系列集合对

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1引言

涉及常数的级数有很多对，我们提供了一个选择。伟大的瑞士数学家莱昂哈德·尤勒（1707-1783）发现了其中许多。

2莱布尼茨-格雷戈里-马达瓦系列周围

对

4

=

1- 1

三
+ 1

5
- 1

7
+。。。      (莱布尼兹-格雷戈里-玛达瓦)

对²

16

=

¥
å
k个= 0
(-1)^k个

k个+ 1
æ
è 1+ 1

三
+...+ 1

2k个+ 1
ö
ø       (克诺普)

对

4

=

三

4
+ 1

2.3.4
- 1

4.5.6
+ 1

6.7.8
-...      (尼拉坎塔)

对

2

=

1+ 1

三
+ 1.2

3.5
+ 1.2.3

3.5.7
+...      (欧拉)

对

2

=

1.2

1.3
+ 1.2.3

1.3.5
+ 1.2.3.4

1.3.5.7
+...

对

=

¥
å
k个= 1
三^k个-1

4^k个
z（z）(k个+ 1)      (弗拉若莱-瓦尔迪)

对

4

=

¥
å
k个= 1
阿卡坦 æ
è 1

k个²+k个+ 1
ö
ø       (克诺普)

1

对

=

¥
å
k个= 1
1

2^{k个+ 1}
棕褐色的 æ
è 对

2^{k个+ 1}
ö
ø       (欧拉)

对Ö2

4

=

1+ 1

三
- 1

5
- 1

7
+ 1

9
+ 1

11
-...

对Ö三

6

=

1- 1

5
+ 1

7
- 1

11
+ 1

13
- 1

17
+...

对Ö三

9

=

1- 1

2
+ 1

4
- 1

5
+ 1

7
- 1

8
+...

对Ö三

6

=

¥
å
k个= 0
(-1)^k个

三^k个(2k个+ 1)
      (夏普)

三欧拉级数

找到级数的极限是个大问题

1+ 1

4
+ 1

9
+...+ 1

k个²
+。。。，
一些17世纪最伟大的数学家没有发现这一点限制。雅各布·伯努利试图解决这个问题，但没有成功数学家处理这个问题。1735年，欧拉发现了这一系列以及以下大部分结果都归功于他（参见[4]).

3.1所有整数

对²

6

=

¥
å
k个= 1
1

k个²
=1+ 1

2²
+ 1

三²
+...

对⁴

90

=

¥
å
k个= 1
1

k个⁴
=1+ 1

2⁴
+ 1

三⁴
+...

对⁶

945

=

¥
å
k个= 1
1

k个⁶
=1+ 1

2⁶
+ 1

三⁶
+...

4^对|B类_2对|对^2对

2(2对)！

=

¥
å
k个= 1
1

k个^2对
=z（z）(2对)

3.2奇数整数

对²

8

=

¥
å
k个= 0
1

(2k个+ 1)²
=1+ 1

三²
+ 1

5²
+。。。

对⁴

96

=

¥
å
k个= 0
1

(2k个+ 1)⁴
=1+ 1

三⁴
+ 1

5⁴
+...

对⁶

960

=

¥
å
k个= 0
1

(2k个+ 1)⁶
=1+ 1

三⁶
+ 1

5⁶
+...

(4^对-1） |B（B）_2对|对^2对

2(2对)！

=

¥
å
k个= 0
1

(2k个+ 1)^2对

3.3所有整数交替

对²

12

=

¥
å
k个= 1
(-1)^{k个+ 1}

k个²
=1- 1

2²
+ 1

三²
-...

7对⁴

720

=

¥
å
k个= 1
(-1)^{k个+ 1}

k个⁴
=1- 1

2⁴
+ 1

三⁴
-...

31对⁶

30240

=

¥
å
k个= 1
(-1)^{k个+ 1}

k个⁶
=1- 1

2⁶
+ 1

三⁶
-...

(4^对-2） |B（B）_2对|对^2对

2(2对)！

=

¥
å
k个= 1
(-1)^{k个+ 1}

k个^2对

3.4奇数整数交替

对^三

32

=

¥
å
k个= 0
(-1)^k个

(2k个+ 1)^三
=1- 1

三^三
+ 1

5^三
-...

5对⁵

1536

=

¥
å
k个= 0
(-1)^k个

(2k个+ 1)⁵
=1- 1

三⁵
+ 1

5⁵
-...

61对⁷

184320

=

¥
å
k个= 0
(-1)^k个

(2k个+ 1)⁷
=1- 1

三⁷
+ 1

5⁷
-...

|E类_2对|对^{2对+ 1}

4^{对+ 1}(2对)！

=

¥
å
k个= 0
(-1)^k个

(2k个+ 1)^{2对+ 1}

B类_n个和E_n个分别是伯努利数和欧拉数。

B类₀

=

1，B₁=- 1

2
，B₂= 1

6
，B₄=- 1

30
，B₆= 1

42
，B₈=- 1

30
，B₁₀= 5

66
,...

E类₀

=

1、E₂=-1，E₄=5，E₆=-61，东经₈=1385，东经₁₀=-50251,...

3.5带质数

在下面的序列中，只有素数为奇数的分母考虑了各种因素。例如，省略了10=2×5，因为它有两个主要因素。

对²

20

=

1

2²
+ 1

三²
+ 1

5²
+ 1

7²
+ 1

8²
+ 1

11²
+...

对⁴

1260

=

1

2⁴
+ 1

三⁴
+ 1

5⁴
+ 1

7⁴
+ 1

8⁴
+ 1

11⁴
+...

4对⁶

225225

=

1

2⁶
+ 1

三⁶
+ 1

5⁶
+ 1

7⁶
+ 1

8⁶
+ 1

11⁶
+...

z（z）²(2对)-z（z）(4对)

2z（z）(2对)

=

1

2^2对
+ 1

三^2对
+ 1

5^2对
+ 1

7^2对
+ 1

8^2对
+ 1

11^2对
+...

如果这一次主要因素也应该不同：

9

2对²

=

1

2²
+ 1

三²
+ 1

5²
+ 1

7²
+ 1

11²
+ 1

13²
+...

15

2对⁴

=

1

2⁴
+ 1

三⁴
+ 1

5⁴
+ 1

7⁴
+ 1

11⁴
+ 1

13⁴
+...

11340

691对⁶

=

1

2⁶
+ 1

三⁶
+ 1

5⁶
+ 1

7⁶
+ 1

11⁶
+ 1

13⁶
+...

z（z）²(2对)-z（z）(4对)

2z（z）(2对)z（z）(4对)

=

1

2^2对
+ 1

三^2对
+ 1

5^2对
+ 1

7^2对
+ 1

11^2对
+ 1

13^2对
+...

4马钦公式

通过函数

L（左）(对)=反正切 æ
è 1

对
ö
ø =
å
k个 ³0
(-1)^k个

(2k个+ 1)对^{2k个+ 1}

还有很多或效率较低的公式对可用（[1], [5], [7], [9]).

观察到莱布尼茨Gregory Madhava系列可以写成对/4=L（1），夏普系列只是对/6=升(Ö3).

4.1两项公式

对

2

=

2升(Ö2） +L（2Ö2) (韦瑟菲尔德)

对

4

=

L（2）+L（3）(赫顿)

对

4

=

2L（3）+L（7）(赫顿)

对

4

=

4升（5）-L（239）(Machin公司)

对

6

=

2升（3Ö3） +L（4Ö3)

对

4

=

5升（7）+2升（79/3）(欧拉)

对

4

=

5升（278/29）+7升（79/3）

4.2三项及更多公式

对

4

=

L（2）+L（5）+L（8）(斯特拉斯尼茨基)

对

4

=

4升（5）-L（70）+L（99）(欧拉)

对

4

=

5升（7）+4升（53）+2升（4443）

对

4

=

6升（8）+2升（57）+1升（239）(标准örmer公司)

对

4

=

8升（10）-L（239）-4升（515）(克林根斯蒂尔纳)

对

4

=

12升（18）+8升（57）-5升（239）(高斯)

对

4

=

22升（38）+17升（601/7）+10升（8149/7）(塞巴)

对

4

=

44升（57）+7升（239）-12升（682）+24升（12943）(标准örmer公司)

对

4

=

88升（172）+51升（239）+32升（682）+44升（5357）+68升（12943）(标准örmer公司)
对于例如，已知100多个三项公式，且易于生成通过专用算法。

5BBP系列

1995年，Bailey、Borwein和Plouffe(BBP公司)发现了一种新的公式它允许直接计算对英寸基础2（参见[2])

对= ¥
å
k个= 0
æ
è 4

8k个+ 1
- 2

8k个+ 4
- 1

8k个+ 5
- 1

8k个+ 6
ö
ø 1

16^k个
.

其他此类公式可用：

对

=

¥
å
k=0
æ
è 2

4公里+1
+ 2

4k+2
+ 1

4k+3
ö
ø (-1)^k个

4^k个
,

对

=

¥
å
k=0
æ
è 2个

8公里+1
+ 1

4公里+1
+ 1

8公里+3
- 1

16公里+10英里
- 1

16公里+12
- 1

32公里+28
ö
ø 1

16^k个
,

对

=

1

64
¥
å
k=0
æ
è - 32

4k+1
- 1

4k+3
+ 256

10公里+1
- 64

10公里+3
- 4

10公里+5
- 4

10公里+7
+ 1

10公里+9
ö
ø (-1)^k个

1024^k个
,

对Ö2

=

¥
å
k=0
æ
è 4

6公里+1
+ 1

6公里+3
+ 1

6公里+5
ö
ø (-1)^k个

8^k个
,

8对²

9

=

¥
å
k=0
æ
è 16

（6k+1）²
- 24

（6k+2）²
- 8

（6k+3）²
- 6个

（6k+4）²
+ 1

（6k+5）²
ö
ø 1

64^k个
.

1024的系列^k个效率高，这归功于F.Bellard（1997）。

6拉马努扬级数

这些系列中的大多数和其他许多都是这位印度神童发现的斯里尼瓦萨·拉马努扬（1887-1920）([三], [8]).

2

对

=

1-5 æ
è 1

2
ö
ø 三

+9 æ
è 1.3

2.4
ö
ø 三

-13 æ
è 1.3.5

2.4.6
ö
ø 三

+...

4

对

=

1+ æ
è 1

2
ö
ø 2

+ æ
è 1

2.4
ö
ø 2

+ æ
è 1.3

2.4.6
ö
ø 2

+ æ
è 1.3.5

2.4.6.8
ö
ø 2

+...      (福赛斯)

1

对

=

¥
å
k=0
（2k）！^三

（k！）⁶
（42k+5）

2^12公里+4

1

对

=

1

72
¥
å
k=0
(-1)^k个（4k）！

（k！）⁴4^4公里
（23+260k）

18^2公里

1

对

=

1

3528
¥
å
k=0
(-1)^k个（4k）！

（k！）⁴4^4公里
（1123+21460k）

882^2公里

1

对

=

2Ö2

9801
¥
å
k=0
（4k）！

（k！）⁴4^4公里
（1103+26390k）

99^4公里

1

对

=

12 ¥
å
k=0
(-1)^k个（6k）！

（3k）！（k！）^三
（13591409+545140134k）

640320^3公里+3/2
      (德诺夫斯基)

1

对

=

12 ¥
å
k=0
(-1)^k个（6k）！

（3k）！（k！）^三
（A+Bk）

C类^3公里+3/2
      (博尔文)
在最后一个公式

A类

=

1657145277365+212175710912
Ö

61

,

B类

=

107578229802750+13773980892672
Ö

61

,

C类

=

5280(236674+30303
Ö

61

),
和序列中的每一个附加项加上大约31位数字。。。

7其他系列

第页-三

6

=

¥
å
k=1
(-1)^{k+1（千分之一）}

3.6万²-1

第页-三

=

¥
å
k=1
(-1)^{k+1（千分之一）}

k（k+1）（2k+1）

对^三+ 8第页-56

8

=

¥
å
k=1
(-1)^{k+1（千分之一）}

k（k+1）（2k+1）^三

对

16

=

¥
å
k个古怪的
(-1)^（k）-1)/2

k（千）⁴+ 4)
      (上光器)

对

4

=

1-16 ¥
å
k=0
1

（4k+1）²（4k+3）²（4k+5）²
      (卢卡斯)

10-第页²

=

¥
å
k=1
1

k个^三（k+1）^三

对²-8

16

=

¥
å
k=1
1

（4千²-1)²
      (欧拉)

32-三对²

64

=

¥
å
k=1
1

（4千²-1)^三
      (欧拉)

对⁴+ 30对²-384

768

=

¥
å
k=1
1

（4千²-1)⁴
      (欧拉)

2个对Ö三

9

=

¥
å
k=0
k！²

（2k+1）！
=1+ 1

6
+ 1

30
+ 1

140
+ 1

630
+。。。

2对Ö三

27
+   4

三

=

¥
å
k=0
k！²

（2k）！
=1+ 1

2
+ 1

6
+ 1

20
+ 1

70
+ 1

252
+...

对Ö三

9

=

¥
å
k=1
k！²

（2k）！k个

对²

18

=

¥
å
k=1
k！²

（2k）！k个²
      (欧拉)

17对⁴

3240

=

¥
å
k=1
k！²

（2k）！k个⁴
      (孔泰)

对

三

=

¥
å
k=0
（2k）！

（2k+1）16^k个k！²

对+ 3

=

¥
å
k=1
k！²k2（平方公里）^k个

（2k）！

对

=

¥
å
k=0
（25千-3） k！（2k）！

2^k个-1（3k）！
      (高斯珀 1974)

工具书类

[1]: J.Arndt和C.Haenel，对-释放，施普林格，（2001）
[2]: D.H.Bailey、P.B.Borwein和S.Plouffe，关于快速计算各种多对数常数《计算数学》（1997），第66卷，第903-913页
[3]: J.M.Borwein和P.B.Borwein，Ramanujan和Pi，科学《美国人》（1988），第112-117页
[4]: L.Euler等人，引言a l’analyse infiniteésimale（法语拉比（Labey），巴罗伊斯（Barrois），阿内（ainé），图书馆（Librairie）（1748年原版，tradiction1796年），第1卷
[5]: C.L.Hwang，更多机器类型标识，数学。天然气。，（1997），pp。120-121
[6]: K.Knopp，无穷级数的理论与应用、布莱克&儿子，伦敦（1951）
[7]: D.H.Lehmer，关于的反正切关系对《美国数学月刊》（1938），第657-664页
[8]: S.Ramanujan，模方程及其近似对，夸脱。J.纯应用。数学。，（1914），第45卷，第350-372页
[9]: C.Störmer，名义专利申请表配合物la溶液x个₁，x个₂, ..., x个_n个，c₁，c₂, ..., c（c）_n个，千德勒方程c（c）₁电弧转换x₁+c（c）₂电弧炉x个₂+...+c（c）_n个电弧转换x_n个=k对/4，《Mathematik og Naturvidenskab档案》（1896年），第卷。19