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数学最著名的证据几乎被打破

安德鲁·怀尔斯认为他已经解决了一个古老的难题。直到它开始解开。

安德鲁·怀尔斯在Peter Brown的数学中作了一系列题为“模块化形式、椭圆曲线和伽罗瓦表示”的讲座。

在六月英国剑桥举行的数学会议上,德鲁怀斯发表了一系列题为“模块化形式、椭圆曲线和伽罗瓦表示”的讲座。他的论点既长又有技巧。最后,在第三次谈话的20分钟内,他走到了尽头。然后,为了标出结果,他补充说:

= FLT

“暗示了Fermat的最后定理”,这是数学史上最著名的未经证实的猜想。首先由法国法学家和业余数学家Pierre de Fermat提出,它在350多年来一直没有被证实。威尔斯是普林斯顿大学的教授,他独自一人在家里阁楼里秘密地研究这个问题,已经七年了。现在他揭开了他的证据。

他的声明使他的听众和全世界兴奋不已。故事在第二天出现在头版。纽约时报.缝隙,服装零售商,要求他模拟一个新的牛仔裤线,虽然他反对。人民周刊他命名为“25年度最迷人的人之一”,连同戴安娜公主,迈克尔·杰克逊和比尔·克林顿。Barbara Walters的制片人向他伸出援手,威尔斯回答说:“谁是Barbara Walters?”“。”

在这些失败的废墟中,产生了深刻的理论,开拓了巨大的数学新领域。

但是庆典没有持续。一旦提出证据,就必须在证明有效之前予以检查和核实。当威尔斯向著名杂志提交200页的证据时发明数学它的编辑把六个审稿人的稿件分成两份。其中一位是普林斯顿数学家Nick Katz。

两个月来,卡茨和法国同事Luc Illusie仔细检查了卡茨的证据部分中的每一个逻辑步骤。他们有时会遇到一系列他们无法理解的推理。卡茨会给威尔斯发电子邮件,他会提供一个解决方案。但在8月末,威尔斯提出了一个不足以满足两位评论家的解释。当Wiles仔细观察时,他发现卡茨在数学脚手架上发现了裂缝。起初,修理看起来很简单。但当威尔斯从裂缝中捡起时,碎片开始脱落。

由于他越来越害怕,威尔斯意识到他的错误不仅仅是一个小小的误判。疏忽不是一件坏事。充其量是一个错误的锚点留下的缺口,他必须用尚未发明的材料来代替。但是如果这是一个裂痕,一个无法弥补和羞辱的错误,会让整个事情崩溃成空虚?

大师心目:安德鲁·怀尔斯是普林斯顿大学的数学教授,他花了七年时间来解决Fermat的最后一个定理,一个著名的350年之谜。美联社照片/ Charles Rex Arbogast


费马最后定理的诱惑艺术是其欺骗性的简单性。Fermat在学习的时候提出了1637算术亚历山大市古希腊数学家狄奥芬多编纂的代数问题集。这本书包括对勾股定理的讨论,它描述了一个直角三角形的边之间的关系。如您所记得的,它指出斜边的正方形(与直角相反的一侧)等于其他两个正方形的平方和。或者,用数学术语来说,这三个方面,请是的Z轴满足方程2个+是的2个=Z轴2个是的。

丢番图研究了由整数组成的解决方案,称为“毕达哥拉斯三元组”,其中有无穷多个。最简单的例子是集合3, 4和5。(熟悉的“3-4-5”直角三角形)另一个是5, 12,13个。145, 408,433。

Fermat问了一个自然的下一个问题:你能在更高的维度中找到相似的三元组吗?换句话说,是否存在求解方程的整数。+=C类是吗?或者4个+4个=C类4个是吗?或者一万零七+一万零七=C类一万零七

Fermat说,答案是否定的。没有整数集。,请,请C类满足方程的n个+n个=C类n个在哪里n个整数大于2。在一个边缘算术他著名地写道:“我发现了一个真正奇妙的展示,这个边缘太窄,无法容纳。”

而且,他似乎从未在别处阐述过。他死后,他的儿子塞缪尔出版了一个新版本。算术这包括了Fermat在其边缘所做的所有笔记。这些观察,通常没有证据证明,提出了不可抗拒的挑战。在几年内,读者已经确认了除了高维毕达哥拉斯三元组之外的每一个。这是“最后一次”未经证实的索赔。

几个世纪以来,费马的最后一个定理使教授、业余爱好者和曲棍球都很感兴趣。“数学家王子”,Carl Friedrich Gauss,是少数几个早期的理论家,他抵制它的魅力,把它看成是“一个孤立的命题(对我来说没有什么兴趣)。”这个问题在数论教科书和通俗读物中都有。科学院提供了可观的奖品。而且,即使最好的数学头脑在解决这个问题上取得了有限的进步,这个定理的名声也在增长。Fermat亲自给了一个证据。n个= 4。但数学家后来表明,这一说法对其他人也是正确的。n个包括,包括n个不到100和他们的倍数,他们无法证实Fermat是正确的。全部N没有人能证明他是错的。

威尔斯很少告诉人们,数学家已经等待了几个世纪,现在正面临着崩溃的危险。

然而,他们的好奇心带来了其他的回报。在这些失败的废墟中,产生了深刻的理论,开拓了巨大的数学新领域。例如,在1847,法国竞争对手奥古斯丁·路易斯·柯西和加布里埃尔拉梅被认为是他们这一代最伟大的数学家,他们都认为他已经通过复数证明了Fermat的最后一个定理,这是一个包括虚数在内的普通或“实”数系的扩展。虚数是形式的任意数。商业智能在哪里是实数,例如-2或5/3和=(1)。一个复数,写在表格里+商业智能有一个真实的部分一个虚构的部分(商业智能(例如:2±5(第三章)

柯西和拉梅恩证明了他们的假设,即复数,如实数,可以被分解成一组唯一的素数。实数6,例如,总是等于2×3。除了重新排序的因素(3×2),没有其他产品将工作。但对柯西和拉梅的尴尬,他们的德国当代Ernst Kummer表明,某些复杂的数字可以分为多个因素的主要因素。复数6+0例如,等于2×(2 +)。(x)(2)(或)(1±5)(x)(1~5))中。

为了恢复复数的唯一因式分解,Kummer发明了他称之为理想的代数对象,这在现代抽象代数的后续发展中被证明是重要的。在20世纪初,美国代数学家Leonard Eugene Dickson把Kummer的创新描述为“上个世纪的主要科学成就之一”。

但是突破在那里停止了。19世纪中叶以后,大多数主流数学家,跟随高斯的领导,放弃了费马定理。他们已经提出了解决问题的想法。无论是真的还是假的,这个问题在数学的其他领域都没有已知的结果。寻求证据或反证是一个很大的风险。一个有前途的数学家可以花一番工夫解决一个问题,然后干起来,很少有人能为之努力。


在10岁的时候,德鲁怀斯首先遇到了Fermat的最后一个定理,就像许多数学头脑中的孩子一样,幻想着解决这个问题。但作为一名数学博士,在剑桥大学,他听取了他的导师的建议,以避开可能的死胡同。他选择了研究椭圆曲线,这对于密码学是有用的,它们的曲线看起来像炸面圈的表面。

然后,在1986,威尔斯加入了普林斯顿的数学系之后,加利福尼亚大学的数学家伯克利(Ken Ribet)提出了一个意想不到的路线图,用于构建费马定理的证明,这也将具有深远的意义。三年前,东京大学的两位年轻研究者Utaka Taniyama和Goro Shimura开发了一种被称为“谷山村猜想”的假说,它将两个看似不相关的数学对象组:模块化形式和椭圆曲线进行了比较。

模块化形式是数论中常用的工具。它们存在于四维双曲空间中,这是一种弯曲的空间,以其惊人的对称性而闻名。正方形旋转四分之一圈,其中心看起来仍然是同一个正方形,一个模块化的形式可以被旋转,反射,或者以许多不同的方式转换,最终仍然与它开始一样。另一方面,椭圆曲线是代数结构。当你图形地绘制复数对时,它们就出现了。是的满足方程的是的2个=斧子+在哪里是常数。

“它是如此难以形容的美丽,它是如此的简单和优雅,我只是怀疑地盯着它。”

Taniyama和Shimura提出了一个大胆而激进的想法:模块化的形式是伪装的椭圆曲线。如果他们是正确的,那么数学家对模块化形式的了解都可以转化为椭圆曲线的语言,反之亦然。证明猜想是实现统一数学各分支的重大尝试的关键步骤。

这也证明了Fermat的最后一个定理。在20世纪70年代,一位法国博士生伊夫海勒古奇指出,如果费马定理是错误的,那就是,如果你能找到解决的办法。n个+n个=C类n个然后,你应该能够从方程中生成椭圆曲线。是的2个=-n个)(+n个十年后,德国数学家Gerhard Frey将这一逻辑进一步推进。他推测,如果Taniyama Shimura Conjecture是假的,这种椭圆曲线只能存在。换句话说,如果Taniyama Shimura Conjecture是真的,那么Fermat的最后一个定理也是正确的。

RiBET证明了弗雷的猜测是正确的。威尔斯兴高采烈。他现在可以在不放弃主流数学的情况下,追求童年的理想来证明费马定理。他撤退到阁楼上,决心证明Taniyama和Shimura的猜想。


1993年12月,在剑桥讲学六个月后,威尔斯告诉很少人证明数学家已经等了几个世纪,现在正面临着崩溃的危险。只有审稿人的手稿和他最亲密的知己知道差距。谣言流传着,也许他还没有证明费马定理,数学界强烈要求他发表一篇论文草稿。如果有错误的话,他的同龄人就想修理它。

但威尔斯不愿意如此轻易地分享荣耀。他把秘密大部分留给自己。即使是Ribet,作为威尔斯的非正式新闻联络人,也无法联系到他。“某种程度上的期望是‘你证明了费马,什么都不会让你陷入困境,’”普林斯顿数学教授Peter Sarnak和威尔士的朋友说。

萨尔纳克敦促威尔斯找到一个合作者来帮助弥补这一差距,如果只是“把自己的想法从与他相处融洽的人身上蹦出来”,威尔斯给他以前的研究生理查德·泰勒打电话,他现在是剑桥大学的数学家理论家。起初,他们尝试了泰勒所谓的“本土化操作”:他们会通过对威尔斯在他不完整的证据中所使用的技术做一些小的修正来修正错误。

它不起作用。因此,他们决定“投更广的网,寻找其他方法,”泰勒回忆道。他们在春季和大部分夏天工作,经常从事深夜的电话讨论。“我从来没有过这么大的电话账单,”泰勒说。

但到了1994年9月,他们还没有缩小差距。在承认失败的边缘,威尔斯采取了“最后一看”的方法,试图准确地看出他出了什么问题。在英国广播公司纪录片中证据他描述了接下来发生的事情。“突然,完全出乎意料地,我得到了这个不可思议的启示。”在他失败的技术的“灰烬”中,出现了他用来证明另一个猜想的工具。他称之为“我的IAWAWA理论”,这是他三年前抛弃的一种方法。现在他可以用这个理论来彻底证明Fermat的最后定理。“它是如此难以形容的美丽,它是如此的简单和优雅,我只是怀疑地盯着它。”

借助怀尔斯的新理论,他和泰勒在数周内弥补了这一差距。他们在1995年5月发表了两篇论文。数学年刊.最后的证据,以及伴随的讨论,长达130页。

这是费马失踪的证据“真正神奇的演示”算术的利润空间太小了?唯一正确的答案是否定的,以证明Fermat的最后一个定理,威尔斯采用了先进的数学工具和思想发明后不久Fermat的死亡。大多数数学家认为Fermat定理是错误的。如果他相信他有证据,他很可能欺骗自己。

最后,重要的不是Fermat是对是错。希腊人可能点燃了数论领域。但是,Fermat在一次被误导的吹嘘中,煽动着它即将熄灭的火焰成为数学的一个主要分支。他有缺陷的天才留给我们一个数学遗产,远远超过了他那诱人猜想的肯定回答的相对琐碎性。

至于威尔斯,他的错误只是一个错误。


Peter Brown是一个自由撰稿的科学作家和编辑顾问,总部设在纽约。以前,他是主编。科学自然史杂志他拥有普林斯顿大学的数学学士学位和亚特兰大埃默里大学的语言哲学博士学位。

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