对记得多米诺骨牌理论吗？一个共产主义国家应该推翻下一个，然后是下一个和下一个。20世纪中叶，这个比喻推动了美国外交政策的发展。但它的名字错了。从物理学的角度来看，它应该被称为“沙堆理论”
现实世界政治阶段的转变往往不是以整齐的顺序发生的，而是以突然协调的方式发生的，如阿拉伯之春或东方集团的崩溃。这反映了平静时期，其间不时出现沙堆般的波纹。你可以在沙堆的顶部加一些沙子，但效果并不明显。然后，雪崩以不规则的模式将沙子从顶部扫下来，可能会在雪崩过程中引发小规模的亚雪崩。
这个类比不一定能让我们找到答案。毕竟，真正的沙子很难分析，就像真正的政治一样。但奇迹就在这里。1987年物理学家Per Bak、Chao Tang和Kurt Wiesenfeld创建了一种沙堆抽象模型，称为“阿贝尔沙堆模型”，它似乎捕捉到了真实沙堆的一些丰富而混乱的特征，更不用说生物学、物理学、，和社会科学，同时保持足够简单的数学学习。1
我t的工作原理是这样的。想象一下，一个由无数个点组成的网格，每个点上都有一小堆沙子。我们可以通过在每个点上写一个数字来跟踪每个点上有多少粒沙子。
但是一堆垂直的沙粒只能堆得这么高。比方说，每当四粒或更多的沙粒位于同一点时，四粒沙粒就会倾覆，每个方向一粒。所以，如果你从这个开始：
左侧的桩体倒下，为您提供：
之后，右边的堆垛也超载了，在它的邻居身上落下了4粒：
此时沙堆是稳定的；没有哪个位置的颗粒超过四粒，这个过程就会停止。
我怎么知道先倒哪一堆？好消息：没关系。正如最终配置的对称性所表明的那样，阿贝尔沙堆的最终状态并不取决于倾倒的顺序。这就是为什么它是“阿贝尔”，也就是数学中的“做这个，然后那个，就是做那个，然后这个”。加法就是阿贝尔：加2，然后加3，等于加3，然后再加2。大多数操作都不是阿贝尔操作。打开汽车锁，拉动车门把手，车门就会打开；先拉车门，然后解锁汽车，你会得到不同的结果：车门关闭，汽车解锁。所以沙堆的阿贝尔性质是一个惊喜。
如果你在一个点上堆积了很多沙子，一百万粒，让沙子流动，直到倾覆稳定下来，会发生什么？你可能会想象你最终会得到一大堆光滑的沙子，圆点中心附近的一大片区域被三粒沙子填满。
你会想错的。以下是您得到的：
一百万格令：这是一个阿贝尔沙堆的模拟，它是通过在中心点上堆积大约100万粒（准确地说是20粒）而形成的。（颜色表示堆高。蓝色像素没有沙子。浅蓝色表示一粒，黄色表示两粒，褐红色表示三粒。）韦斯·佩格登
好吧，也许一百万还不足以安顿下来：如果你从十亿开始呢？你会明白：
十亿格令：与上面相同的模拟，使用十亿粒沙子。韦斯·佩格登希望的平滑没有发生。相反，这些疯狂的分形模式依然存在。在中心附近，有一个错综复杂的图案，就像一个圆顶内部镶嵌着格子，看起来有点几何和随意；在堆边缘附近，行为更加一致的三角形岛屿以规则的模式相互交错。
这就是你能做到的结构请参见。这些图片是由卡内基梅隆大学的数学教授韦斯·佩格登（Wes Pegden）创作的，他与莱昂内尔·莱文（Lionel Levine）和查理·斯马特（Charlie Smart）（不是一个夸张的数学笔名，他的真名！）合作，站在了沙堆研究的前沿。2佩格登有十亿粒沙堆的交互式图片在他的网站上。在那里，你可以放大和漫游到你的内心深处。您可以直接前往桩中心的对称可爱之处：
沙子中的图案：十亿粒沙堆中心的放大视图。韦斯·佩格登或者关注外缘的尖尖怪异：
外部限制：十亿粒沙堆边缘的放大视图。韦斯·佩格登还有更精细的局部结构。每一篇数学文章都应该有一个家庭作业，今天的作业是：检查内部沙堆中相邻的两个点不能同时为空（参见解决方案答案）。事实上，我所做的实验表明，更强大的东西可能是真的：空点不仅不可能相邻，而且往往不会出现近的彼此排斥，就像带电粒子一样。
B类在你出去用显微镜观察沙丘之前，我应该警告你，真正的沙堆不会产生这种自发结构。三阿贝尔沙堆模型甚至没有试图捕捉实际物理材料的行为。相反，它的所有复杂性都来自一个抽象，一个可以用五行代码描述的简单确定性算法。这让人想起约翰·康威的《生活的游戏》，它也从一个非常简单的规则集中产生了丰富的复杂性。阿贝尔沙堆，就像《生命的游戏》一样，是一个细胞自动机：也就是说，一个微型宇宙，其状态可以用离散语言计算机完全描述，令人满意。在沙堆中，网格上的每个点都有一个介于0和4之间的数字，一组简单的规则设置相邻点的值。在《生命游戏》中，状态更简单：每个点要么是“活着”要么是“死”，要么是1或0。
但有一点不同。《生活的游戏》可以被哄骗成复杂的行为，但它往往需要一些工作。4在这方面，它是细胞自动机中的典型。另一方面，沙堆似乎在引导自己自动地对于复杂的行为，不需要任何特别的努力来设置正确的初始条件。
它通过寻找一个所谓的临界阈值来实现这一点，在临界阈值周围往往会发现复杂的行为。你很熟悉自然阈值的概念。水在高温下是一种杂乱无章的液体；当温度超过某一临界值时，水发生急剧转变，结晶成冰。对于沙堆，温度的模拟是密度：每个点有多少沙子？沙子太多，堆积物不稳定，基本上是一场长时间的雪崩。太少，沙子很快就会稳定下来。多少钱算太多了？答案出乎意料地简单：平均每点2.125粒是临界阈值，是安静和混乱的分界线。
值得注意的是，在有限的桌子上有一个沙堆，任何到达边缘的沙子都会从边缘掉落并消失，它会自动调整到每点2.125格令。假设桌子开始是空的，你把沙子一粒一粒地扔在中间。有一段时间，沙子的图案膨胀了，看起来很像上面佩格登的图片（描绘了一个无限的桌子）。你掉一粒沙子，沙子沉淀下来，桌子上还有一粒。但一旦沙子到达边缘，故事就改变了。桩接近平衡，沙子以与向中心添加沙子相同的速度从边缘滴落，密度稳定在临界值。当然，随着系统的发展，可能会出现局部波动、密度更大和密度更低的斑块；但在整个表格中，平均每个点的颗粒数将徘徊在2.125左右。
如果你从一个尽可能密的沙堆开始，每个沙堆上有三粒沙子，会怎么样？这种配置是稳定的。但只是在非常脆弱的意义上。在桌子上的任何地方扔下一粒谷物，就会开始大规模的雪崩，直到密度再次降至2.125。
一旦表格达到阈值密度会发生什么？然后沙堆处于最有趣的状态。雪崩一直在发生，但它们并没有创造出一种持续的宇宙翻滚状态；相反，它们是波浪式的，频繁发生较小规模的雪崩，其间不时会发生罕见的桌面灾难。雪崩在阈值密度下的分布似乎服从幂律：雪崩的频率与其大小成反比。有持续的活动，但活动是有组织和结构的。更重要的是，沙堆不必经过精细调整才能显示其复杂的行为；它自动调谐。这就是所谓的“自组织临界性”现象。只要新砂不断以恒定速度添加，系统无论从哪里开始，都会找到临界阈值，并保持在那里。
照片是不够的：你必须看到这种情况发生。国家标准与技术研究所的R.M.Dimeo拍摄了一系列关于沙堆处于临界状态的催眠电影。
在我看来，这是一个活生生的过程。这绝非巧合。自组织临界性的概念是一种流行的方式，可以用来思考如何从自动寻找临界阈值的简单系统中产生丰富的生命结构。一些生物学家将自组织临界性视为复杂生物行为的潜在统一理论，它控制着一群鸟类同步移动的方式，就像遗传信息控制着单个鸟类的发展一样。5生物理论家斯图亚特·考夫曼（Stuart Kauffman）写道：“生命系统存在于混沌边缘的固体状态中，而自然选择实现并维持着这种平衡状态。”沙堆也是如此。当然，这不是生活。但它很生动，不是吗？
T型沙堆，凭借其第一性，是自组织临界性研究最多的例子；但还有许多其他作品（其中一些在佩格登画廊的其他地方进行了描绘）。我们真的不知道沙堆的规则是什么，这些规则使得系统不可避免地向复杂的临界状态演化，我们也不清楚哪些细胞自动机可能表现出自组织临界性。
洞察力可能来自于沙堆与数学其他部分的惊人联系。对于像我这样的几何学家来说，沙堆与新兴的热带几何领域有关，该领域旨在通过类似的离散几何现象来模拟连续的几何现象。对于概率论者来说，沙堆与一种名为生成树的东西密切相关，生成树（在方形网格上）是一条分支路径，它触及网格上的每个点，但从不形成闭合回路。无论洞察力来自何处，沙堆都提醒我们，数学中真正有趣的现象，就像物理中非常有趣的现象一样，往往发生在相变阶段。正是在那里，我们平衡在两个不同的数学领域之间，共享这两个领域的特性，跨越边界传递信息。还有问题。问题总是多于答案。
乔丹·埃伦伯格（Jordan Ellenberg）是威斯康星大学麦迪逊分校（University of Wisconsin-Madison）的约翰·麦克阿瑟（John D.MacArthur）数学教授。他最近是如何不出错：数学思维的力量。
工具书类
1.Bak，P.，Tang，C.，&Wiesenfeld，K.自组织临界性：对1的解释/（f）噪音。物理审查信函 59, 381-384 (1987).
2.Levine，L.，Pegden，W.，&Smart，C.K.阿波罗构造在阿贝尔沙堆中。预打印arXiv.：1208.4839 (2014).
3.Mehta，A.和Barker，G.C.沙堆中的障碍、记忆和雪崩。欧洲物理快报 27, 501-506 (1994).
4.阿隆·J·第一个在生命模拟器中繁殖的复制生物。新科学家 2765, 6-7 (2010).
5.Mora，T.&Bialek，W.生物系统处于临界状态吗？统计物理杂志 144, 268-302 (2011).
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