G公司莱芬多和斯莱特林即将参加他们的年度比赛羽毛球比赛。每家每户最好的球员都应该在第一场比赛中对决，第二场比赛在第二场，以此类推。
斯莱特林的教练知道这一点格兰芬多他们会根据自己的技术将球员安排在正确的球场上，因为格兰芬多队是诚实的。由他来教会他们错误的行为。毕竟，诚实只不过是浪费了作弊的机会。
通过战略性地将球员按不同的顺序排列，他能增加球队预期获胜的比赛数量吗？如果是这样的话，斯莱特林的球员加入的最佳顺序是什么？
我的一个大学朋友叫霍华德·斯特恩（是的，他的真名；不，不是那个霍华德·斯特恩（Howard Stern）于1980年在麻省理工学院（M.I.T.）读研究生的时候提出了这个难题，他研究了一段时间，但没有完全解决。从那以后，他每次有机会都会向数学家询问这个问题，但从未找到一个知道答案的人。最后，在2012年，他通过电子邮件向我发送了这个问题。（33年前霍格沃茨的主题还没有出现，这是我的点缀。）
我发现最早提到霍华德的问题是a 1983年论文，由三位运筹学研究人员撰写名为Arjang Assad、Bruce Golden和James Yee。毫不奇怪，运筹学研究人员首先提出了这一概念：运筹学（简称“OR”）是一门不浪费资源的科学。在这个问题上，资源是斯莱特林羽毛球运动员的技能，而挑战是如何以最大化预期获胜比赛数量的方式分配资源。
关于霍华德的问题，首先要注意的是，我喜欢称之为作弊教练问题，这还不是一个数学问题。你可以称之为原型问题。现实世界的问题经常是这样的；在数学家得到正确答案之前，或者任何回答，他们首先必须弄清楚什么是正确的问题。这通常要求他们做出一些假设并定义一些术语。
在他们的论文中，阿萨德、戈尔登和叶认为作弊教练会掌握对方球队的完美球探信息。因此，对于自己球队中的每个球员和对方球队中的每一个球员，他都会知道自己的球员获胜的概率。
不幸的是，阿萨德的团队为了自己的利益知道了太多。此类问题的快速求解算法（称为线性指派问题)适用于计算机，早在1983年就已为人所知。因此，从手术室的角度来看，这个问题变得无趣：你不能发表关于每个人原则上都知道如何解决的问题的论文。在我看来，这就是为什么作弊教练的问题自1983年以来一直没有得到解决。
然而，对于一个数学家来说，求解算法与求解是不同的。人类的心灵渴望理解力和洞察，计算机只能在有限的范围内提供。一台计算机一次可以解决一个问题，但数学就是要找到适用的模式全部的案例。由于过早地将问题简化为计算机算法，阿萨德的团队错过了发现一些美丽数学的机会。他们没有问对问题。（请参阅“数学是神话塞缪尔·阿贝斯曼（Samuel Arbesman），“对人类完成的优雅数学和机器完成的计算数学进行了不同的比较。）
霍华德·斯特恩（Howard Stern）以完全不同的方式看待原始问题。他坚持斯莱特林的教练应该知道没有什么关于格兰芬多球员相对于自己球员的实力。他应该只知道格兰芬多教练愚蠢地通过诚实的方式向他提供的信息：格兰芬多球员之间的真实排序。在我看来，霍华德的说法提出了一个非常纯粹的问题：格兰芬多队教练诚实的代价是什么？
每支球队有三名球员的情况是一个完美的起点。考虑从1到6（1是最强的）对玩家进行评级，然后将他们随机分配给两个玩家。有二十种方法可以做到这一点，每种方法的可能性都是一样的。例如，斯莱特林抽签球员2、4和6的概率为二十分之一，而格兰芬多抽签球员1、3和5的概率为十二分之一。如果发生这种情况，作弊将产生很大的影响。如果斯莱特林队以2-4-6对抗1-3-5，那么三名斯莱特林队球员都将输掉比赛。另一方面，如果斯莱特林以6-2-4的比分对阵1-3-5，那么他们将赢得两场比赛。（6输给1，但2比3，4比5。）
在我看来，这个版本提出了一个非常纯粹的问题：格兰芬多队教练诚实的代价是什么？
通过对所有20个案例的研究，你可以证明斯莱特林最好的策略是“投”一场比赛，把最差的球员放在第一场，最好的放在第二场，第二个放在第三场。如果这样，它将以平均1.65比1.35的比分获胜。因此，对格兰芬多来说，诚实的代价是0.3场比赛。我想很多运动员直觉上都知道这一点。我的一个参加高级网球比赛的朋友说，如果球队能逃脱处罚，他们通常会把球员排在3-1-2的顺序。
如果有四名球员，斯莱特林的最佳顺序是4-1-2-3（同样，投一场比赛），按照这个顺序，他们平均将以2.34比1.66获胜。诚实的代价现在已经增长到0.68场比赛。如果有四名以上的球员，格兰芬多的情况会更糟。
对于作弊教练来说，最佳策略会随着球员数量的增加而略有变化。每队有三到六名球员，最好的策略是投一场比赛。但如果有七名球员，他应该投二游戏而不是一个。（最好的顺序是7-6-1-2-3-4-5。）如果有13名球员，他应该投三个。
这里的模式是什么？投掷游戏的最佳数量如何取决于玩家的数量？计算机无法回答这样的问题，而且可能永远无法回答。人脑可以，答案涉及一些美丽而古老的数学。
解决方案的关键在于这个数字三角形：
三角形向下无限延伸，它由一个简单的规则定义：在每对数字下面，你写下它们的和。例如，在底部一行的10和10的下面，写下它们的和，10+10=20。
这种数字的排列被称为帕斯卡三角形，以法国数学家布莱斯·帕斯卡的名字命名，他写了一本关于它的书1653年。三角形是其实早就发现了（pdf）由印度、中东、，和中文数学家，因为它有很多用途。例如，我怎么知道有20种方法可以从一支六人球队中选择三名球员？我只是查找了第六行中的第三个条目（将顶行计数为第0行，将每行中的左侧元素计数为第零个条目；请参阅下图进行说明）。
很明显，帕斯卡的三角形与作弊教练问题有着模糊的联系，但我对它提供的简单而深刻的答案完全没有准备。
…比赛前夕，斯莱特林的教练在夜幕的掩护下悄悄进入霍格沃茨数学系。墙上有一个神奇的无限长卷轴，上面有帕斯卡三角形的每一行。他向下滚动到某一行，复制了几个数字，并将它们加在一起。然后他离开了房间，脸上带着邪恶的微笑。
这是教练所做的。假设每个队有N名队员；现在，让我们使用7。然后，方法是在Pascal三角形中查找第2N行（在本例中为第14行），它的开头如下：1、14、91、364、1001、2002、3003、3432……行中的中心元素是3432。他将其他数字从左到右相加，直到得到大于3432的总数：1+14+91+364+1001+2002=3473>3432。他数了数总数：六。正确的投掷游戏数是球员数（七）减去他刚刚数过的数字（六）加一：7–6+1=2
老实说，我只是证明了如果球员人数超过1000万，这是正确的规则。这一证明涉及到一些棘手的问题，但在之前已知的大部分情况下，都是概率论的估计。霍华德在球员人数不超过60人时使用电脑进行验证。当然，这条规则也适用于6000万到1000万的中间范围，但我们可以借助拥有超级计算机的人的帮助来证实这一点。
处理霍华德的问题让我想起了一些我已经忘记的事情。自从我放弃数学职业并开始写作以来，已经过去了十五年多了。在这段时间里，我很少错过它；我记得大部分时间里，我都在为那些不肯让步、也不肯泄露秘密的问题工作，感到无穷无尽的沮丧。霍华德的问题不同。我花了一百多个小时在上面，从来没有感到疲倦，因为它不断向我提供线索，轻轻拍我的背说：“这个想法可能有用。”它让我想起了数学的乐趣。
我之前告诉过你数学的目的是洞察力，但我认为我撒谎了。更重要的是，我做数学的原因是追逐的兴奋和不确定性。应用计算机算法并没有什么乐趣，但解锁精细的发条机制却让一道好的数学题获得了乐趣。最后，你可能会学到一些世界上其他人都不知道的东西！
…哦，顺便说一句，我真的不相信诚实只是浪费了作弊的机会。我这么说只是为了达到效果。诚实。
达娜·麦肯齐（Dana Mackenzie）是加利福尼亚州圣克鲁斯（Santa Cruz）的自由数学和科学作家。他最近的一本书是零言宇宙：通过方程式讲述的数学故事普林斯顿大学出版社于2012年出版。
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