%I M1946 N0771#306 2024年3月12日15:41:53

%第1,2,9,64625777611764920971524304672110000000025937424601页，

%电话7430083706882329808512248179371477325414429192926025390625，

%电话：1152921504606846976486611918756668684812185911559738696531968104127350297911241524288000000000000000

%N具有N个节点的带标签根树的数量：N^（N-1）。

%C也是n个顶点上的连通传递子树无圈有向图的个数Robert Castelo（rcastelo（AT）imim.es），2001年1月6日

%C对于任何给定的整数k，a（n）也是从{1,2，…，n}到{1,2…，n}的函数数，因此函数值的和是k mod n.-Sharon Sela（sharonsela（AT）hotmail.com），2002年2月16日

%C第一项为1，公比为n的几何级数的第n项：a（1）=1->1,1,1，1，。。。a（2）=2->1,2，。。。a（3）=9->1,3,9，。。。a（4）=64->1,4,16,64，…-_Amarnath Murthy，2004年3月25日

%C方程x^y=y^x（x<y）的所有有理解均由x=A000169（n+1）/A000312（n），y=A000312（n+1，/A007778（n）给出，其中n=1，2，3，….-_尼克·霍布森（Nick Hobson），2006年11月30日

%C a（n+1）也是n个标记对象上的部分函数数_富兰克林·亚当斯·沃特斯，2006年12月25日

%换句话说，如果A是大小为n-1的有限集，那么A（n）是A上也是函数的二元关系数。注意，a（n）=和{k=0..n-1}二项式（n-1，k）*（n-1）^k=n^（n-1

%C更一般地，考虑形式为a（n）=（n*C（1）*…的序列类*c（i））^（n-1）。该序列的c（1）=1。A052746具有a（n）=（2*n）^。这些序列具有类似于简单语法的组合结构_Ctibor O.Zizka，2008年2月23日

%C a（n）等于从b（2）开始的序列b（n）=n^（n-2）的对数变换Kevin Hu（第十交响乐（AT）gmail.com），2010年8月23日

%C此外，n阶标记连通多图的数量，除了一个循环外没有圈。请参阅下面的链接，以获得显示有根树和此类多重图之间的双射关系的图片。（请注意，图片中没有标签，但如果我们标记节点，则双射仍然为真。）-_Washington Bomfim_，2010年9月4日

%C a（n）也是函数f:{1,2，…，n}->{1,2…，n{的个数，使得f（1）=1。

%C有关Vandermonde行列式（1,1/2，…，1/n）产生的A000169的签名版本，请参阅Mathematica部分_克拉克·金伯利（Clark Kimberling），2012年1月2日

%C n>1时，（1+1/（n-1））^（n-1）的分子。-_Jean-François Alcover，2013年1月14日

%C三角形A075513的右边缘。-_米歇尔·马库斯，2013年5月17日

%C a（n+1）是n x n个二进制矩阵的数量，每行不超过一个。通过用行数k与1对此类矩阵集进行分区，我们得到了a（n+1）=Sum_{k=0..n}二项式（n，k）*n^k=（n+1）^n.-Dennis P.Walsh_，2014年5月27日

%C三角形A051129的中心项：a（n）=A051129（2*n-1，n）_Reinhard Zumkeller，2014年9月14日

%C a（n）是A248120和A055302第n行的行和，因此它枚举了[x（1）+x（2）+…+x（n）]^（n-1）展开式中的单项式_Tom Copeland_ 2015年7月17日

%C对于任何给定的整数k，a（n）是总和x_1+…+的数目x_m=k（mod n），这样：x_1。。。，xm是小于n的非负整数，和的顺序无关紧要，每个整数作为和出现的次数都少于n倍_Carlo Sanna_，2015年10月4日

%C a（n）是n个字母表中长度为n-1的单词数_Joerg Arndt_，2015年10月7日

%C a（n）是最大元素为n且长度为n的停车函数数。例如，a（3）=9，因为有九个这样的停车函数，即（1,2,3）、（1,3,2）、（2,3,1）、（2,1,3）、_Ran Pan_，2015年11月15日

%C考虑以下问题：n^2个单元格排列成方形数组。一个步骤可以定义为从一个单元格转到它正上方、右侧或下方的单元格。上面的步骤后面不能跟着下面的步骤，反之亦然。一旦到达正方形阵列的最后一列，您就只能往下走。a（n）是从左下角单元格到右下角单元格的可能路径数（即步骤序列）_尼古拉·纳格尔（Nicolas Nagel），2016年10月13日

%C有理数C（n）=a（n+1）/a（n），n>=1，出现在G.Pólya的“初等但不太初等的定理”的证明中：Sum_{n>=1}（Product_{k=1..n}a_k）^（1/n）<exp（1）*Sum__{n>=1}a_n，对于n>=1{ak}（_k）_{k>=1}的非负项，不都等于0_Wolfdieter Lang，2018年3月16日

%预李运算代数生成级数的系数。参见Loday等人的论文第417页_汤姆·科普兰，2018年7月8日

%C a（n）/2^（n-1）是元素M（j，k）=cos（Pi*j*k/n）的n X n矩阵M_n的行列式的平方。见孙志伟，彼得罗夫链接。-_雨果·普福尔特纳，2021年9月19日

%C a（n）是n X n矩阵P_n的行列式，当索引为[0，n）时，P（0，j）=1，P（i<=j）=i，且P（i>j）=i-n.-C.S.Elder_，2024年3月11日

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%H<a href=“/index/Tra#trees”>为与树相关的序列索引条目</a>

%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>

%F例如，F.T（x）=Sum_{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！满足T（x）=x*exp（T（x。

%F同时T（x）=-LambertW（-x），其中W（x）是Lambert函数的主分支。

%F T（x）有时称为欧拉树函数。

%F a（n）=A000312（n-1）*A128434（n，1）/A128433（n，一）_Reinhard Zumkeller_，2007年3月3日

%F例如：LambertW（x）=x*g（0）；G（k）=1-x*（（2*k+2）^（2*k））/；（连分数）。-_谢尔盖·格拉德科夫斯基（Sergei N.Gladkovskii），2011年12月30日

%F a（n）=和{i=1..n}二项式（n-1，i-1）*i^（i-2）*（n-i）^（n-i_Dmitry Kruchinin，2013年10月28日

%F Limit_{n->oo}a（n）/A000312（n-1）=e.-Daniel Suteu，2016年7月23日

%F From _Amiram Eldar_，2020年11月20日：（开始）

%F和{n>=1}1/a（n）=A098686。

%F Sum_｛n>=1｝（-1）^（n+1）/a（n）=A262974。（结束）

%F a（n）=和{k=0..n-1}（-1）^（n+k-1）*Pochhammer（n，k）*Stirling2（n-1，k）.-_梅利卡·特布尼，2023年5月7日

%F关于二阶和{m>=1}m^（m+n）z^m/m！=的欧拉数A340556（n，k）1/（1-T（z））^（2n+1）*和{k=0..n}A2（n，k）T（z

%e对于n=3，a（3）=9，因为a={1，2}上正好有9个二元关系，它们是函数，即：{}，{（1,1）}，}（1,2），{_Dennis P.Walsh，2011年4月21日

%总长度=x+2*x^2+9*x^3+64*x^4+625*x^5+7776*x^6+117649*x^7+。。。

%p A000169:=n->n^（n-1）；

%p#第二个程序：

%p规范：=[A，{A=Prod（Z，Set（A））}，标记]；[seq（combstruct[count]（规范，大小=n），n=1..20）]；

%p#第三个程序：

%p A000169:=n->添加（（-1）^（n+k-1）*pochhammer（n，k）*Stirling2（n-1，k），k=0..n-1）：

%p序列（A000169（n），n=1。。23); # _梅利卡·特布尼，2023年5月7日

%t表[n^（n-1），{n，1，20}]（*_Stefan Steinerberger_，2006年4月1日*）

%t范围[0，18]！系数列表[系列[-LambertW[-x]，{x，0，18}]，x]//Rest（*_Robert G.Wilson v_，由Jean-François Alcover_更新，2019年10月14日*）

%t（*接下来是Vandermonde行列式（1,1/2，…，1/n）*的签名版本A000169）

%t f[j_]：=1/j；z=12；

%tv[n_]：=乘积[乘积[f[k]-f[j]，{j，1，k-1}]，{k，2，n}]

%t表格[v[n]，{n，1，z}]

%t 1/%（*A203421*）

%t表[v[n]/v[n+1]，{n，1，z-1}]（*A000169有符号*）

%t（*_百灵金伯利，2012年1月2日*）

%t a[n_]：=Det[表[If[i==0,1，If[i<=j，i，i-n]]，{i，0，n-1}，{j，0，n-1}]]；数组[a，20]（*_Stefano Spezia_，2024年3月12日*）

%o（PARI）a（n）=n^（n-1）

%o（MuPAD）n^（n-1）$n=1..20/*Zerinvary Lajos_，2007年4月1日*/

%o（Haskell）a000169 n=n^（n-1）--_Reinhard Zumkeller_，2014年9月14日

%o（岩浆）[1..20]]中的[n^（n-1）：n；//_文森佐·利班迪（Vincenzo Librandi），2015年7月17日

%o（Python）

%o定义a（n）：返回n**（n-1）

%o打印（[a（n）代表范围（1，21）中的n）]#_Michael S.Branicky_，2021年9月19日

%o（Python）

%o从sympy导入矩阵

%o定义P（n）：返回[[（i-n if i>j else i）+（i==0）for范围（n）中的j]for范围（n）中的i]

%o打印（*（Matrix（P（n））.det（）for n in range（1,21）），sep='，'）#_C.S.Elder_，2024年3月12日

%Y参考A000055、A000081、A000272、A000312、A007778、A007830、A008785-A008791、A055860、A002061、A052746、A052756、A052764、A052789、A051129、A098686、A247363、A055302、A248120、A130293、A053506-A053509、A262974。

%Y其他类内函数：A275549-A275558。

%放松，核心，不，好

%O 1,2号机组

%A _N.J.A.斯隆_