序列A005646号，分类N个元素

这个序列，斯隆的A005646号，计数称为“分类”或“分类”。

目录:
具体示例
 要求
 紧凑表示法
 计算序列
 归纳算法
 所有已知结果表N个和R（右）
与树图的关系
 脚注
 附录A：N个=7

这是正式的（而且相当简洁¹)韦克斯勒给出的定义[9]:

“‘分类’是一组n个特定类型它由一组二进制的并集自行关联分区，其中任何一个都不能省略，而不留下2种类型未分离。"

序列开始：1, 1, 1,三,6,26,122,1015,11847, 208914, 5236991, 184321511, ...

我是第一个计算208914、5236991和184321511项的人，最后一次在8核Nehalem工作站.

具体示例N个=4

你正在玩一个类似“20个问题”的游戏提出神秘物体是一种动物，而且是：A青蛙，一个熊，一个鸽子，或a蝙蝠。您需要设计一组“是”/“否”问题，用于找出它是动物。

以下是实现这一点的三组不同的问题：

青蛙熊鸽子蝙蝠

分类1
它是一只蝙蝠吗？          Y（Y）
它是一只鸽子吗？       Y（Y）
它是一只熊吗？    Y（Y）

第2类
它是一只蝙蝠吗？          Y（Y）
它是一只鸽子吗？       Y（Y）
它是哺乳动物吗？    Y（Y）    Y（Y）

分类3
它会飞吗？       Y（Y） Y（Y）
它是哺乳动物吗？    Y（Y）    Y（Y）

这些例子中的每一个都是不同的分类用于4项。

在每种情况下，一组问题足以区分在这四种可能性之间，没有一个问题是多余的。

第一个例子有三个问题，每个问题都给出了一个是的其中一项和否其他三个，或反之亦然（“单一消除问题”，因为唯一的答案是已消除通过提问）

第二个示例有一个问题，即是的对于其中的两个项目和否对于其他两个问题（“平均分裂”问题），加上两个问题，每个问题都是一个“单消问题”，其中一个被淘汰的项目来自第一个问题是的组，另一个来自第一个问题否组。

第三个例子使用了两个“偶数分裂”问题，正好一个项目是是的对两者都有好处。

任何符合这三种描述之一的问题都是4个项目的“分类”，用于序列A005646。你不需要使用最“高效”的一组问题（作为两个问题的例子），只要没有问题冗余。只有三种不同的方法可以做到这一点：三种四选一排除题，一个2-2拆分，两个排除题问题，甚至两次分裂。

每个问题都会给出一个是的回答一些项目和一否其他问题的答案是“二进制分区”，因为它将这些项目“划分”为两组。

要求，“分类”的定义

在这三个例子中，有一组问题可以明确区分所谈论的项目。此外，所有问题都是必要的-如果删除了任何问题这组问题中的其他问题是不够的。

等效分类

如果满足以下条件，则认为两种分类系统等效：

您可以重命名或重新排序项目，但前提是改变问题答案；

你重新安排问题；

你可以用任何方式改变一个问题所有问题的答案或给出相反答案的问题一切。

为了说明最后一点，以下三个问题是可互换（前提是我们将可能性限制为上述4只动物）：

它是一只熊吗？（原问题）

它有大爪子吗？（所有4项答案相同）

你能把它拿在手里吗？（所有4项的答案相反）

这是另一个例子。如果我们采用上述第三种分类将第二个问题改为“它会下蛋吗？”，我们得到这个：

青蛙熊鸽子蝙蝠

3-B类
它会飞吗？ Y（Y） Y（Y）
它会下蛋吗？ Y（Y） Y（Y）

这看起来像是一个不同的分类系统，因为模式属于Y（Y）的不同。然而，我们可以通过重新排列列：

熊青蛙蝙蝠鸽子

3-C类
它会飞吗？ Y（Y） Y（Y）
它会下蛋吗？ Y（Y） Y（Y）

限制：最小和最大问题数（分区）

很容易看出，当N个=2,但不适用于更高N个.

对于N个=3，你需要两个问题，这就足够了。

对于N个=4，如图所示，您可能需要2或3个问题取决于你如何选择它们。

对于N个=5，无论你做什么，两个问题都不够-你必须至少使用3个。然而，您可能需要4个问题（如果每个问题仅足以排除一种可能性）。

一般来说，很容易看出问题的数量必须至少为对数₂(P（P）)其中P（P）是N个或下一个更高的幂2时N个不是2的幂；问题的数量可能是多达N个-1.更确切地说：

天花板（原木₂(N个)) ≤R（右）≤N个-1

在这里天花板表示“天花板函数”，它返回下一个当其参数包含小数部分时，使用更高的整数。例如，什么时候N个=5，对数₂(N个)约为2.32，天花板（对数₂(N个))为3。将此与N个-1=4，我们得到3≤R（右）≤4，即数字第行（问题）是3或4。

紧凑表示法

由于特定的对象名称和问题文本是任意的可以用矩形网格识别每个分类系统N个列和R（右）行，其中R（右）是问题的数量（分区）。每个单元格为空或包含一个*；在内部这是分别表示为0或1。行和列很简单标有从0开始的数字。由于与计算算法最右边的一行是第0行。每个图案下面是作为一组十六进制数字的等效表示将每一行解释为二进制数。

一种分类一种分类对于N个=2:对于N个= 3 : 1 0 2 1 00 * 0 *(1) 1 *(12) 以下三种分类N个= 4 : 3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 00 * 0 * 0 * *1*1*1**2 * 2 * * (35)(124) (125)

（注意以下三种模式N个=4的*排列相同作为Y（Y）在最初的三个示例中在上面.)

以下6种分类N个= 5 : 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 4 3 2 1 00 * * 0 * 0 * *1 * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * *（35a）（16a）（359） 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 4 3 2 1 00 * 0 * 0 *1*1*1*2 * 2 * * 2 *3 * 3 * * 3 * *（1248）（125a）（1249） 26种分类N个= 6 :

三个三行： 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 00**0**0***1 * * 1 * * * 1 * * *2 * * * 2 * * * 2 * * *（3-c-15）（3-d-15）（7-b-15） 17个，共4行： 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 00 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * *1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * * *3 * * 3 * * 3 * * * 3 * * 3 * * * 3 * * *（3-5-9-11） 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 00 * * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 *1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * *3***3***3***3***3***3***3***3***（3-5-18-f）（1-3-c-14）（1-6-a-12）（1-6-a-14）（6-a-13）（1-6a-15） 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 *1 * * 1 * * * 1 * 1 * 1 *2 * * * 2 * * * 2 * * 2 * * 2 * * *3 * * * 3 * * * 3 * * 3 * * * 3 * * *（1-6-b-16）（1-7-b-13）（1-2-c-14）（1-2-15-15）（1-1-d-15） 6个，5行： 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 *1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 *2 * * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 *3 * * 3 * * 3 * * 3 * 3 * 3 *4 * * * 4 * * 4 * * * 4 * * 4 * * * 4 *（1-2-5-a-15）（1-2-4-9-12）（1-2-4-9-16）（1-2-4-8-11）（1-2-4-8-13）（1-2-4-8-10）

122个分类N个=给定7附录A中.

计算序列

要发现给定的分类数N个没有任何其他知识，我们会考虑所有可能的网格N个列和适当数量的行（从ceil（log₂N个)到N个-1，如上所述）。因为每个网格位置有两个可能的值，组合的数量增加得很快。例如，对于N个=6，4行，共2行^4×6= 2²⁴=16777216个可能的网格。

鉴于上述等效规则（参见“等效分类”（如上所述），网格数量可以减少一点：可以假设一列（比如最左边的）都是0（对应于提供以下内容的项目否所有问题的答案）-因为如果不是，你可以用一个问题替换一个或多个问题对任何事情都给出了相反的答案，从而得出了答案否在左栏中。

也可以只考虑其中每个网格模式行被视为二进制数，它比上面的行“大”。可以使用另一种排序类型，例如按有多少是的他们有答案，然后根据第一个的位置是的在行中。这样一个规范排序是可以接受，因为重新排列行不会影响网格被认为是“相同的分类”。

有效性标准

为了使网格成为有效的分类，必须满足以下标准满足：

每一列都与其他列不同。（该列代表一个项目所有问题的答案。如果有两列如果相同，那么这两个项目对所有的答案都是相同的问题，所以这组问题不足以区分在这两个项目之间。）

每一行都不同于其他行。（同样，两个相同行意味着有两个问题是等价的。每个问题必须是本质的.)

没有一行与另一行相同，所有值都更改为相反的值。（给出所有相反答案的问题也是等价的。）

更一般地说，每一行都必须本质的，如果删除了任何行，最终会有两个相同的列。（有可能有三个问题，其中没有两个是等价的，但任何一组两个都是等价的其他两个一组。这种情况是不允许的。所有分类由一组最少足够的问题组成，而不是更多。）

等效网格

在测试网格以确定其是否满足这些标准后，作业是仅部分完成。所有有效网格必须相互比较看看它们是否等价。如果可以更改，则栅格是等效的通过重新排序行、重新排序列用其“补码”替换一行或多行（中的相反值所有位置）。

以下是一些等效的模式对示例：

-组织公民2-组织公民36 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 *1 * * 1 * *2 * * * 2 * * *3 * * 3 * * * * *4 * * 4 * * * * *（1-3-7-18-28）（1-3-71F-2F）

要将第一个转换为第二个，请颠倒列的顺序6、5、4和3，然后翻转第3行和第4行中的位。

-oc3正典5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 00 * * 0 * *1 * * 1 * *2 * * * * 2 * *3 * * * * 3 * * * *（3-5-f-17）（3-5-18-f）

要将第一列转换为第二列，请移动列5、4和3，以便它们分别成为第4列、第3列和第5列，然后翻转位第2行。

规范订购

这是我使用的规范排序。要比较两种模式确定哪个在另一个之前。

如果列数不同，则列数较少的列优先。

否则（如果两个模式的列数相同）：

如果行数不同，则以行数较少的行为准。

否则（如果两种模式的列数和行数相同）：

从顶部和向下移动。找到第一个不同的位位置。模式用一个0位位置中的位是最先出现的模式。

否则（列和行的数量相同，最左边的列为相同）:

数一数1位（位值)每行的。查找位计数不同的第一行。模式该行中位数较低的模式排在第一位。

否则（列数和行数相同，最左边的列相同，并且行的位计数都相同）:

将每一行解释为最左边的二进制数0或1位作为最重要的位。查找值不同。该行中值较低的模式是首先出现的模式。

否则（满足上述所有条件，并且所有行都相同）

图案完全相同。

这可能看起来工作量很大，甚至有点多余（位在最左边的列涉及三次），但它允许下面报告了快速运行时间的高效实现。

实施基准

使用生成和测试所有可能网格的技术允许的最小优化有效性标准,的值N个=6到N个=8花费了以下时间在单线程运行的现代Intel处理器（Xeon Nehalem）上：

N个=6:26类。0.026秒

N个=7:122类。12.36秒

N个=8:1015分类。7小时

计算时间增长如此之快，因为增加网格数量。对于N个=8有2⁵⁶≈7.2×10¹⁶尺寸为8×7的网格需要考虑。对于N个=10格数为2⁹⁰≈1.2×10²⁷，但幸运的是有一些方法可以避免这种情况（下面讨论）。

归纳算法

如果给定的所有分类N个众所周知，这要容易得多找到下一个更高级别的分类N个。要看到这一点，请考虑以下建议：

提议.给出任何有效的分类N个列（项）和R（右）行（问题）：通过删除任何一列，并且可能还有一行现在是多余的，总是可以生产有效的分类N个-1个项目和R（右）行（如果只是列已删除），或的有效分类N个-1个项目和R（右）-1行（如果同时删除了列和行）。

讨论.让我们去掉N^第个列。还有N个-1列表示N个-1项，行表示答案R（右）这些人的问题N个-1项。自从那些R（右）问题足以将原始的N个项目，很明显，它们足以区分N个-现在保留1个项目。

删除一项（列）后，可能会有更多问题都是必需的。（如前所述早期的，这将永远是当N个-1=R（右）.）如果是这种情况，一组R（右）-1个问题是足够，以及所有R（右）-1个问题将至关重要。

断言：在R（右）行数超过所需数量，最多需要删除一行才能创建有效的分类。不能有两个多余的行（问题）。
证明：假设有两行或更多行需要删除。这意味着R（右）-两个问题足以区分在N个-1项。但我们首先假设起初的R（右）行和N个列表示有效的分类意味着所有R（右）需要原始行来区分N个项目。这意味着在区分N个-1个项目R（右）-你需要问两个问题二要区分的问题更多在该组成员之间N个-1个项目和单个新项目-但很明显，只需要一个问题就能做到这一点("问.是不是新项目？").
因此，假设R（右）-2行可以形成明确的分类不能为真。

由此证明了原来的命题。（对于类似的证明关于另一个“硬”计数问题，请参阅我的A181785页.)

由于N个项目产生的分类N个-通过删除列和可能的行来删除项，如下所示具有的所有有效分类N个可以通过反转流程：从所有分类开始N个-1项，按考虑所有可能的方法来添加N个^第个列以及可能还有一行。做完这件事之后，还必须洗牌以不同的方式对行和列进行比较，使用规范排序方法或其他一些技术，以避免计算等效值两次分类。

实际上，这种方法大大减少了需要测试。例如，从26个分类开始N个=6，此方法创建需要测试的33008个种子模式发现122个分类N个=7.讨论的算法早些时候需要考虑45971150个种子模式。

基准测量

使用此方法在现有N个，至创建N个+1个结果，意味着每个结果N个只能在中计算花费的时间略多于N个-在未优化的中为1版本在上面。我的尺寸是（再一次，在一个Intel Xeon处理器上的线程）：

N个=6:26类。0.013秒

N个=7:122类。0.235秒

N个=8:1015分类。15.5秒

N个=9:11847类。8小时

更好的是，该方法可以迭代应用，从非常小N个并不断提高N个一次一步。计算时间急剧下降N个=10倍以下原件的5%N个=8次：

N个=6:26类。0.010秒

N个=7:122类。0.153秒

N个=8:1015分类。2.14秒

N个=9:11847类。48.1秒

N个=10:208914类。22.3分钟

N个=11:5236991分类。14.9小时

对于较大的N个，将工作划分为多个处理线程以并行计算结果。每个螺纹执行整个计算，直到N个-1，然后仅派生的分类N个从这些结果的分数来看；的输出然后将线程合并在一起。在8芯上尼哈莱姆工作站，使用16个线程与所有速度相比，每种速度约为全时钟速度的2/3在上述时间中，我测量了这些时间：

N个=9:11847类。7.5秒

N个=10:208914类。2分59秒

N个=11:5236991分类。1小时46分钟

当然，将每个步骤并行化是有意义的，而不仅仅是最后。如果有16个线程，则N个-1个是计算了16次，这足以产生很大的差异在总时间中。以下是两个N个-1和N个步骤：

N个=9:11847类。5.8秒

N个=10:208914类。2分4秒

N个=11:5236991分类。1小时21.9分钟

每个已知结果表N个和R（右）

此表显示了按网格的高度和宽度（高度是每行的行数表示二进制分区或“问题”；宽度是列数，每个列表示集合中的一个项目分类）。右下角的空位尚不清楚。

请注意，对于N个=1，不需要任何问题来区分你在说什么，任何问题都是多余的-所以唯一可能的分类是带有0的空集分区(R（右）=0).

R（右）=0 R（右）=1 R（右）=2 R（右）=3 R（右）=4 R（右）=5 R（右）=6 R（右）=7 R（右）=8 R（右）=9 R（右）=10 R（右）=11
N个=1 1
N个=2 0 1
N个=3 0 0 1
N个=4 0 0 1 2
N个=5 0 0 0 三三
N个=6 0 0 0 三 17 6
N个=7 0 0 0 1 36 74 11
N个=8 0 0 0 1 60 573 358 23
N个=9 0 0 0 0 56 2802 7311 1631 47
N个=10 0 0 0 0 50 10087 107938 83170 7563 106
N个=11 0 0 0 0 27 26512 1186969 3121840 866657 34751 235
N个=12 0 0 0 0 19 55088 10072458 90152958 75307770 8571860 160807 551
N个=13 0 0 0 0 6 91984 A0055号 ⁷
N个=14 0 0 0 0 4 130267
N个=15 0 0 0 0 1 157662
N个=16 0 0 0 0 1 168890
N个=17 0 0 0 0 0 158658
N个=18 0 0 0 0 0 133576
N个=19 0 0 0 0 0 98804
N个=20 0 0 0 0 0 65664
N个=21 0 0 0 0 0 看见⁴
A34190型

我叫这张桌子富兰克林三角因为对它的兴趣首次表达⁶作者：Franklin T.Adams-Watersseqfan列表.

三角形每行中的数字之和是的分类N个例如，A005646[6]=26=3+17+6。

这个列总和形成新的序列A171873号:1, 1, 2,10, 280, 1173468, ...下一项大于220146725295227。此序列的增长速度比已经可以变形了304年.

与树图的关系

富兰克林三角形每行中最右边的项构成序列A000055号，计算未标记的自由（未根）树（已连接非循环）图：1, 1, 1, 2, 3, 6, 11, 23, 47, 106, 235, 551, 1301,3159, 7741, ...

下图说明了N个=2到N个=7.分类显示为行和列的网格；下一个每个网格对应一个图形。图形边对应于行（二进制分区或“问题”），每个节点是分类中的列（对象或“类型”）。每条边连接两个子图，以及相应的问题/划分类型的方式与该边划分图形的方式相同已删除。（删除边会将图形分为两个子图。）

N个= 2 : a b 00*b-----a(1) N个= 3 : a b c 100*b---a---c1 *(12) N个= 4 : a b c d a b c c d c0 * 0 2 1 0 * 1|1*d---b---a---c 1*b---a--d2 * * 2 * 2 0(125) (124) N个= 5 : a b c d e a b c c d e0*c 0*0*1*3|2 1*1*c2*b----a---d 2**d-b-a-c-e 2*|23*0|1 3**1 3 2 0 3**e--b--a--d（1248）e（125a）（1249）0 3 1 N个= 6 : a b c d e f a0*0*d 0*e1 * 1 * |2 1 * /12*f-d-b-a-c-e 2*f-c-a-b-e 2*f？c？a？b3 * * 0 2 4 3 1 3 * * 0 3 4 1 3 * * 0 3 4 \24***4**4***d（1-2-5-a-15）（1-2-4-9-12）（1-4-4-9-16） a b c d e f a0*c 0*d e 0*f边是1 * |3 1 * 2\ /1 1 * | 0,1,2,3,42*f-0-b-4-a-2-d 2*a-4-b 2*b---a-e（顺时针3*|1 3*3/\0 3*/\从顶部）4**e 4***c f 4*c d（1-2-4-8-11）（1-2-4-8-13）（1-2-4-8-10） N个= 7 :

一个b c d e f g0*0*1/0*f1*1*c1*1|2*f-d-b-a-c-e-g 2*4/2*c3**1 3 5 4 2 0 3**e---b---a 3**4|***4**2 5\3 4**e---a---b---d---g5***5***d 5***2 5 3 0（1-2-5-a-15-2a）（1-2-4-9-12-24）\0（1-2-4-2-9-12-29）克一个b c d e f g0 * 0 * 0 * 1*e 1*d 1*g d2 * /2 2 * 3| 2 2 * 0\ /33**g--d--b--a--c 3*g--c--a--b--e 3*c--a--b4 * * * 0 3 5 4 \1 4 * * 0 4 5 |1 4 * * * 1/ 4 5 \25****f 5****f 5****f（1-2-4-9-16-29）（1-2-4.8-11-2e）（1-4-8-13-2c） a b c d e f g0*d 0*e 0*4\/31 * 3| 1 * |2 1 * \ /2*g-0-c-4-a-5-b-1-f 2*g-O-c-4-a-5-b-1-f 2*g-0-b-5-a-2-e3 * |2 3 * 3| 3 * |14**e 4**d 4*f5 * * 5 * * * 5 * *(1-2-4-8-11-22) (1-2-4-8-11-26) (1-2-4-8-10-21) a b c d e f g a b c t e f g b c0*g c 0*5\/41 * 0\ 4| 1 * \ / 2*b-5-a-3-d 2*g-0-a-3-d3 * 1/ |2 3 * / \ 4*f e 4*1/\25***5*f e(1-2-4-8-10-23) (1-2-4-8-10-20)

树本身（没有标签）的清晰图像可以是看到在这里.注意这些标签是任意的，有时可以互换。（适用于例如，在第一个N个=5分类，图形看起来像加号，字母b条,c（c）,d日和e（电子）可以是任何顺序围绕圆圈，只要他们的标签三,2,1和0（分别）和他们一起去。）

一些模式^三可以看到：任何只有一个*的行对应于一端只有一个节点且树的其余部分连接在它的另一端。

一些更高级的模式：当树是星形图时，网格是单条对角线；当树没有分支时，网格是空三角形加上填充棋盘的等长三角形模式。

此连接的部分支持

假设我们有一个分类N个项目和R（右）=N个-1行。此行数为最大，因为这是此值可能需要的行数N个.

根据归纳原理（参见“归纳算法”描述我们知道可以删除一列和一行以获得最大分类N个-1项。然后我们可以删除另一个列和行以获得最大分类N个-2项，以及所以一直到1项0的空分类排。（实际上，这是我为绘制图表所做的工作上图中的每个网格）。

虽然上述内容支持分类之间的联系和树，它并不能证明一对一的存在通信。²

脚注

1 : 简洁的定义：这个定义是我在我开始了，并从中导出了所有用于生成这里给出的结果。定义虽然简洁，但很完整，准确、明确、公正仅仅足够容易理解。数学家花费了大量的时间和精力他们的沟通尽可能简短，以牺牲清晰度为代价。请参见穆纳福的数学第一定律.

2 : 树对应：2009年12月底，我请求帮助从这里开始seqfan系列几天之内Andrew Weimholt和Franklin T.Adams-Waters证明了这一点。

三：栅格图案：网格中的各种图案表示由网格行和列的顺序决定。本文中所有图中的网格都使用以下排列生成尽可能最低的二进制字符串c（c）₀第页₀c（c）₁第页₁…c_我第页_我其中c（c）_我的计数每行中的1位数和第页_我的是行他们自己。这是我的规范排序方案如上所述。其他一致的方案将产生其他类型的模式。

4 : A034190连接：对于5^第个三角形中的列，N个≥17，条款与中的最后16个术语A034190号（或该序列的前16项，以相反的顺序）。请注意4^第个列位于A034189号如果你喜欢图表理论上，你可能喜欢寻找同胚⁵在本文的主题以及A034189号,A034190号、和/或A039754号Andrew Weimholt解释道它是关于R（右）-维度的超立方体。

5 : 同胚：一个花哨的词（我故意这么说滥用）用于学术工作中的共同经历：告诉我怎么做解决一个复杂的问题，我会告诉你如何解决另一个实际上与第一个问题相同但似乎完全相同的问题因为我的行话和插图完全不同不同！这就是为什么OEIS公司是这样吗非常有用。

6 : 富兰克林三角：这是原始消息：

日期：2009年12月19日星期六07:33:26-0500发件人：“Franklin T.Adams-Waters”<frank。。。（在）…>主题：[seqfan]回复：A005646的延期收件人：seqfan@list.seqfan.eu[...]我还想看一个三角形，T（n，k）是使用k个二进制分区对n个对象进行分类。开始时间： 10 10 0 10 0 1 20 0 3 3（我想）0 0 0 3 17 6（来自Andrew的列表）富兰克林·T·亚当斯-沃特斯

将这个小三角形与当前版本.来自这些卑微的开端A000055号和A039754号猜测，以及其他一切。

第7页： A000055连接：请参阅这个部分.

工具书类

[8] P.J.Wexler，《关于分类法的数量》；或是赔率关于“结构主义”，美国人类学家 73（1971年），第1258页。

[9] P.J.Wexler和D.H.Fremlin多达七个分类的分类，分类社会公告 4（1979年第3期），第2-4页。

[10] 尼尔·J·A·斯隆和西蒙·普劳夫，百科全书整数序列的，学术出版社（1995），ISBN 0-12-558630-2。

[11] Franklin T.Adams-Waters，个人沟通，2009年12月。

[12] Andrew Weimholt，个人通信，2009年12月。

另请参见

我有几页关于类斐波那契序列,经典序列、和还有很多来自OEIS，我一直在努力。

另请参阅我的数字和大数字第页。

附录A：分类N个=7

以下是针对N个=7.它们按行数，如图中N=2到N=6所示在上面。有一个三行分类，36个有4行，74个有5排，11排6排。

122个分类N个= 7 :

一个有3行： 6 5 4 3 2 1 00 * * *1 * * *2 * * *（7-19-2a） 36个，共4行： 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00*0**0**0**0**0**0**1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * * * 1 * * *2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * *3 * * * 3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * *（1-6-18-2a）（3-5-18-28）（3-5-1a-2c）（3-c-15-31）（3-d-15-29）（3-d-32-17） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * *1 * * 1 * * 1 * * * 1 * * 1 * * * 1 * * *2***2***2***2***2***2***2***3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * *（1-6-19-2a）（3-5-18-29）（3-7-19-29）（3-4-15-32）（3-15-2a）（3-4-34-1b） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * *1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * * * 1 * * *2 * * * 2 * * 2 * * * 2 * * 2 * * * 2 * * *3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * *（1-6-1a-2a）（3-5-18-2a） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * *1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * * * 1 * * *2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * *3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * * 3 * * * 3 * * *（1-6-1a-2c）（3-5-19-29）（3-c-15-25）（3-c31-17）（3-d-15-38）（7-b-15-29） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * *1 * * * 1 * * 1 * * 1 * * * 1 * * * 1 * * *2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * *3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * *（1-7-1a-2a）（3-4-19-2a）（3-c-15-26）（3-15-25）（3-16-2c）（7-b-15-2a） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * 0 * * *1 * * * 1 * * 1 * * 1 * * * 1 * * * 1 * * *2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * * 2 * * *3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * *（1-e-16-2a）（3-5-1a-2a）（3-15-2a）（3-4-15-26）（3-1c-34）（7-b-31-1e） 74个，共5行： 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * *1*1**1*1**1**1**2 * 2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * 2 * *3 * * 3 * * * 3 * * 3 * * * 3 * * 3 * *4 * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * 4 * * *（1-2-4-18-28）（1-6-a-13-26）（1-2-c-14-38）（1-6b-16-29）（1-3-c-14-24）（3-5-9-12-25） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 * *2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2**3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * 3 * *4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * 4 * * * （1-2-4-18-29）（1-6-a-13-2c）（1-2-c-15-26）（1-6b-16-34）（1-3-c-14-28）（3-5-9-12-2c） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 * *2 * 2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * 2 * *3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * 3 * *4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * *（1-2-4-19-29）（1-6-a-13-31）（1-2-c-15-2a）（1-6b-19-29）（1-3-c-14-2c）（3-5-9-12-32） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 * *2 * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * *3***3***3***3***3***3***3***3***4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * *（1-2-4-19-2a）（1-6-a-14-23）（1-2-c-15-2c）（1-6-18-23-29）（1-3-c-14-38）（3-5-9-13-25） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * 2 * *3 * * 3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * *4 * * 4 * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * （1-2-5-18-28）（1-6-a-14-28）（1-2-c-15-31）（1-7-b-13-23）（1-3-c-1c-34）（3-5-9-13-2c） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * * 2 * *3 * * 3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * * 3 * * *4***4***4***4***4***4***4***4***（1-2-5-18-2a）（1-6-a-14-29）（1-2-c-1c-34）（1-7-b-13-2c）（1-3-1c-2c-34）（3-5-9-13-32） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * * 2 * * 2 * *3 * * * 3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * 3 * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * * 4 * * 4 * * *（1-2-5-1a-2a）（1-6-a-14-2a）（1-2-d-15-25）（1-7-b--34-17）（1-6-a-12-22）（3-5-a-14-2a） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * 2 * * 2 * *3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * 3 * * 3 * * *4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * 4 * * * 4 * * *（1-2-c-14-23）（1-6-a-15-2a）（1-2-d-15-2a 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * 2 * * 2 * *3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * 3 * * 3 * * *4 * * 4 * * * 4 * * * 4 * * 4 * * 4 * * * （1-2-c-14-24）（1-6-a-15-31）（1-2-d-15-38）（3-5-9-11-22）（1-6a-12-24）（3-5a-15-34） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * 2 * * 2 * * *3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * 3 * * 3 * * *4 * * * 4 * * * 4 * * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * *（1-2-c-14-25）（1-6-a-16-2a）（1-2-d-32-17）（3-5-9-11-23）（1-6a-12-25）（3-5b-15-2a） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * * 0 * 0 * *1 * 1 * * 1 * 1 * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * * 2 * * 2 * * 2 * * 3 * * 3 * * * 3 * * * 3 * * 3 * * 3 * * * 4 * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * 4 * * * *（1-2-c-14-28）（1-6-a-16-34）（1-2-1c-2c-34）（3-5-9-11-26）（1-6a-12-26）（3-5-18-38-f） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00*0*0*0**0*0**1 * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * * 1 * *2 * * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * * 2 * * * 3 * * 3 * * 3 * * 3 * * 3 * * 3 * * * *4 * * * 4 * * * * 4 * * * 4 * * 4 * * * 4 * * * *（1-2-c-14-29）（1-6-a-30-1e）（1-3-c-14-23）（3-5-9-12-24）（1-6-a-12-2c）（3-5-38-f-17） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 *1*1**2 * * 2 * *3 * * 3 * * *4 * * * 4 * * * *（1-2-c-14-2c）（1-6-a-31-1e） 11个，共6行： 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 00 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 *1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * *3 * 3 * 3 * 3 * * 3 * 3 * * 4 * 4 * * * 4 * 4 * * 4 * * 4 * * *5 * 5 * * * 5 * * * 5 * * * 5 * * * 5 * * * （1-2-4-8-10-20） 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 6 5 4 3 2 1 0 0*0*0*0*0*1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * * 3 * 3 * * 3 * 4 * 4 * * 4 * * 4 * * * 4 * * 5 * * 5 * * 5 * * 5 * * * 5 * * * (1-2-4-8-10-21) (1-2-4-9-12-24) (1-2-4-8-11-22) (1-2-4-9-16-29) (1-2-4-8-11-31)

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第30节