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%I M1253 N0479#348 2024年3月21日21:22:40
%S 1,1,2,4,11,34156104412346274668120051681018997864165091172592，
%电话：505020313679522905415565723548831426485969804308768，
%电话：6400101570452755789492824593586415353293268371977617875772514561170054787819084824637809253125004524383007491432768
%N N个未标记节点上的图数。
%序列A001349的C Euler变换。
%另外，全非零对称nXn矩阵的符号模式的等价类的个数。
%D Miklos Bona，编辑，《枚举组合数学手册》，CRC出版社，2015年，第430页。
%D J.L.Gross和J.Yellen编辑，《图论手册》，CRC出版社，2004年；第519页。
%D F.Harary，图论。Addison-Wesley，马萨诸塞州雷丁，1969年，第214页。
%D F.Harary和E.M.Palmer，《图形计数》，纽约学术出版社，1973年，第240页。
%D Thomas Boyer-Kassem，Conor Mayo-Wilson，《科学合作与集体知识：新论文》，纽约，牛津大学出版社，2018年，见第47页。
%D M.Kauers和P.Paule，《混凝土四面体》，施普林格2011年，第54页。
%D Lupanov，O.B.具有n条边的图的数量的渐近估计。（俄语）Dokl。阿卡德。诺克SSSR 126 1959 498-500。MR0109796（22#681）。
%D M.D.McIlroy，有限集上关系结构数的计算，麻省理工学院电子研究实验室，季度进展报告，第17期，1955年9月15日，第14-22页。
%D·R·C·里德和R·J·威尔逊，《图谱》，牛津，1998年。
%D R.W.Robinson，图计数算法的数值实现，AGRC Grant，数学。澳大利亚纽卡斯尔大学系，1976年。
%D N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
%D N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
%H Keith M.Briggs，n表，n=0..87的a（n）
%H R.Absil和H·Mélot，<a href=“http://arxiv.org/abs/1304.7993“>Digenes:发现有向图和无向图猜想的遗传算法，arXiv预印本arXiv:1304.7993[cs.DM]，2013。
%H Natalie Arkus、Vinothan N.Manoharan和Michael P.Brenner<a href=“http://arxiv.org/abs/1011.5412“>导出有限球填料，arXiv:1011.5412[cond-mat.soft]，2010年11月24日。（见表1。）
%H Leonid Bedratyuk和Anna Bedratyuk，<a href=“http://www.processes.bas.bg/cgi-bin/mitko/0DOC_abs.pl？2016_3_02“>简单图数生成函数的一个新公式</A>，Comptes rendus de l'Academie Bulgare des Sciences，Tome 69，No 3，2016，p.259-268。
%H Benjamin A.Blumer、Michael S.Underwood和David L.Feder，<A href=“http://arxiv.org/abs/1111.5032“>通过图散射实现的单量子比特幺正门，arXiv:11111.5032[quant-ph]，2011年。
%H Keith M.Briggs，<a href=“http://keithbriggs.info/cgt.html“>组合图论
%H Gunnar Brinkmann、Kris Coolsaet、Jan Goedgebeur和Hadrien Melot，<a href=“http://arxiv.org/abs/1204.3549“>图之屋：一个有趣的图数据库，arXiv预印本arXiv:1204.3549[math.CO]，2012。
%H P.Butler和R.W.Robinson，《关于不可分图数量的计算机计算》，第191-208页。第二届加勒比组合数学和计算会议（布里奇顿，1977年）。编辑R.C.Read和C.C.Cadogan。西印度群岛大学，卡夫山校区，巴巴多斯，1977年。vii+223页【带注释的扫描件】
%H P.J.Cameron，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0012-365X（89）90081-2“>一些整数序列，《离散数学》，75（1989），89-102。
%H P.J.Cameron，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0167-5060（08）70569-7“>一些整数序列，见“图论与组合数学1988”，编辑B.Bollobas，《离散数学年鉴》，43（1989），89-102。
%H P.J.Cameron，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL3/groups.html“>寡形置换群实现的序列，J.Integ.Seqs.Vol.3（2000），#00.1.5。
%H.P.J.Cameron和C.R.Johnson，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2004.10.029“>对称符号模式的等价模式数，《离散数学》，306（2006），3074-3077。
%H Gi-Sang Cheon、Jinha Kim、Minki Kim和Sergey Kitaev，<a href=“https://arxiv.org/abs/1803.01055“>关于k-11-可表示图，arXiv:1803.01055[math.CO]，2018。
%H CombOS-组合对象服务器，<a href=“http://combos.org/nauty“>生成图形</a>
%H Karen M.Daehli、Sarah A Obead、Hsun-Yin Lin和Eirik Rosnes，<A href=“https://arxiv.org/abs/2401.06125“>专用二次单项式计算的改进容量外边界，arXiv:2401.06125[cs.IR]，2024。
%H R.L.Davis，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9939-1953-0055294-2“>有限关系的结构数，Proc.Amer.Math.Soc.4（1953），486-495。
%H J.P.Dolch，《哈密顿图的名称》。第四届S-E Conf.Combinan.，图论，计算，国会。数字。8 (1973), 259-271. （3页带注释的扫描副本）
%H Peter Dukes，<a href=“http://www.math.uvic.ca/courses/2019/math422/a01/M422-notes.pdf“>数学笔记422：枚举和拉姆齐理论，加拿大不列颠哥伦比亚大学（2019）。见第36页。
%H D.S.Dummit、E.P.Dummite和H.Kisilevsky，<a href=“http://arxiv.org/abs/1512.06480“>二次、三次和四次剩余矩阵的特征</a>，arXiv预印本arXiv:1512.06480[math.NT]，2015。
%H Steven R.Finch，<a href=“https://doi.org/10.1017/9781316997741“>数学常数II，《数学及其应用百科全书》，剑桥大学出版社，剑桥，2018年。
%H Mareike Fischer、Michelle Galla、Lina Herbst、Yangjing Long和Kristina Wicke，<a href=“https://arxiv.org/abs/1810.06853“>非二叉树无根系统发育网络及其与二叉树和有根树的关系</a>，arXiv:1810.06853[q-bio.PE]，2018。
%H P.Flajolet和R.Sedgewick，<a href=“http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/AnaCombi/AnaCombi.html“>分析组合数学，2009年；参见第105页。
%H E.Friedman，小图形的图解</a>
%H Harald Fripertinger，<a href=“http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/frib/html/book/hyl00_41.html“>图表</a>
%H Scott Garrabrant和Igor Pak，<a href=“http://www.math.ucla.edu/~pak/papers/PatternAvoid10.pdf“>模式避免不是P-递归</a>，预印本，2015年。
%H Lee M.Gunderson和Gecia Bravo-Hermsdorff，<a href=“https://arxiv.org/abs/2002.03959“>介绍图表累积量：你的社交网络的方差是什么？</a>，arXiv:2002.03595[math.ST]，2020。
%H P.Hegarty，<a href=“http://arxiv.org/abs/1212.4303“>关于社交网络分析中的平衡概念，arXiv预印本arXiv:1212.4303[cs.SI]，2012。
%H S.Hougardy，<a href=“网址：http://www.or.uni-bonn.de/~hougardy/“>主页</a>
%H S.Hougardy，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/j.disc.2006.05.021“>完美图的类</a>，Discr.Math.306（2006），2529-2571。
%H Richard Hua和Michael J.Dinneen，<a href=“https://doi.org/10.1007/s42979-019-0020-1“>图同构问题的改进QUBO公式</a>，SN Computer Science（2020）第1卷，第19期。
%H A.Itzhakov和M.Codish，<A href=“http://arxiv.org/abs/1511.08205“>用规范化集打破图形搜索中的对称性</a>，arXiv预打印arXiv:1511.08205[cs.AI]，2015-2016。
%H Dan-Marian Joiţa和Lorentz Jäntschi，<a href=“https://doi.org/10.3390/math5040084“>扩展表征C_20富勒烯同系物的特征多项式</a>，数学（2017），5（4），84。
%H Vladeta Jovovic，k个节点上n个多重图的数量T（n，k）的公式</a>
%H马克西姆·卡列夫，<a href=“http://arxiv.org/abs/1404.0026“>作为Hopf模块的框架弦图空间，arXiv预印本arXiv:1404.0026[math.GT]，2014。
%H J.M.Larson，<a href=“https://www.sas.upenn.edu/polisci/sites/www.sas.uben.edu.polisci/files/Larson_cheaters_Feb2014.pdf“>作弊，因为他们可以：社交网络和违反规范者，2014年。见脚注11。
%H Steffen Lauritzen、Alessandro Rinaldo和Kayvan Sadeghi，<a href=“https://arxiv.org/abs/1709.03885“>关于网络模型中的可交换性，arXiv:1709.03885[math.ST]，2017年。
%H.O.B.Lupanov，<a href=“http://new.math.msu.su/department/dm/dmmc/PUBL2/Lupanov-graph.pdf“>关于具有n条边的图和网络的数量的渐近估计，[俄语]控制论问题，莫斯科4（1960）：5-21。
%H M.D.McIlroy，有限集上关系结构数的计算，麻省理工学院电子研究实验室，季报，第17期，1955年9月15日，第14-22页。[带注释的扫描副本]
%H B.D.McKay，<a href=“http://www.csse.uwa.edu.au/~gordon/remote/graphs/graphcount“>Maple程序</a>（用于重定向到<a href=”http://staffhome.ecm.uwa.edu.au/~00013890/remote/graphs/graphcount“>此处</a>）。
%H B.D.McKay，Maple程序[Cached copy，with permission]
%H B.D.McKay，<a href=“http://users.cecs.anu.edu.au/~bdm/data/graphs.html“>简单图形</a>
%H A.Milicevic和N.Trinajsic，<A href=“网址：http://www.sicmm.org/~FAMNIT-knjiga/wwwANG/web-pages/405_469_tcm18-67839%5B1%5D.pdf“>化学中的组合枚举，化学模型，第4卷，（2006），第405-469页。
%H W.Oberschelp，<a href=“http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/？PID=GDZPPN002298732“>Kombinatorische Anzahlbestimmungen in Relationen，《数学年鉴》，174（1967），53-78。
%H M.Petkovsek和T.Pisanski，<a href=“http://hrcak.srce.hr/file/4232“>计算不连接的结构：化学树、富勒烯、I-graph和其他</a>，Croatica Chem.Acta，78（2005），563-567。
%H G.Pfeiffer，<a href=“http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL7/Pfeiffer/pfeiffer6.html“>计数传递关系</a>，《整数序列杂志》，第7卷（2004年），第04.3.2条。
%H E.M.Palmer，致N.J.a.Sloane的信，无日期</a>
%H Marko Riedel，<a href=“http://www.round.com/docs/cookbook/cbsu5.html#x8-170001.5“>非同构图。
%H Marko Riedel，<a href=“/A000088/a00008_4.maple.txt”>压缩maple代码，用于循环索引、序列值和普通生成函数的边数</a>
%H R.W.Robinson，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/S0021-9800（70）80089-8“>不可分图的枚举，J.Combin.Theory 9（1970），327-356。
%H鼠尾草，<a href=“http://www.sagemath.org/doc/reference/graphs/sage/graphs/graph_generators.html“>公共图（图形生成器）</a>
%H S.S.Skiena，<a href=“http://www.cs.sunysb.edu/~algorith/files/generating-graphs.shtml“>生成图形</a>
%H N.J.A.Sloane，初始术语说明</a>
%H Quico Spaen、Christopher Thrives Caro和Mark Velednitsky，<a href=“网址：https://doi.org/10.1007/s00454-019-00114-w“>符号图有效距离图的维数</a>，《离散与计算几何》（2019），1-11。
%H P.R.Stein，《关于图形分区的数量》，第671-684页。第九届S-E会议，组合数学，图论，计算，会议。数字。21 (1978). [带注释的扫描副本]
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，17部分概述（本书第1、2、3、4卷分别参见A000088、A008406、A000055、A000664）
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第1部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第2部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第3部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第4部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第5部分
%H Peter Steinbach，<a href=“/A00088/a00088_6.pdf”>简单图领域指南，第1卷</a>，第6部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第7部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第8部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第9部分
%H Peter Steinbach，<a href=“/A00088/a00088_10.pdf”>简单图领域指南，第1卷</a>，第10部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第11部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第12部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第13部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第14部分
%H Peter Steinbach，<a href=“/A00088/a00088_15.pdf”>简单图领域指南，第1卷</a>，第15部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第16部分
%H Peter Steinbach，《简单图形领域指南》，第1卷，第17部分
%H J.M.Tangen和N.J.A.Sloane，通信，1976-1976</a>
%H James Turner和William H.Kautz，<a href=“http://dx.doi.org/10.1137/1012125“>苏联图论进展概览</A>SIAM Rev.12 1970补遗iv+68 pp.MR0268074（42#2973）。见第18页。
%H S.Uijlen和B.Westerban，<a href=“http://arxiv.org/abs/1412.8544“>Kochen-Specker系统至少有22个矢量</A>，arXiv预印本arXiv:1412.8544[cs.DM]，2014。
%H Mark Velednitsky，<a href=“https://marvel2010.github.io/static/Dissertation_Velednitsky_Final.pdf“>图上三个组合优化问题的新算法</a>，加州大学伯克利分校博士论文（2020）。
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/SimpleGraph.html“>简单图形</a>
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/ConnectedGraph.html“>连接图</a>
%H Eric Weisstein的数学世界，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/DegreeSequence.html“>学位顺序</a>
%H E.M.Wright，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BF01350794“>许多未标记节点上的图数，Mathematische Annalen，1969年12月，第183卷，第4期，250-253
%H E.M.Wright，<a href=“http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1972-13097-0“>具有多个节点和边的未标记图的数量</a>Bull.Amer.Math.Soc.Volume 78，number 6（1972），1032-1034。
%H Chris Ying，<a href=“https://arxiv.org/abs/1902.06192“>通过迭代图不变量枚举唯一计算图，arXiv:1902.06192[cs.DM]，2019。
%H<a href=“/index/Cor#core”>“core”序列的索引条目</a>
%F a（n）=2^二项式（n，2）/n*（1+（n^2-n）/2^（n-1）+8*n/（n-4）*（3*n-7）*（3*n-9）/2^（2*n）+O（n^5/2^（5*n/2）））（见哈拉里，帕尔默参考）_Vladeta Jovovic_和_Bennit克隆，2003年2月1日
%F a（n）=2^二项式（n，2）/n*[1+2*n$2*2^{-n}+8/3*n$3*（3n-7）*2^}-2n}+64/3*n$4*（4n^2-34n+75）*2${-3n}+O（n^8*2^[-4*n}）]其中n$k是下降阶乘：n$k=n（n-1）（n-2）。。。（n-k+1）.-_Keith Briggs，2005年10月24日
%F摘自David Pasino（davepasino（AT）yahoo.com），2009年1月31日：（开始）
%F a（n）=a（n，2），其中a（n、t）是n个未标记节点上的t-一致超图的数量（对于t=3，参见A000665；对于t=4，参见A051240）。
%F a（n，t）=每（c）*2^F（c）的和{c:1*c_1+2*c_2+…+n*c_n=n}，其中：
%F。。per（c）=1/（乘积_{i=1..n}c_i！*i^c_i）；
%F。。f（c）=（1/ord（c））*Sum_{r=1..ord（c）}和{x:1*x_1+2*x_2+…+t*x_t=t}乘积{k=1..t}二项式（y（r，k；c），x_k）；
%F。。ord（c）=lcm{i:ci>0}；
%F。。y（r，k；c）=Sum_{s|r:gcd（k，r/s）=1}s*c_（k*s）是c型置换的r次幂的k个圈数。（End）
%F a（n）~2^二项式（n，2）/n！[见弗拉乔莱特和塞奇威克第106页，格罗斯和耶伦，第519页等]_N.J.A.斯隆，2013年11月11日
%F关于渐近性，另见卢帕诺夫1959年、1960年，以及特纳和考茨，第18页_N.J.A.Sloane，2014年4月8日
%F a（n）=G（1），其中G（z）=（1/n！）Sum_G det（I-G z^2）/det（I-G z）和G通过对群a^2_n的自然矩阵n X n表示（关于a^2_n，请参见F.Harary和E.M.Palmer，图形枚举，第83页）_Leonid Bedratyuk，2015年5月2日
%F From _Keith Briggs_，2016年6月24日：（开始）
%F a（n）=2^二项式（n，2）/n*(
%第1页+
%F 2^（-n+1）*n$2+
%F 2^（-2*n+3）*n$3*（n-7/3）+
%F 2^（-3*n+6）*n$4*（4*n^2/3-34*n/3+25）+
%F2^（-4*n+10）*n$5*（8*n^3/3-142*n^2/3+2528*n/9-24914/45）+
%F2^（-5*n+15）*n$6*（128*n^4/15-2296*n^3/9+25604*n^2/9-630554*n/45+25704）+
%F2^（-6*n+21）*n$7*（2048*n^5/45-18416*n^4/9+329288*n*3/9-131680816*n^2/405+193822388*n/135-7143499196/2835）+…），
%F其中n$k是下降阶乘：n$k=n（n-1）（n-2）。。。（n-k+1），使用Wright 1969的方法。
%F（结束）
%F a（n）=1/n*和{k=1..n}a（n-k）*A003083（k）.-_安德烈·扎博洛茨基，2020年8月11日
%p#在4个节点上生成所有图形，例如：
%p与（图论）：
%p L:=[非同构图]（4，输出=图，输出形式=邻接）：#_N.J.A.Sloane_，2013年10月7日
%p seq（图理论[非同构图]（n，输出=计数），n=1..10）；#_Juergen Will_，2018年1月2日
%p#可选Maple程序：
%p b:=proc（n，i，l）`if`（n=0或i=1，1/n！*2^（（p->add（ceil（（p[j]-1）/2））
%p+加（igcd（p[k]，p[j]），k=1..j-1），j=1..nops（p））（[l[]，1$n]）），
%p加（b（n-i*j，i-1，[l[]，i$j]）/j/i^j，j=0..n/i））
%p端：
%p a:=n->b（n$2，[]）：
%p序列（a（n），n=0..20）；#_Alois P.Heinz，2019年8月14日
%t需要[“组合数学”]
%t表[NumberOfGraphs[n]，{n，0，19}]（*_Geoffrey Criter_，2011年3月12日*）
%t permcount[v_]：=模[{m=1，s=0，k=0，t}，对于[i=1，i<=长度[v]，i++，t=v[i]]；k=如果[i>1&&t==v[[i-1]]，k+1，1]；m*=t*k；s+=t]；s/m] ；
%t边[v_]：=和[GCD[v[[i]]，v[[j]]]，{i，2，长度[v]}，{j，1，i-1}]+总[v，2]]；
%t a[n_]：=模块[{s=0}，Do[s+=permcount[p]*2^edges[p]，{p，IntegerPartitions[n]}]；序号！]；
%t表[a[n]，{n，0，20}]（*_Jean-François Alcover_，2018年7月5日，在_Andrew Howroyd_*之后）
%t b[n，i_，l_]：=如果[n=0 | | i==1，1/n！*2^（函数[p，Sum[Ciling[（p[[j]]-1）/2]+Sum[GCD[p[[k]]，p[[j]]，{k，1，j-1}]，{j，1，Length[p]}]][Join[l，Table[1，{n}]]），Sum[b[n-i*j，i-1，Join[l，Table[i，{j}]]/j/i^j，{j，0，n/i}]]；
%ta[n]：=b[n，n，{}]；
%t a/@Range[0，20]（*_Jean-François Alcover_，2019年12月3日，在_Alois P.Heinz_*之后）
%o（鼠尾草）
%o定义a（n）：
%o返回长度（列表（图（n））
%o#_Ralf Stephan，2014年5月30日
%o（PARI）
%o permcount（v）={my（m=1，s=0，k=0，t）；对于（i=1，#v，t=v[i]；k=if（i>1&&t==v[i-1]，k+1,1）；m*=t*k；s+=t）；s！/m}
%o边（v）={和（i=2，#v，和（j=1，i-1，gcd（v[i]，v[j]））+和（i=1，#v，v[i]\2）}
%o a（n）={my（s=0）；对于部分（p=n，s+=permcount（p）*2^edges（p））；s/n！}\\_Andrew Howroyd_，2017年10月22日
%Y A002494的部分总和。
%Y参见A000666（带循环的图）、A001349（连通图）、C002218、A006290、A003083。
%Y列k=1，共A063841列。
%A309858的Y列k=2。
%A008406的Y行总和。
%Y另请参见A000055、A000664。
%Y部分总和为A006897。
%K芯，nonn，不错
%0、3
%A _N.J.A.斯隆_
%E Harary给出了a（8）的错误值；比较A007149
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