月25日

%C a(n)也是n个节点上带边缘标记的根树的数量_Nikos Apostolakis,2008年11月30日

%C a(n+1)是{1,2,…,n}字母表中部分和等于n的长度为n的序列数。例如a(4)=16,因为{1,2,3}上有16个长度为3的序列,其中的项(从第一项开始,按顺序进行)在序列中的某个点上和为3。{1, 1, 1}, {1, 2, 1}, {1, 2, 2}, {1, 2, 3}, {2, 1, 1}, {2, 1, 2}, {2, 1, 3}, {3, 1, 1}, {3, 1, 2}, {3, 1, 3}, {3, 2, 1}, {3, 2, 2}, {3, 2, 3}, {3, 3, 1}, {3, 3, 2}, {3, 3, 3}. - _Geoffrey Critzer,2009年7月20日

%C a(n)是从{1,2,…,n-1}到{1,2…,n}的非循环函数数。非循环函数f满足以下性质:对于域中的任何x,都存在一个正整数k,使得(f^k)(x)不在域中。注意,f^k表示f与其自身的k重组成,例如,(f^2)(x)=f(f(x))_Dennis P.Walsh,2011年3月2日

%C a(n)是多项式x^{n-1}+的判别式的绝对值+x+1。更准确地说,a(n)=(-1)^{(n-1)(n-2)/2}乘以判别式_Zach Teitler,2014年1月28日

%C对于n>2,a(n+2)是a_n.-Tom Edgar_型仿射Weyl群的规范自动机中的节点数,2016年5月12日

%C树公式a(n)=n^(n-2)是由于Cayley(见第一条注释)_Jonathan Sondow_,2018年1月11日

%C a(n)是n个顶点上的“种植布鲁塞尔萌芽”游戏的不同拓扑线数。请参阅Ji和Propp链接。-_Caleb Ji_,2018年5月11日

%C a(n+1)也是R^n的基数,它可以由形式为[0…0 1…1 0…0]^T的n(n+1_尼古拉·纳格尔,2018年7月31日

%C Cooper等人证明了每个连通k色图都包含至少k^(k-2)生成树_米歇尔·马库斯,2020年5月14日

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%H D.Zeilberger,<a href=“http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/labtree.pdf“>标记树数量公式的第n^(n-2)个证明</a>

%H D.Zeilberger,<a href=“/A000272/A000272_1.pdf”>标记树数量公式的第n(n-2)个证明

%H D.Zeilberger,<a href=“http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/cayley.pdf“>标签树计数的又一证明</a>

%H D.Zeilberger,标签树计数的又一证明

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%H<a href=“/index/Tra#trees”>为与树相关的序列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%F例如:1+T-(1/2)*T^2;其中T=T(x)是欧拉树函数(参见A000169,也可参见A001858)_Len Smiley,2001年11月19日

%F n个节点上标记的k树的数目是二项式(n,k)*(k*(n-k)+1)^(n-k-2)。

%例如,对于b(n)=a(n+2):((W(-x)/x)^2)/(1+W(-x)),其中W是Lambert函数(主分支)。[等于d/dx(W(-x)/(-x”).-Wolfdieter Lang_,2022年10月25日]

%F为n次多项式生成的对称矩阵H的行列式:对于(i=1,n-1,对于(j=1,i,H[i,j]=(n*i^3-3*n*(n+1)*i^2/2+n*(3*n+1)*i/2+(n^4-n^2)/2)/6-(i^2-(2*n+1)*i+n*(n+1)))*(j-1)*j/4;H[j,i]=H[i,j];););.-_Gerry Martens_,2007年5月4日

%Fa(n+1)=Sum_{i=1..n}i*n^(n-1-i)*二项式(n,i).-Yong Kong(ykong(AT)curagen.com),2000年12月28日

%F对于n>=1,a(n+1)=Sum_{i=1..n}n^(n-i)*二项式(n-1,i-1).-_Geoffrey Critzer,2009年7月20日

%F例如,对于b(n)=a(n+1):exp(-W(-x)),其中W是满足W(x)*exp(W(x

%F From _Sergei N.Gladkovskii,2012年9月18日:(开始)

%F例如:1+x+x^2/(U(0)-x),其中U(k)=x*(k+1)*(k+2)^k+(k+1”;(续分数)。

%固定系数:1+x+x^2/(U(0)-x),其中U(k)=x*(k+1)*(k+2)^k+(k+1;(续分数)。(结束)

%F通过求和{n>=1}a(n+1)*x^n/n!=与A000254相关级数反转(1/(1+x)*log(1+x))=级数反转(x-3*x^2/2!+11*x^3/3!-50*x^4/4!+…)。参见A052750.-_Peter Bala,2016年6月15日

%F对于n>=3和2<=k<=n-1,n个顶点上的树的数目正好是k片叶子的二项式(n,k)*S(n-2,n-k)(n-k)!其中S(a,b)是第二类斯特林数。因此a(n)=和{k=2..n-1}二项式(n,k)*S(n-2,n-k)(n-k)!对于n>=3.-_乔纳森·诺尔,2017年5月5日

%e a(7)=matdet([196,175,140,98,56,21;175,160,130,92,53,20;140,130,110,80,47,18;98,92,80,62,38,15;56,53,47,38,26,11;21,20,18,15,11,6])=16807

%e a(3)=3,因为有3个无环函数f:[2]->[3],即{(1,2),(2,3)},{(1.3),(2,1)}和{(1,3),(2.3)}。

%e摘自Joerg Arndt_和Greg Stevenson,2011年7月11日:(开始)

%e以下3个换位的乘积在S_4中导致4个循环:

%e(1,2)*(1,3)*(1.4);

%e(1,2)*(1,4)*(3,4);

%e(1,2)*(3,4)*(1,3);

%e(1,3)*(1,4)*(2,3);

%e(1.3)*(2,3)*(1,4);

%e(1,4)*(2,3)*(2,4);

%e(1.4)*(2,4)*(3,4);

%e(1.4)*(3.4)*(2.3);

%e(2,3)*(1,2)*(1.4);

%e(2,3)*(1,4)*(2,4);

%e(2,3)*(2,4)*(1,2);

%e(2,4)*(1,2)*(3,4);

%e(2,4)*(3,4)x(1,2);

%e(3,4)*(1,2)*(1,3);

%e(3,4)*(1,3)*(2,3);

%e(3,4)*(2,3)*(1,2)。(结束)

%e长度为3的16个停车功能分别为111、112、121、211、113、131、311、221、212、122、123、132、213、231、312、321_Joerg Arndt_,2014年7月15日

%e.G.f.=1+x+x^2+3*x^3+16*x^4+125*x^5+1296*x^6+16807*x^7+。。。

%p A000272:=n->ifelse(n=0,1,n^(n-2)):序列(A000272(n),n=0..20);#_Peter Luschny_,2022年6月12日

%t<<离散数学`Combinatorica`表[NumberOfSpanningTrees[CompleteGraph[n]],{n,1,20}](*_Artur Jasinski_,2007年12月6日*)

%t连接[{1},表[n^(n-2),{n,20}]](*哈维·P·戴尔,2012年11月28日*)

%t a[n_]:=如果[n<1,布尔[n==0],n^(n-2)];(*迈克尔·索莫斯,2014年5月25日*)

%t a[n_]:=如果[n<0,0,n!系列系数[1-兰伯特W[-x]-兰伯特W[-x]^2/2,{x,0,n}]];(*迈克尔·索莫斯,2014年5月25日*)

%t a[n_]:=如果[n<1,Boole[n==0],使用[{m=n-1},m!系列系数[Exp[-LambertW[-x]],{x,0,m}]];(*迈克尔·索莫斯,2014年5月25日*)

%t a[n_]:=如果[n<2,Boole[n>=0],与[{m=n-1},m!级数系数[Inverse Series[Log[1+x]/(1+x),{x,0,m}]],m]];(*迈克尔·索莫斯,2014年5月25日*)

%t a[n_]:=如果[n<1,Boole[n==0],使用[{m=n-1},m!系列系数[嵌套[1+积分[#^2/(1-x#),x]&,1+O[x],m],{x,0,m}]];(*迈克尔·索莫斯,2014年5月25日*)

%o(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,n^(n-2))};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2002年2月16日*/

%o(PARI){a(n)=my(a);如果(n<1,n==0,n---;a=1+o(x);对于(k=1,n,a=1+形式(a^2/(1-x*a)));n!*polcoff(a,n))};/*_迈克尔·索莫斯(Michael Somos),2014年5月25日*/

%o(岩浆)[1..10]]中的[n^(n-2):n;//谢尔盖·哈勒(Sergei(AT)Sergei-Haller.de),2006年12月21日

%o(PARI)/*_Gerry Martens_提出的一元n次多项式厄米(平方对称)矩阵行列式的GP函数:*/

%o Hn(n=2)={局部(H=矩阵(n-1,n-1),i,j);对于(i=1,n-1,对于(j=1,i,H[i,j]=(n*i^3-3*n*(n+1)*i^2/2+n*(3*n+1)*i/2+(n^4-n^2)/2)/6-(i^2-(2*n+1););打印(“a(”,n,“)=matdet(”,H,“)”);打印*/

%o(最大值)A000272[n]:=如果n=0,则1其他n^(n-2)$

%o制造清单(A000272[n],n,0,30);/*_Martin Ettl,2012年10月29日*/

%o(哈斯克尔)

%o a000272 0=1;a000272 1=1

%o a000272 n=n^(n-2)--_Reinhard Zumkeller_,2013年7月7日

%o(Python)

%o def A000272(n):如果n<=1,则返回1,否则n**(n-2)#_Chai Wah Wu_,2022年2月3日

%Y参见A000169、A000254、A000312、A007778、A007830、A008785-A008791、A052750、A081048、A083483、A097170、A239910。

%Y a(n)=A033842(n-1,0)(三角形的第一列)。

%Y a(n)=A058127(n-1,n)(三角形的右边缘)。

%Y参考A000272(标记的树)、A036361(标记的2棵树)、A036362(标记的3棵树)、A036506(标记的4棵树)、A000055(未标记的树)、A054581(未标记的2棵树)。

%A105599的Y列m=1_Alois P.Heinz_,2014年4月10日

%K简单,无核,核心,不错

%0、4

%A·N·J·A·斯隆_

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