球形设计

R、 哈丁和斯隆

假定最优球面库t-设计。

结果汇总

设tau(N)表示存在N点三维球面t设计的t的最大值。

如果设计中还存在t-t点,则设计为t-t。
下表总结了我们在三维 中的主要结果,其中给出了我们认为N<=100时τ(N)的值。

然后,可以简单地从表中读出摘要开头的断言。

在第4列和第5列中,表中还列出了我们在这种设计中发现的最大对称群(使用了Coxeter和Moser(1984))的符号,在某些情况下,还列出了该组下轨道的尺寸,以及由这些点形成的多面体的描述。在大多数情况下,发现的设计并不独特。

对于表中N的每一个值,我们已经找到了一个假定的球形t设计的非常精确的数值坐标,t等于第2列中给出的值。此外,经过大量的搜索,我们无法找到(t+1)设计,因此,我们推测第2列中的条目确实给出了tau(N)的精确值。

在许多案例中,我们已经证明一个球形的t形设计,非常接近我们的数值近似。

表 第三列中的符号V1表示设计存在的代数证明, V2用区间方法证明, 和V3表示我们有一个不一致 (本文中定义)的数值解不超过10^-26。

参考文献表明,谁首先证明了具有这个数量点的球形t设计的存在性(不一定是表中描述的特殊设计)。

tau(N)的推测值,它是三维球体上N点配置形成球面t设计的最大t。

NτN(N)证明群阶轨道(描述)
 
 1 0 0 V1无穷无穷无穷1 1(单点)
 2 1 1 V1无穷无穷无穷2(2反足点2)2 
 3 1 1 V1[2,3 3]12 3(等边三角形)3 
 4 2 2 V1[3,3]24 4 4 4(正四面体正四面体)5 1 V1[2,3]12 3 3 3 3+2(三角双锥)2(三角双锥)
 6 3 3 V1[3,4]48 6 6(正八面体)7 2[Mimura 1990][3]3]6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3]24 4 4(正四面四面体正四面体正四面体正8 3 1版[3,4]48 8(立方体)9 2[Mimura 1990][2,3]12 6+3(三角双棱镜)10 3[Bajnok 1993][2^+,10]20 10 10(五角棱镜)11 3[Bajnok 1993][2,3]^+6 6 6 6+3+2 5 V1[3,5]120 12 12 12(规则二十面体面体)13 3[Bajnok 1993][4]8 4 4^3+1 4[HardinSloane 1992][2,3]^+6 6 6 ^ 2+2+2 ^+6 6 6 ^ 2+2+2 ^ 6 6 ^ 2+2+2 ^ 12 5[12,5]12[12[12[Bajnok 1993][
 15 3[Bajnok 1993][2,5]20 10+5 
 16 5[Hardin Sloane 1992年][3,3]^+12 12 12+4(六正截四面体)_4[Hardin Sloane 1992][2,3]^+6 6 6^2+3+2 5[Reznick 1995][2^^+,6]12 12 12+6 19 4[HardinSloane 1992][3]6 6 6^2+3^2+2+1 5 V1[3,5]120 20(正十二面体)120 20(正十二面体)21 4[HardinSloane 1992][2,3]12 12 12+6+3 5[Reznick 1995][22 2[2,3]Reznick 1995][22 2[Reznick 1995][22[2[Reznick 1995][2[2[2[2^+,10]20 10^2+2 
 23 5 V2[2,3]^+6 6^3+3+2 
 24 7 McL63[3,4] 25 5 V1[2,5]^+10 10 10^2+5 6 V3[2,3]^+6 6 6 V3[2,3]^+6 6 6 V3[2,3]^+6 6 6+4+2 5[Reznick 1995][2,3]12 12 12 12 12 ^2+3 6 V3[2 ^+,4]8 8 8 8^3+4 6 V3[2]^+2 2 2 2 ^ 14+1 V1[3,4]^+24 24 24+6(四合一的加加加24+6(四合一的加加一)10 ^ 6[3[2,3]^+6[3[2,3]12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 6+1 
 32 7 V1[3,4]^+24 24+8(缓冲立方体+立方体)
 33 6 V3[2,3]^+6 
 34 7 V3[2,4]^+8 
 35 6 V3[2,5] 10 ^+10 10 10 ^ 3 ^ 10 10 ^ 3 ^ 10 ^ 3 ^ 3 ^ 12 ^ 3(3三加三)三(3三三)三(三)三(三)三(三)三(三)三(三)三(三)三(三)三(三)三(三、四)三^+24 24 24+8+6 7 V3[2,3]^+12 12 12 ^ 4 7 V3[2,3]^+12 12 12 ^ 4 7 V3[2,3 ^ 6 8 8 8 8 V3[2,4]^+8 7 V3[3[3,4]^+8 7 V3[3[3[3[V3[3,3]^+12 12^3+4^2 
 45 8 V3[2]^+2 
 46 8 V3[2,4]^+8 
 47 8 V3[2,3]^+6 
 48 9 V1[3,4] 2(两个“两个鼻压立方)2(两个“两个鼻压立方块)8 V3[4]^+4 9 V3[2,6]^+12 12 12+4 8 V3[2,3]^+6 9 V3[3,3]^+12 12 12 ^ 4 ^ 53 8 V3[2,3]^+6 9 V3[3,4]^+24 24 24 ^ 2+6 5 9 V3[2]^+24 24 24 2+6 9 V3[2]^+2 9 V3[3 ^+,4]24 24 24 24 ^ 2+8 8 5 9 V3[2[3 ^+4]24 24 24 24 24 24 24 10;57 9 V3[2,3]^+6 
 58 9 V3[2,4]^+8 
 59 9 V3[2,3]^+6 
 60 10 V3[3,3]^+12 12^5(5缓冲四面体)
 61 9 V3[6]^+6 10 V3[2,3]^+663 9 V3[2,7]^+14 14 14+4+7 10 V3[3,3]^+12 12 12 5+4 10 V3[2]^+2 ^ 66 10 V3[2,4]^+8 10 V3[2 2 2]^+2 10 V3[2,4]8 10 V3[2 ^ 6 10 V3[2 ^+,4]8 8 10 V3[4]^ 10 10 ^ 70 11 V3[2,5]^ ^ 10 10 ^ 7 10 10 10 10 V3[2,3 ^ ^ 6 11 11 V3[2,3 ^ ^ ^ ^[3,5]^+60 60+12(五角体截短二十面体)
 73 10 V3[4]^+4 
 74 11 V3[2,6]^+12 12 12^6+2 
 75 11 V3[2]^+2 
 76 11 V3[3,3] 12 ^+12 12 12 ^ 12 ^ 6 ^ 6 ^ 6 ^ 4 ^ 7 11 11 V3[3,4]^+24 24 24 ^ 3+6 11 V3[2]^+2 ^+2 ^ 80 11 11 V3[3,5]^+60 60 60 60+20(六面体被截断的二十面体面体)10 ^ 81 11 V3[4]^+4 11 V3[4]^+4 ^ 1010 10 10 ^ 8 8 8 8 11 V3[2,3,3]^+6 ^ 84 12 ^ 12 ^ ^ 12 ^ 8 8 8 11 V3[2,3,3,3[3,3,3]^ 7(7个缓冲四面体)
 85 11 V3[2,5]^+10 
 86 12 V3[2,2]^+4 
 87 12 V3[1]^+1 
 88 12 V3[3,3] 12 ^+12 12 12 ^ 12 ^ 12 ^ 12 ^ 12 ^ 7 ^ 12 ^ 9 12 V3[2,4]^+8 12 12 V3[2,3[3,3]^+12 12 12 V3[3,3]^+12 12 12 ^ 2 ^ 2 ^ 12 12 12 V3[4 4]^+4 13 V3[2 ^+,2 ^ ^ 2 12 V3[2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 2 ^ 9 12 ^ 2 ^ 9 12 ^ 9 12 ^ 9 12 ^ 9 12 ^ 9 12 ^ 9 12(2 ^ 9 12 12 12 12 12 12 12^+4 
 98 13 V3[2,4]^+8 
 99 12 V3[2]4 
 100 13 V3[3,3]^+12 12^8+4

一个类似的4维表格正在编制中



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