日期：2006年10月7日星期六10:37:57+0200发件人：托马斯·维德主题：关于A000262的进一步评论（乳胶文件）\文档类[11pt]｛文章｝\帕斯基普1.0ex\此页面样式{空}\开始｛文档｝考虑所有$n！$整数序列$[n]=的置换1,2,3,...,新币。$i$-th置换，$i=1,2，\ldot，n！$，包括$Z（i）$置换循环。这样的循环的长度为$lc（i，j）$，$j=1，。。。，Z（i）美元。对于给定的置换，我们形成它的所有乘积循环长度$\prod_{j=1}^{Z（i）}lc（i，j）$。此外，我们总结了所有所有$[n]$排列的此类乘积\开始｛等式｝\标签｛LS｝\sum_{i=1}^{n！}\prod_{j=1}^}Z（i）}lc（i，j）=A000262（n）。\结束{方程式}对于$n=4$，我们有$\sum_{i=1}^{n！}\prod_{j=1}^}Z（i）}lc（i，j）=1*1*1*1+ 2*1*1 + 3*1 + 2*1*1 + 3*1 + 2*1 + 3*1 + 4 + 3*1 + 4 + 2*2 + 2*1*1 + 3*1 + 4 + 3*1 + 2*1*1 + 2*2 + 4 + 2*2 + 4 + 3*1 + 2*1*1 + 3*1 + 4 = 73 = A000262（4）美元。我们将通过以下方式指示第$i$-th置换的长度集$L（i）$$\{|lc（i，j=1），…，lc（i，j=Z（i））|\}$。例如$\{|3,1|\}$对应于具有两个周期的置换，一个周期长度为3，另一个周期的长度为1。在这里我们对$L（s）$的重数$mc（s）$感兴趣，其中$s=1，\ldots，S$计算不同的$L（S）$，我们有其中的$S$。对于$n=4$one发现存在$mc（s=1）=8$与$\{|3,1|\}$的置换$mc（s=1）=3$与$\{2,2|\}$的置换。因此有$S=2$不同的长度集，稍后可以清楚地看到$S=P（n，k）$，即$n$到$k$的整数分区数部分。我们观察到$8+3=11=s（n=4，k=2）$，其中$s（n，k）$是第一类斯特林数，见A008275，$k$给出了数字循环数。现在，我们考虑了Wilf的公式（Wilf，OEIS，对A000262的评论，2005）$A000262（n）=n！\sum_{k=0}^{n-1}C（n-1，k）/（k+1）！$对于$n=1,2,3,...$ （其中C（n，k）表示通常的二项式系数）。对于$n=4$此总和为$24+36+12+1=73$。Wilf总和中的每一项包括$s（n，k）$个摘要。现在让索引$i$从$i=1$运行到$R（n，k）$$R（n，k）$$[n]$与$k$个循环的置换数。然后我们可以逐项写出威尔夫公式。为了我们示例排列有$8*（3*1）+3*（2*2）=24*C（3,1）/2！=36$. 公式为\开始{方程式}\标签{RS}\sum_｛i=1｝^｛R（n，k）｝\prod_｛j｝^｛k｝lc（i，j）=\frac｛n！\；C（n-1，k-1）｝｛k！｝。\结束{方程式}作为最后一步，我们考虑了整数分区。将$n$的$P（n，k）$分区划分为$k$个部分。指数$p=1,...,P（n，k）$指定分区。我们将写出第$p$-个以$[t（1），t（2），…，t（k）[$的通常方式用$k$部分进行分区第一部分为$t（1）$，依此类推。例如，有2个分区$P（n=2，k=2）$，即$[1,3[$和$[2,2[$。此外，我们需要第$p$个分区中不同部分的乘积$mp（p，q）$。不同部分按指数$q=1计算，。。。D（p）$和定义$t（q=1）t（q=D（p））$，其中我们有$D（p）$不同的部分。例如，在分区$p=5$[1115]中，$n=8$two出现不同的部分，即$t（q=1）=p（1）=p$t（q=2）=p（4）=5$。因此$mp（p=5，q=1）=3$，$mp（p=5，q=2）=1$。As has公司如前所述（Wieder，OEIS，对A0000262005的评论），我们可以将A000262（n）写入$n$的所有$P（n）$分区的总和。这个总数可以将分区上的$n$sum拆分为$k$个部分。阿盖恩我们逐项满足威尔夫公式\开始{方程式}\求和{p=1}^{p（n，k）}\分形{n！}{\prod_{q=1}^}D（p）}mp（p，q）！}=\压裂{n！\；C（n-1，k-1）}{k！}。\结束{方程式}对于我们的示例分区$[1,3]$、$[2,2]$，我们有$24/（1！*1！）+24/（2！）=24*C（3,1）/2！=36$. 将最后两个的左侧相等方程式给出\开始{方程式}\标签{BS}\sum_{i=1}^{R（n，k）}\prod_{j}^{k}lc（i，j）=\sum_{p=1}^}p（n，k）}\压裂{n！}{\prod_{q=1}^{D（p）}mp（p，q）！}。\结束{方程式}我们的例子最终得到$8*（3*1）+3*（2*2）=24/（1！*1！）+24/(2!)$. 在左边，我们处理$[n]$的排列$Z（i）=k$置换循环。长度集$L（i）$与将$n$的整数分区为$k$部分。在右侧，我们处理整数的对应重数$mp（p，q）$分区。收集的捐款同样会将$L（i）$设置在左手侧的书写导致左手侧的等效书写，即\开始{方程式}\标签{LS2}\sum{s=1}^{s}mc（s）\prod_{j=1}^}k}lc（s，j）。\结束{方程式}此表概述了第一个种类，因为对于涉及的多重性$mc（s）$，它是$\sum_{s=1}^{s}mc（s）=s（n，k）$。\结束{文档}