我 1974年，英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）创造了一套革命性的瓷砖，可用于覆盖无限平面，图案永不重复。 1982年，以色列晶体学家丹尼尔·谢赫特曼（Daniel Shechtman）发现了一种金属合金，这种合金的原子结构与材料科学中观察到的任何东西都不同。 彭罗斯以数学中罕见的规模赢得了公众的关注。 谢赫特曼获得诺贝尔奖。 这两位科学家都藐视人类的直觉，改变了我们对大自然设计的基本理解，揭示了在高度有序的环境中可能出现的无限变化。
他们突破的核心是“被禁止的对称”，因为它与对称和重复之间根深蒂固的联系背道而驰。 对称性是基于反射轴的，线的一侧出现的任何东西都会复制到另一侧。 在数学中，这种关系反映在平铺模式中。 矩形和三角形等对称形状可以覆盖一个平面，既没有间隙，也没有重叠，并且以不断重复的模式覆盖。 重复的图案被称为“周期性”，并被称为具有“平移对称性”。如果你把图案从一个地方移到另一个地方，它看起来是一样的。
彭罗斯是一位大胆而雄心勃勃的科学家，他对相同的模式和重复不太感兴趣，而对无限的变化更感兴趣。 准确地说，他对“非周期”平铺感兴趣，即一组平铺可以覆盖无限平面，既没有间隙也没有重叠，而不会重复平铺模式。 这是一个挑战，因为他不能使用具有两个、三个、四个或六个对称矩形、三角形、正方形和六边形轴的瓷砖，因为在无限平面上，它们会产生周期性或重复的图案。 这意味着他必须依赖于那些被认为在平铺飞机时会留下空隙的形状——那些对称性被禁止的形状。
彭罗斯转向五轴对称，即五边形，以创建他的非重复图案平面，他曾说过，部分原因是五边形“看起来很好看”。彭罗斯瓷砖值得注意的是，即使他从五边形的线条和角度导出瓷砖，他的形状也没有留下难看的缺口。 他们完美地依偎在一起，在飞机上扭来扭去，总是接近重复，但从来没有达到目的。
就好像彭罗斯写了一部关于一种新动物物种的小说，结果却让一位动物学家发现了生活在地球上的物种。
彭罗斯瓷砖引起公众关注有两个主要原因。 首先，他发现了一种仅使用两种瓷砖就可以生成无限变化图案的方法。 第二，甚至更为壮观的是，他的瓷砖是简单对称的形状，其本身并没有显示出其不同寻常的特性。
彭罗斯制作了几个不同版本的非周期瓷砖套装。 他最著名的作品之一是“风筝”和“飞镖”。风筝看起来像同名的儿童玩具，飞镖看起来像隐形轰炸机的简化轮廓。 两者沿对称轴清晰地分开，每个表面上都有两个简单对称的弧。 彭罗斯建立了一条放置规则：对于“合法”的瓷砖放置，这些弧必须匹配，从而创建连续的曲线。 如果没有这个规则，风筝和省道可以重复放置在一起。 按照这个规则，重复永远不会发生。 风筝和飞镖永远在瓦片上，绕着它们的五根轴线跳舞，创造出星爆和十边形、弯曲的曲线、蝴蝶和花朵。 形状反复出现，但新的变化不断出现。
阿肯色大学数学研究助理临床教授埃德蒙·哈里斯（Edmund Harriss）撰写了关于彭罗斯瓷砖的博士论文，他提供了一个比较。 哈里斯说：“想象一下，你身处一个由正方形组成的世界。”。 “你开始走路，当你走到广场的边缘时，下一个广场完全一样，你知道如果你一直走下去，你会看到什么。”彭罗斯瓷砖的性质正好相反。 “无论你拥有多少信息，看到了多少瓷砖，你都无法预测接下来会发生什么。这将是你以前从未见过的事情。”
平面非周期分割的一个奇怪之处在于，定位信息以某种方式跨越了很远的距离进行传递——将彭罗斯瓷砖放置在一个位置可以防止将其他碎片放置在数百（成千上万）块瓷砖之外。 哈里斯说：“某种程度上，局部约束施加了全局约束。”。 “你强加说，这些瓷砖在任何尺度上都不会给你周期性的东西。”你可以面临这样的选择，比如说，将风筝放在一个区域，或将飞镖放在遥远的位置。 两种瓷砖都可以使用，但不能同时使用。
瓷砖形成无限的非重复图案，表示斐波那契比率，也称为“黄金比率”。如果较小数字与较大数字的比率与较大数字与两个数字之和的比率相同，则称两个数字具有黄金比率。 在这种情况下，风筝面积与省道面积之比就是黄金比例。 风筝长边和短边的比例也是黄金比例。
彭罗斯瓷砖也可以细分为更小的版本。 风筝由两个较小的风筝和两个飞镖组成。 省道由一个较小的风筝和省道的两半组成。 （在任何有效的Penrose平铺中，所有这些半身省道都会相互对齐。从数学上讲，这可以将它们视为整个省道。）“假设我有一块Penrose瓷砖 A类 风筝和 B类 飞镖，”哈里斯说。 “如果我再细分，我会得到2个 A类 + B类 风筝，和 A类 + B类 飞镖。”
如果你无限次地进行这种替换，你可以计算出每种瓷砖的总比例，如果它们被放置在一个永无止境的平面上。 在这种计算中，重复的模式总是会产生合理的比率。 如果比率是一个无理数，这意味着这种模式永远不会完全重复。 彭罗斯瓷砖不仅产生无理数，而且它们之间的关系是斐波那契比率——省道与风筝的比率与风筝与瓷砖总数的比率相同。
考虑到斐波那契似乎在自然界中无处不在，从菠萝到兔子，更奇怪的是，这个比率对于似乎与物理世界无关的瓷砖系统来说是根本性的。 彭罗斯创造了一种数学上的新奇事物，之所以有趣，正是因为它似乎不像自然界那样工作。 就好像他写了一部关于一种新动物物种的小说，结果却让一位动物学家发现了生活在地球上的物种。 事实上，彭罗斯瓷砖跨越了黄金比例、我们发明的数学以及我们周围世界的数学。
风筝和飞镖： 英国数学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）创造了一个美丽的、无穷无尽的变化平面，只有两种形状，风筝和飞镖，如图中的蓝线所示。 多米尼克·冯（Dominique Fung） P（P） 当恩罗斯接受禁止对称时，他不可能知道自己是一种思想转变的一部分，这种转变将导致材料科学的一个新领域。 毕竟，对称是纯粹数学和自然世界的基础。 天体物理学家马里奥·利维奥（Mario Livio）将对称描述为“解读大自然设计的最基本工具之一”。大自然使用正方形和六边形的原因与人类设计师的原因相同：它们简单、高效、有序。 如果五边形对于室内设计中的地砖图案这样简单的东西来说似乎不切实际，那么人们认为五边形不可能在晶体等固体材料中形成原子。
晶体是由三维原子晶格组成的。 晶体是通过添加更多的原子和扩展晶格来生长的。 当原子以重复模式排列时，这种情况最有效。 几十年来，故事就此结束：晶体是重复的结构。 结束。
1982年，谢赫特曼在海法理工大学国家标准局休假。 他在实验室里摆弄铝锰合金。 他的晶体结构产生的衍射图案似乎没有反映出晶体学家已知的任何标准对称性。 事实上，原子看起来就像彭罗斯在数学界释放出来的五边形、菱形、风筝和飞镖一样排列着。
谢赫特曼说：“当然，我对彭罗斯瓷砖很熟悉。”。 但他没有理由怀疑他们与他的合金有关。 “我不知道它是什么。在接下来的几个月里，我一次又一次地重复我的实验。在我的假期结束时，我确切地知道它不是什么，但我仍然不知道它到底是什么。”
为了理解自己的发现，谢赫特曼不得不挑战彭罗斯同样的直觉和传统智慧。 他不得不接受被禁止的对称，因为它是五边形的混乱和不重复。 回到以色列后，他得出了一个不情愿的结论，即他发现了一种不重复的晶体原子结构。 尽管他和材料科学界的任何人起初都不敢称他的发现为晶体。 他们称之为“准晶”。
准晶具有较低的摩擦和磨损，是剃须刀和手术器械的理想涂层。
就好像彭罗斯异想天开的数学迫使自己进入了自然世界。 谢赫特曼说：“80年来，晶体被定义为‘有序和周期性’，因为从1912年开始研究的所有晶体都是周期性的。”。 “直到1992年，国际结晶学联合会才成立了一个委员会来重新定义‘晶体’。这个新定义是结晶学的一个范式转变。”
谢赫特曼的发现让人难以理解和吸收，这不仅仅是心理上的惰性。 非周期性晶体结构并不只是陌生； 他们被认为是不自然的。 请记住，放置一个Penrose图块可能会影响数千个图块之外的事物，局部约束会创建全局约束。 但是，如果一个晶体是一个原子一个原子地形成的，那么就不应该有自然法则允许彭罗斯瓷砖固有的那种限制。
事实证明，晶体并不总是一个原子一个原子地形成。 谢赫特曼说：“在非常复杂的金属间化合物中，单位是巨大的。它不是本地的。”。 当大块的晶体同时形成时，而不是通过逐渐的原子吸积，相距很远的原子可以影响彼此的位置，就像彭罗斯瓷砖一样。
与许多禁忌一样，被禁止的对称最终被接受为自然存在的有效形式。 准晶不仅成为了一个新的学术研究领域的主题，而且由于其独特的结构，它们还具有许多有用的性质。 例如，它们不规则的原子结构使它们的表面能很低，这意味着它们不会粘着太多。 因此，准晶体涂层已被应用于不粘炊具中。 （当彭罗斯创作出他的新奇瓷砖时，没有理由认为它会对结晶学产生影响，更不用说煎蛋了。）准晶体往往摩擦和磨损较小，这使它们成为剃须刀和手术器械，或任何接触人体的锋利工具的理想涂层。
由于准晶的结构从不重复，它们通过电磁辐射产生独特的衍射图案。 光子学研究人员对它们如何影响光学传输、反射率和光致发光感兴趣。 过冷它们，它们的电阻就会飙升到近乎无限的水平。 但它们也吸收红外辐射，变得非常热，非常快。 这使得它们成为3D打印机的一种非常有价值的添加剂，3D打印机通常使用塑料粉末作为源材料。 谢赫特曼解释说，当准周期粉末混合在一起时，用红外线照射，准周期粉末“迅速升温，熔化周围粘连在一起的塑料颗粒。”
没有人知道禁止对称的故事是如何结束的。 数学家继续探索彭罗斯瓷砖的特性。 准晶仍然是基础和应用研究的主题。 但到目前为止，这是一次令人难以置信的旅程。 在过去40年里，五轴对称已经从不切实际变为有价值，从不自然变为完美自然，从禁止变为主流。 这是一个转变，为此我们可以感谢两位科学家，他们超越了传统智慧，揭示了自然界中一种引人注目的无限变化的新形式。
Patchen Bars是多伦多的记者和作家。 他目前正在写一本关于纯数学和自然世界之间关系的书。
主图像由两幅图像构成，这两幅图像最初出现在AMES实验室/维基媒体共享空间和Parcly Taxel/维基媒体公共空间。
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