M（M）艾根·艾尔斯（aegan Ayers）和她的男友内森·索查（Nathan Socha）在2009年秋季面临两难境地。他们在牙买加平原的波士顿附近找到了一套完美的小公寓待售：在一楼，距离最近的“T”火车站只有一英里，靠近波士顿的翡翠项链，这是一条七英里长的公园和自行车道链。联邦政府的优惠政策、低廉的价格和高昂的租金使得购房成为一项异常诱人的提议，这对夫妇急于抢购公寓。
但是，正如这对夫妇的父母温柔地指出的那样，艾尔斯和索查还没有结婚，甚至还没有订婚。如果他们的关系恶化，他们将得不到已婚购房者所享有的保护。作为“共同租户”，其中一人可以合法出租，甚至将他或她的公寓份额卖给完全陌生的人。艾尔斯和索查想知道，一旦分手，他们如何避免在共同拥有的公寓上发生冲突？
许多家庭面临着艾尔斯和索查的困惑——如何公平分配梦寐以求的商品。一些人实现了令人满意的分裂，甚至在这个过程中得到了加强；其他人被撕成碎片。尽管风险很高，但家族用于分割资产的方法往往非常特殊。
艾尔斯和索查做了不同的事情：他们转向数学。
P（P）也许书上最古老的公平分配方法——自古以来就被孩子们使用——是“我切，你选”的方法，比如说，在两个人之间分配蛋糕。一个人把蛋糕切成两块，另一个人可以选择吃哪一块。亚伯拉罕和罗得用这种方法分割他们要定居的土地：亚伯拉罕分割土地，罗得选择约旦河，把迦南留给亚伯拉罕。
“我切，你选”有一个非常吸引人的特性：它是无嫉妒的，这意味着参与者都不愿意用自己的份额换取另一份。从她的角度来看，割下一块或一块土地或其他可分割物品的人有动机使这两份土地的份额尽可能相等，因为她不知道自己最终会得到哪一份。如果她剪得好，她会满足于任何一块。另一位参与者可以选择她最喜欢的曲目，因此两人都不愿意交易。
但是，当货物被分割时，如果蛋糕上有各种不同的糖霜，或者土地上有肥沃的山谷、富含矿物质的山脉和干旱的沙漠，那么“我切，你选”的方法就没有达到公平和可取性的其他重要衡量标准。
在一些除法问题中，数学家已经证明不存在理想分裂。
在这些设置中，选择器比刀具具有明显的优势。为了安全起见，切蛋糕的人必须把蛋糕分成两块，对他来说，两块的价值相等。但选择者可能与切割者有非常不同的偏好。也许从选择者的角度来看，其中一块价值60%，另一块价值40%。如果是这样，他会很高兴地拿走比他认为的一半蛋糕还要多的蛋糕。在数学语言中，“我切，你选”的方法是不公平的。
这种方法不仅不公平，还可能无法给每个人提供对他最有用的份额。例如，假设约翰和简共享一个一半是香草一半是巧克力的蛋糕。约翰最喜欢香草，而简喜欢巧克力。很明显，理想的分割是约翰得到香草的一半，而简得到巧克力的一半。但如果约翰是切刀手，那么除非他知道简的偏好，否则理想的分割对他来说太危险了：他可能会失去整个香草味的一半。因此，他会将蛋糕分成两块相同的蛋糕，每种口味的蛋糕数量相等。这个部门没有“效率”：还有其他部门可以提高部分或所有参与者的份额，而不会让任何人的情况变得更糟。
数学家已经证明，当两个人分蛋糕时，总是有一些同时无嫉妒、公平和高效的划分（要了解为什么这是真的，请参阅边栏：蛋糕是公平的游戏）。但没有简单的算法来识别这种理想的分裂。在其他一些除法问题中，数学家已经证明，甚至不存在理想分裂。相反，在过去20年里，数学家们开发了一个严密的框架，用于探索不同类型的划分所需的权衡，帮助澄清离婚、死亡和撤资的后果。
O（运行）艾尔斯和索查可能采取的一种直截了当的方法被称为“猎枪条款”，类似于商业合同中常见的“我砍，你选”。该条款规定，例如，如果一家企业的两位所有者想要分道扬镳，其中一位将提出收购价格，另一位将选择以该价格收购或被收购。就像“我切割，你选择”，这种方法是无嫉妒但不公平的：选择者比提议者更好。因此，提供除法算法的波士顿公司Fair Outcomes的律师兼首席执行官詹姆斯·林（James Ring）表示，关于谁应该提议，谁应该选择的争论有时会导致数年的诉讼。
相反，艾尔斯（Ayers）和索查（Socha）承诺，如果发生分拆，他们将使用一种称为公平买卖（Fair Buy-Sell）的相对较新的算法来确定哪一方将以何种价格买断对方的股份。公平买卖是由Ring和纽约大学政治学教授Steven Brams于2007年设计的，要求每个合伙人同时提出买断价格。如果约翰提议11万美元，简提议10万美元，那么出价较高的约翰将以10.5万美元收购简。与猎枪条款不同，这种方法是公平的：每个参与者最终都会得到比他或她的出价更好的东西，要么是钱，要么是生意。Ring说：“两位参与者总能得到比他们提出的更好的解决方案。”。业务总是流向更重视它的合作伙伴。
这个算法加入了一长串其他算法，例如调整优胜者和平衡交替。然而，与公平划分的处方一样重要的是，了解什么时候不可能实现完美的公平，或者以社会福利为代价（这衡量了哪些项目会流向最重视它们的人）。2013年1月发布的美国数学月刊Brams与格拉茨大学的Christian Klamler和蒙克莱尔州立大学的Michael Jones共同表示，当三个人分蛋糕时，有时不可能同时找到一个无嫉妒、公平和高效的分工。同样，当三个人必须划分一组不可分割的项目时，有时需要在无嫉妒的解决方案和高效的解决方案之间进行选择（有关发生这种情况的简单示例，请参阅边栏：嫉妒与效率）。
布拉姆斯说：“数学对可实现的目标设定了限制。”。“那么问题是，如果你不能得到所有东西，你想放弃什么房产？”
也许我会说，我会用10万美元买下你，但如果你想买下我，你必须付给我20万美元。这是人性使然。
这里也出现了一些服务来提供帮助。一项名为Splitdit的新的免费在线服务将允许用户自行决定他们想要在多大程度上放松公平观念。它的除法算法要求参与者选择一个特定的公平标准，要么是绿色，要么是两个较弱的标准中的一个。然后，该算法在所选择的公平水平上寻找产生最高社会福利的除法，在这种情况下，这是由所有参与者的赢款价值之和来衡量的。参与者设定的公平约束越高，社会福利越低，反之亦然。
Spliddit算法的内部工作机制不如公平买卖算法的内部运行机制那么透明。但是匹兹堡卡内基梅隆大学的计算机科学家阿里尔·普罗卡西亚（Ariel Procaccia）的研究团队创建了Spiddit，尽管如此，他认为即使是对数学有恐惧症的人也能使用该网站：他说，算法产生的分歧应该能说明问题。
他说：“人们应该能够看到一份提案，并意识到他们喜欢自己的份额，不想与任何人交换。”。
W公司虽然公平分割算法已经取得了长足的进步，但它们在现实世界中的使用可能很复杂。首先，人类可以接受同样令人信服但相互排斥的公平观念。例如，当兄弟姐妹分割父母的遗产时，每个兄弟姐妹应该得到同等的份额，还是照顾父亲度过最后一次疾病的兄弟姐妹应该获得更多？公平除法算法无法对族进行此决定。
加州大学欧文分校的社会心理学家彼得·迪托（Peter Ditto）表示：“根据算法的结果，它可能会冒犯任何一种道德情感。”。“很难满足我们所有关于公平和正义的直觉，因为它们往往相互冲突。”迪托说，我们的满足感更为复杂，因为进化把我们磨练成了不公正的检测器，所以“即使我们没有这样做，我们也常常觉得自己被搞砸了。”再加上对和解的复杂情绪反应，很明显，我们与除法算法的关系并不总是简单的。
同时，数学算法的公正性可以帮助人们梳理出自己的潜意识动机，并驯服他们敏感的不公平雷达。当公平买卖被用来解决兄弟姐妹之间多年来一直存在的不和时，事情就是这样发生的。兄弟姐妹继承了一个家族企业帝国，无法就谁买断谁的股份达成一致。
“双方都声称对方提供的太少了，”Ring说。“这就是人们在冲突中的行为，如果他们彼此不信任，我会说我会花10万美元买断你，但如果你想买断我，你必须付我20万美元。这是人类的本性。”
当一个兄弟姐妹的律师要求他使用公平买卖算法时，选择价格插入系统的过程让兄弟姐妹顿悟：他其实并不想做生意。他意识到，他之前的不妥协是企图以兄弟姐妹为代价，不公平地获利。Ring说，公平分配算法提供了“一个非常强大和积极的东西”。“为了得到我想要的，我不必对你撒谎，不必残酷对待你，也不必假装多年来我都很关心事情。”
公平结果（Fair Outcomes）和Splitdit等部门服务提供了一个数学透镜，用户可以通过它查看自己的动机。他们会选择强调环保还是社会福利？如果即使是一个没有嫉妒心的分裂也让他们无法接受，那么他们是出于报复吗？正如安大略省滑铁卢市Wilfrid Laurier大学数学教授兼主席马克·基尔古尔（Marc Kilgour）所言，公平划分的数学方法“揭示了长期存在的各种行为”
至于艾尔斯和索查，他们从来没有调用过公平买卖算法。相反，梅根·艾尔斯（Maegan Ayers）成为了梅根·索查（Maegan-Socha），这对已婚夫妇最终卖掉了他们的公寓，搬到了罗德岛（Rhode Island），他们将于7月在那里迎来他们的第一个孩子。回首往事，梅根将他们的公寓购买和公平合同视为这对年轻夫妇迈向成年的一步。她回忆道：“当时我认为，成年人的一部分是长大了，能够做出这样的决定，我很高兴我们能处理好这件事。”。“知道如果事情没有解决，我们不会对彼此不公平或伤害，这是对彼此的信任和信心的象征。我们会保留一些东西，即使关系没有解决。”
Erica Klarreich是加州伯克利市的数学和科学作家。她的作品发表在2010年和2011年的数学最佳写作。
获取Nautilus时事通讯
尖端科学，由最聪明的在世思想家揭开。
