球面设计

R. H. Hardin和N.J.A.斯隆

推定最佳球面库T设计

结果总结

让τ(n)表示T的最大值,其中存在n点×3维球面t设计。

由于T设计也是T′
我们在3个维度中的主要结果概括在下表中,它给出了我们认为τ(n)的值为n<=100。

然后,在抽象中进行的断言可以简单地从表中读出。

在第4列和第5列中,表还给出了我们为这种设计所找到的最大对称群(使用CxTeor和MaseR(1984)的符号),并且在某些情况下,列出了这个组中轨道的大小列表和由点形成的多面体的描述。

对于表中n的每一个值,我们都找到了一个非常精确的数值坐标,它是一个假定的T形设计,t等于第2列中给出的值。此外,经过大量的搜索,我们一直找不到(t+1)-设计,因此我们猜想列2中的条目确实给出τ(n)的精确值。

在许多情况下,我们已经证明了一个非常接近我们的数值近似的球形T型设计。

表第三列中的一个符号V1表示,我们有一个代数证明存在的设计,V2,我们有一个证明的区间方法,和V3,我们有一个数值解的差异(文中定义)最多10 ^ - 26。

参考文献表明,谁首先证明了一些球形T设计的存在与这个点的数量(不一定是表中所描述的特殊设计)。

推测τ(n)的值,即在3个维度上球面上的N点配置构成球面T设计的最大T。

N tau(N) Proof Group  Order Orbits (Description)

1 0 V1 infinity  infinity 1 (single point) 
2 1 V1 infinity  infinity 2 (2 antipodal points) 
3 1 V1 [2,3] 12 3 (equilateral triangle) 
4 2 V1 [3,3] 24 4 (regular tetrahedron) 
5 1 V1 [2,3] 12 3+2 (triangular bipyramid) 
6 3 V1 [3,4] 48 6 (regular octahedron) 
7 2 [Mimura 1990]  [3] 6 3^2+1 
8 3 V1 [3,4] 48 8 (cube) 
9 2 [Mimura 1990]  [2,3] 12 6+3 (triangular biprism) 
10 3 [Bajnok 1993]  [2^+,10] 20 10 (pentagonal prism) 
11 3 [Bajnok 1993]  [2,3]^+ 6 6+3+2 
12 5 V1 [3,5] 120 12 (regular icosahedron) 
13 3 [Bajnok 1993]  [4] 8 4^3+1 
14 4 [Hardin-Sloane 1992]  [2,3]^+ 6 6^2+2 
15 3 [Bajnok 1993]  [2,5] 20 10+5 
16 5 [Hardin-Sloane 1992]  [3,3]^+ 12 12+4 (hexakis truncated tetrahedron) 
17 4 [Hardin-Sloane 1992]  [2,3]^+ 6 6^2+3+2 
18 5 [Reznick 1995]  [2^+,6] 12 12+6 
19 4 [Hardin-Sloane 1992]  [3] 6 6^2+3^2+1 
20 5 V1 [3,5] 120 20 (regular dodecahedron) 
21 4 [Hardin-Sloane 1992]  [2,3] 12 12+6+3 
22 5 [Reznick 1995]  [2^+,10] 20 10^2+2 
23 5 V2 [2,3]^+ 6 6^3+3+2 
24 7 McL63  [3,4]^+ 24 24 (improved snub cube) 
25 5 V1 [2,5]^+ 10 10^2+5 
26 6 V3 [2,3]^+ 6 6^4+2 
27 5 [Reznick 1995]  [2,3] 12 12^2+3 
28 6 V3 [2^+,4] 8 8^3+4 
29 6 V3 [2]^+ 2 2^ 14 +1 
30 7 V1 [3,4]^+ 24 24+6 (tetrakis snub cube) 
31 6 V3 [5]^+ 5 5^6+1 
32 7 V1 [3,4]^+ 24 24+8 (snub cube + cube) 
33 6 V3 [2,3]^+ 6 
34 7 V3 [2,4]^+ 8 
35 6 V3 [2,5]^+ 10 10^3+5 
36 8 V3 [3,3]^+ 12 12^3 (3 snub tetrahedra) 
37 7 V3 [3]^+ 3 
38 7 V3 [3,4]^+ 24 24+8+6 
39 7 V3 [2,3]^+ 6 
40 8 V3 [3,3]^+ 12 12^3+4 
41 7 V3 [2,3]^+ 6 
42 8 V3 [2,4]^+ 8 
43 7 V3 [6]^+ 6 
44 8 V3 [3,3]^+ 12 12^3+4^2 
45 8 V3 [2]^+ 2 
46 8 V3 [2,4]^+ 8 
47 8 V3 [2,3]^+ 6 
48 9 V1 [3,4]^+ 24 24^2 (two snub cubes) 
49 8 V3 [4]^+ 4 
50 9 V3 [2,6]^+ 12 12^4+2 
51 8 V3 [2,3]^+ 6 
52 9 V3 [3,3]^+ 12 12^4+4 
53 8 V3 [2,3]^+ 6 
54 9 V3 [3,4]^+ 24 24^2+6 
55 9 V3 [2]^+ 2 
56 9 V3 [3^+,4] 24 24^2+8 
57 9 V3 [2,3]^+ 6 
58 9 V3 [2,4]^+ 8 
59 9 V3 [2,3]^+ 6 
60 10 V3 [3,3]^+ 12 12^5 (5 snub tetrahedra) 
61 9 V3 [6]^+ 6 
62 10 V3 [2,3]^+ 6 
63 9 V3 [2,7]^+ 14  14^4+7 
64 10 V3 [3,3]^+ 12  12^5+4 
65 10 V3 [2]^+ 2 
66 10 V3 [2,4]^+ 8 
67 10 V3 [2]^+ 2 
68 10 V3 [2^+,4] 8 
69 10 V3 [4]^+ 4 
70 11 V3 [2,5]^+ 10  10^7 
71 10 V3 [2,3^+] 6 
72 11 V3 [3,5]^+ 60 60+12 (pentakis truncated icosahedron) 
73 10 V3 [4]^+ 4 
74 11 V3 [2,6]^+ 12 12^6+2 
75 11 V3 [2]^+ 2 
76 11 V3 [3,3]^+ 12 12^6+4 
77 11 V3 [4]^+ 4 
78 11 V3 [3,4]^+ 24  24^3+6 
79 11 V3 [2]^+ 2 
80 11 V3 [3,5]^+ 60 60+20 (hexakis truncated icosahedron) 
81 11 V3 [4]^+ 4 
82 11 V3 [2^+,10^+] 10 10^8+2 
83 11 V3 [2,3]^+ 6 
84 12 V3 [3,3]^+ 12 12^7 (7 snub tetrahedra) 
85 11 V3 [2,5]^+ 10 
86 12 V3 [2,2]^+ 4 
87 12 V3 [1]^+ 1 
88 12 V3 [3,3]^+ 12 12^7+4 
89 12 V3 [2]^+ 2 
90 12 V3 [2,4]^+ 8 
91 12 V3 [2]^+ 2 
92 12 V3 [3,3]^+ 12 12^7+4^2 
93 12 V3 [4]^+ 4 
94 13 V3 [2^+,2^+] 2 
95 12 V3 [2]^+ 2 
96 13 V3 [3,3]^+ 12 12^8 (8 snub tetrahedra) 
97 12 V3 [4]^+ 4 
98 13 V3 [2,4]^+ 8 
99 12 V3 [2] 4 
100 13 V3 [3,3]^+ 12 12^8+4

4维的类似表在准备中。



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