球面设计

R. H. Hardin和N.J.A.斯隆

• 一个地方该怎么办？N球在积分权重相等的积分点上的应用

一套N点称为球面T形设计关于任意一个多项式的积分T在球面上等于在集合上的多项式的平均值。N积分

Given a value of N, one wishes to choose the N points so as to maximize t.

• 参考
<b>迈凯轮改进的立方立方体及其他三维球面设计</b>，R. H. Hardin和N.J.A.斯隆，离散几何与计算几何，（15）（1996），pp.429—41.图1A图1b在单独的文件中

• 从那篇论文的摘要中（略微扩大）：

证据表明，在三个维度，球形

具有n个点的1-设计存在IFF n>＝2（这是已知的）；
具有n个点的2个设计存在IFF n＝4或＞6（这是已知的）；
3个具有n个点的设计存在IFF n＝6, 8，＞10；
具有n个点的4个设计存在IFF n＝12, 14＞20；
有n个点的5个设计存在IFF n＝12, 16, 18，20＞22；
带有n个点的子查询存在于n＝24, 26，> = 28；
具有n点的7个设计存在IFF n＝24, 30, 32，34，＞36；
有n个点的8个设计存在IFF n＝36, 40, 42，＞44；
9个n点的设计存在IFF n＝48, 50, 52，＞54；
有n个点的10个设计存在IFF n＝60, 62，＞64；
有n个点的11个设计存在IFF n＝70, 72，＞74；
有n个点的12个设计存在IFF n＝84，＞86。

这些设计的存在是建立在分析的同时。
其他的是由非常精确的数值坐标给出的。24点7的设计最初是由迈凯轮在1963中发现的，而尽管McLaLee没有被识别出来，而是由一个‘改进’的Snbb立方体的顶点组成，它是从阿基米德的规则的Snbb立方体（这只是一个3个设计）中得到的，每个方块面略微收缩，并且每个三角形面展开。

值得注意的是，文中的一个构造给出了n＝12m点（m＞2）的一个假定的球形T设计序列，其中n＝（1/2）t^ 2（1＋o（1））为T无穷大。

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• 最后修改的OCT 02 2002。

In a number of cases we have proved that there is a spherical t-design that is very close to our numerical approximation.

Conjectured values of tau (N) , the largest t for which an N-point configuration on the sphere in 3 dimensions forms a spherical t-design.

```N tau(N) Proof Group  Order Orbits (Description)

1 0 V1 infinity  infinity 1 (single point)
2 1 V1 infinity  infinity 2 (2 antipodal points)
3 1 V1 [2,3] 12 3 (equilateral triangle)
4 2 V1 [3,3] 24 4 (regular tetrahedron)
5 1 V1 [2,3] 12 3+2 (triangular bipyramid)
6 3 V1 [3,4] 48 6 (regular octahedron)
7 2 [Mimura 1990]   6 3^2+1
8 3 V1 [3,4] 48 8 (cube)
9 2 [Mimura 1990]  [2,3] 12 6+3 (triangular biprism)
10 3 [Bajnok 1993]  [2^+,10] 20 10 (pentagonal prism)
11 3 [Bajnok 1993]  [2,3]^+ 6 6+3+2
12 5 V1 [3,5] 120 12 (regular icosahedron)
13 3 [Bajnok 1993]   8 4^3+1
14 4 [Hardin-Sloane 1992]  [2,3]^+ 6 6^2+2
15 3 [Bajnok 1993]  [2,5] 20 10+5
16 5 [Hardin-Sloane 1992]  [3,3]^+ 12 12+4 (hexakis truncated tetrahedron)
17 4 [Hardin-Sloane 1992]  [2,3]^+ 6 6^2+3+2
18 5 [Reznick 1995]  [2^+,6] 12 12+6
19 4 [Hardin-Sloane 1992]   6 6^2+3^2+1
20 5 V1 [3,5] 120 20 (regular dodecahedron)
21 4 [Hardin-Sloane 1992]  [2,3] 12 12+6+3
22 5 [Reznick 1995]  [2^+,10] 20 10^2+2
23 5 V2 [2,3]^+ 6 6^3+3+2
24 7 McL63  [3,4]^+ 24 24 (improved snub cube)
25 5 V1 [2,5]^+ 10 10^2+5
26 6 V3 [2,3]^+ 6 6^4+2
27 5 [Reznick 1995]  [2,3] 12 12^2+3
28 6 V3 [2^+,4] 8 8^3+4
29 6 V3 ^+ 2 2^ 14 +1
30 7 V1 [3,4]^+ 24 24+6 (tetrakis snub cube)
31 6 V3 ^+ 5 5^6+1
32 7 V1 [3,4]^+ 24 24+8 (snub cube + cube)
33 6 V3 [2,3]^+ 6
34 7 V3 [2,4]^+ 8
35 6 V3 [2,5]^+ 10 10^3+5
36 8 V3 [3,3]^+ 12 12^3 (3 snub tetrahedra)
37 7 V3 ^+ 3
38 7 V3 [3,4]^+ 24 24+8+6
39 7 V3 [2,3]^+ 6
40 8 V3 [3,3]^+ 12 12^3+4
41 7 V3 [2,3]^+ 6
42 8 V3 [2,4]^+ 8
43 7 V3 ^+ 6
44 8 V3 [3,3]^+ 12 12^3+4^2
45 8 V3 ^+ 2
46 8 V3 [2,4]^+ 8
47 8 V3 [2,3]^+ 6
48 9 V1 [3,4]^+ 24 24^2 (two snub cubes)
49 8 V3 ^+ 4
50 9 V3 [2,6]^+ 12 12^4+2
51 8 V3 [2,3]^+ 6
52 9 V3 [3,3]^+ 12 12^4+4
53 8 V3 [2,3]^+ 6
54 9 V3 [3,4]^+ 24 24^2+6
55 9 V3 ^+ 2
56 9 V3 [3^+,4] 24 24^2+8
57 9 V3 [2,3]^+ 6
58 9 V3 [2,4]^+ 8
59 9 V3 [2,3]^+ 6
60 10 V3 [3,3]^+ 12 12^5 (5 snub tetrahedra)
61 9 V3 ^+ 6
62 10 V3 [2,3]^+ 6
63 9 V3 [2,7]^+ 14  14^4+7
64 10 V3 [3,3]^+ 12  12^5+4
65 10 V3 ^+ 2
66 10 V3 [2,4]^+ 8
67 10 V3 ^+ 2
68 10 V3 [2^+,4] 8
69 10 V3 ^+ 4
70 11 V3 [2,5]^+ 10  10^7
71 10 V3 [2,3^+] 6
72 11 V3 [3,5]^+ 60 60+12 (pentakis truncated icosahedron)
73 10 V3 ^+ 4
74 11 V3 [2,6]^+ 12 12^6+2
75 11 V3 ^+ 2
76 11 V3 [3,3]^+ 12 12^6+4
77 11 V3 ^+ 4
78 11 V3 [3,4]^+ 24  24^3+6
79 11 V3 ^+ 2
80 11 V3 [3,5]^+ 60 60+20 (hexakis truncated icosahedron)
81 11 V3 ^+ 4
82 11 V3 [2^+,10^+] 10 10^8+2
83 11 V3 [2,3]^+ 6
84 12 V3 [3,3]^+ 12 12^7 (7 snub tetrahedra)
85 11 V3 [2,5]^+ 10
86 12 V3 [2,2]^+ 4
87 12 V3 ^+ 1
88 12 V3 [3,3]^+ 12 12^7+4
89 12 V3 ^+ 2
90 12 V3 [2,4]^+ 8
91 12 V3 ^+ 2
92 12 V3 [3,3]^+ 12 12^7+4^2
93 12 V3 ^+ 4
94 13 V3 [2^+,2^+] 2
95 12 V3 ^+ 2
96 13 V3 [3,3]^+ 12 12^8 (8 snub tetrahedra)
97 12 V3 ^+ 4
98 13 V3 [2,4]^+ 8
99 12 V3  4
100 13 V3 [3,3]^+ 12 12^8+4```

A similar table for 4-dimensions is in preparation