摘要

佐波夫(空隙边缘区域)是一种在一组点中发现密度凹陷的算法,没有任何自由参数,也没有关于形状的假设。它使用Voronoi细分来估计密度,它使用它来找到空洞和子空洞。它还测量了每个空洞或子空洞由泊松涨落引起的概率。本文描述了佐波夫算法,并将其结果应用于暗物质粒子在某一区域的千年模拟。此外,本文还指出了暗物质粒子密度概率分布中一个有趣的高密度峰值。

1简介

空隙是宇宙网的重要组成部分(Bond,Kofman&Pogosyan 1996年)宇宙中物质的几个Mpc尺度。从信息论的观点来看,它们是非线性状态下大规模结构有效描述的可能组成部分。空洞也为研究宇宙学和星系形成提供了有用的工具。空洞中的物质从其中心流走的方式保存着诸如物质密度Ω等宇宙学参数的信息暗能量密度ΩΛ(Dekel&Rees 1994年;伯纳德和范德韦格特1997;弗利奇和特里亚2006)以及暗能量的聚集,如果它存在的话(莫塔、肖和丝绸2008). 同时,测量空穴椭圆度的演化可以对暗能量状态方程给出约束条件(Lee&Park 2007年). 大空洞的存在被用来解释宇宙微波背景上的“冷点”(Rudnick,Brown&Williams 2007年),异常低的大角度CMB各向异性(井上丝绸2006)甚至宇宙表面上正在加速膨胀(例如。莫法特2006;Alexander等人,2007年;Célérier 2007年). 空洞也是研究星系形成和演化的相对原始的实验室,包含着宇宙中最孤立的星系。例如,皮布尔斯(2001)他指出,空洞中的星系似乎比宇宙模拟预测的要少。即使这与∧冷暗物质(∧CDM)宇宙学并不矛盾,它也包含了关于星系形成的宝贵信息。

尽管空洞有这些有用的特征,但它们目前并不是宇宙探测器的前沿。其中一个原因是,目前还没有对它们的标准定义。Aspen Amsterdam Void Finder比较项目(AAVFCPColberg等人,2008年)这是探索虚空定义的异同的第一步,但对于如何定义虚空还没有达成共识。在这里,我提出了接近于空洞的区域(佐波夫),一个空洞的发现者,我相信,他的特征足够吸引人,它代表了对共识的净贡献,而不是简单地添加另一个替代方案来与其他人和解。

许多空洞发现者将空洞定义为球体,或有限数量球体或其他形状的结合(例如。考夫曼和费尔尔1991;Müller等人,2000年;Hoyle&Vogeley 2002年;Colberg等人,2005年). 这个定义有一定的理论依据,因为在均匀背景下扩展的低密度区域随着时间的推移往往变得更球形(艾克1984). 而且,这个定义在几何上很简单。然而,真实的宇宙是由许多低密度区域组成的,这些区域相互碰撞,产生的空洞往往比球形的更多面体(例如。Icke&van de Weygaert 1987年),或者更一般的形状(Shandarin等人,2006年).佐波夫对空洞的形状,甚至拓扑结构没有偏见。其他一些找空者(例如。El Ad&Piran 1997年;Aikio&Mähönen 1998年;普利奥尼斯和巴兹拉科斯2002;Shandarin等人,2006年;Aragón-Calvo等人,2007年;Hahn等人,2007年;Platen,van de Weygaert&Jones 2007年版)也可以定义没有或只有弱规则的空洞形状。

佐波夫目的是在尽可能少的限制条件下从一组点中找到空洞。从概念上来说佐波夫空洞只是一个密度最小值,周围有一个凹陷。佐波夫没有可用参数。然而,当应用于噪声数据时,空洞发现的模糊性必须放在某个地方。没有自由参数可调,佐波夫返回许多(实际上,大部分)浅而几乎看不见的空洞。然而,佐波夫测量每个空隙的统计显著性。也可以用物理意义上的最小值秋千. 这是爱因斯坦-德西特模型(在∧CDM中只有稍有不同的密度)中的空洞的特征密度,使用顶帽球形膨胀模型获得(Blumenthal等人,1992年;Sheth&van de Weygaert 2004年). 对于在粒子分布中寻找空洞的抽象问题,这种返回所有可能的空洞的策略,甚至是统计上可疑的空洞(只要它们被标记为这样),似乎比任意选择自由参数更令人满意。但是,对于许多应用程序,实际使用佐波夫无效目录可能需要另一个武断的选择,关于接受无效的重要性的程度。另一个哲学上的差异佐波夫而大多数找空者都是这样佐波夫返回子空洞和空洞。

佐波夫是一个“几乎无参数”的暗物质光晕探测仪的反演,称为VOronoi束缚带(沃博兹;Neyrinck,Gnedin&Hamilton,2005年,以下简称NGH)。佐波夫它寻找的是密度最小值而不是最大值。事实上沃博兹佐波夫算法可能比光环查找更适合于空洞查找。这是因为该算法通常检测高度非球形的形状;为了得到大致球形的病毒化光环,沃博兹使用粒子速度用有界性准则修剪它们的边。在这一步中沃博兹失去了纯粹的参数自由。

也许现有的空洞发现者最相似于佐波夫是分水岭空虚的发现者(wvf公司;Platen等人,2007年). 两者都使用镶嵌技术来测量密度,并且都使用“分水岭”的概念,通过类似于密度场中的集水区来定义空隙。然而,wvf公司在定义空隙之前,使用数学形态学领域中的几种巧妙技术来平滑粒子密度,而佐波夫分析未平滑的原始数据。还有其他一些方法使用细分技术来查找簇(Ramella等人,2001年;Barkhouse等人,2006年;Melnyk,Elyiv&Vavilova 2006年;Söchting等人,2006年;van Breukelen等人,2006年)或空隙(盖特2005;Aragón-Calvo等人,2007年).

首先,我将讨论佐波夫算法,然后我将讨论其应用于暗物质粒子在一个区域的千年模拟(Springel等人,2005年). 其中一些结果出现在AAVFCP中,在那里它们也与其他空洞发现者的结果进行了比较。最后,我将讨论我觉得佐波夫,以及可以做些什么来改进它。

2方法

这个佐波夫算法与沃博兹(NGH)算法,除了它搜索密度最小值而不是最大值。

2.1颗粒密度和邻接测量

第一步是估计每个暗物质粒子的密度,使用什么夏普(2007)调用Voronoi细分字段估计器(vtfe公司). 密度估计的镶嵌方法在许多领域得到了广泛的应用。布朗1965;1978年作战需求文件;Bülow Olsen,Sackville Hamilton&Hutchings 1983年). 为这一课题提供了很好的参考Okabe等人(2000年); 看见van de Weygaert&Schaap(2008年)针对大型结构物的审查。这个vtfe公司(连同它的双重功能dtfe公司)可以说是最局部的可能密度估计,有意义的信息。Voronoi细分将空间划分为每个粒子周围的单元,其中单元围绕粒子定义为靠近粒子的空间区域比任何其他粒子。粒子的密度估计是1/(),其中()是粒子周围Voronoi细胞的体积. Voronoi细分还为每个粒子提供了一个自然的邻域集(细胞相邻的粒子集)的手机),哪个佐波夫用于下一步。

图1(a)显示了一组二维粒子,对应于千年模拟中的星系。图1(b)描述了这组粒子的Voronoi细分,Voronoi单元按区域着色。

图1

(a) 星系(Croton等人,2005年,下至B=10) 从40×40×5(h1货币政策委员会)AAVFCP区域的切片。外边界是45h1Mpc广场。这个切片的大小与图中暗物质的大小相同图6,但在中心40的边缘h1Mpc立方体,不在中心。之所以选择它,是因为图中的空隙不太清晰,因此结构更丰富(b) 在这张切片中,星系的二维Voronoi细分图,每个粒子的Voronoi单元根据其面积进行着色。内部外的星系(40h1显示Mpc)边界是因为它们有助于细分(c) 星系带。每个区域的岩芯(密度最小值)用十字表示;不同的颜色只是划分了不同的区域(d) 孔隙1的生长,样品中最深的空隙。与水箱类似,水位(密度)增加,水流进入的区域被添加到空隙中。从暗到亮的颜色表示区域添加到空白的阶段。最暗的颜色是原始区域,下一个最暗的区域是添加的第一个区域或一组区域,等等。唯一从未包含的区域是与另一个区域连接的密度最高的区域,位于右下角。每个区域添加事件导致并非由泊松噪声引起的空隙的概率的度量如所示图4.

图1

(a) 星系(Croton等人,2005年,下至B=10) 从40×40×5(h1货币政策委员会)AAVFCP区域的切片。外边界是45h1Mpc广场。这个切片的大小与图中暗物质的大小相同图6,但在中心40的边缘h1Mpc立方体,不在中心。之所以选择它,是因为图中的空隙不太清晰,因此结构更丰富(b) 在这张切片中,星系的二维Voronoi细分图,每个粒子的Voronoi单元根据其面积进行着色。内部外的星系(40h1显示Mpc)边界是因为它们有助于细分(c) 星系带。每个区域的岩芯(密度最小值)用十字表示;不同的颜色只是划分了不同的区域(d) 孔隙1的生长,样品中最深的空隙。与水箱类似,水位(密度)增加,水流进入的区域被添加到空隙中。从暗到亮的颜色表示区域添加到空白的阶段。最暗的颜色是原始区域,下一个最暗的区域是添加的第一个区域或一组区域,等等。唯一从未包含的区域是与另一个区域连接的密度最高的区域,位于右下角。每个区域添加事件导致并非由泊松噪声引起的空隙的概率的度量如所示图4.

2.2分区

第二步佐波夫是指在每个密度最小值周围将粒子集划分为多个区域。这样做一方面是为了提高计算速度,另一方面是为了压缩数据集中的信息。最小值是一个密度比它的任何Voronoi邻居都低的粒子。佐波夫将每个粒子发送到其密度最低的邻居,重复此过程,直到达到最小值。最低要求是一组向下流动的粒子,一个区域的核心是该区域的最小密度粒子。图1(c)展示如何佐波夫将前面面板中的粒子划分为区域。这些区域可以被称为空洞。但是,由于离散噪声,许多区域都是虚假的,而其他区域仅仅是肉眼识别出的空洞的中心部分。因此,有必要将一些区域连接在一起以形成最终的空隙。

2.3从区域到空隙

分区按如下方式连接。设想水箱中的二维密度场(以高度表示)(参见Platen等人,2007年). 对于每个区域z,水位设置为z的最小密度,然后逐渐升高。水可能会沿着连接沃罗诺邻近地区的线路流入相邻区域,将其添加到无效在区域周围定义z. 当水流入更深的区域(最小值低于z,或者如果z是当水淹没整个田地时最深的空隙。对应于z被定义为在发生这种情况之前含有水的区域的集合。

原始区域的最小密度(核心)粒子也是区域空隙的最小密度粒子。许多低显著性区域在它们试图生长的过程中未能将周围的区域合并起来;在这种情况下,一个区域有一个与其本身相等的空白。水流入更深区域的密度(水位)记录为ρ(z) (代表“链接”到更深的区域)。

图1(d)显示了粒子组中最深的空隙所经历的生长阶段。当密度水平连续达到更高的水平时,相继添加浅色阴影区。因为这是最深的空洞,所以它的最后一个范围包含了整个模拟,除了图右下角的密度最高的粒子将其与其他区域分开的区域,这并不意味着没有检测到其他空洞;它们是最大的子空洞。然而,为了形成更符合直觉的空洞,可以使用进一步的标准来阻止包含多个区域的空洞的增长。在讨论了空洞的统计意义之后,我将回到这个问题,这将有助于定义它们的边缘。

这种定义空洞的方法会导致令人惊讶的空洞拓扑和形状。例如,如果一组粒子由一个由低、均匀密度背景包围的团块组成,则除该团块外的所有内容都将被检测为空。而且,即使是一个低密度颗粒沿着两个明显的空隙之间的墙壁也可能导致佐波夫不是单独检测,而是检测一个单一的哑铃状空洞。然而,许多(大约16个)粒子直接参与每个粒子的密度估计。因此,在空隙之间的墙壁上出现这样一个洞,必须是许多粒子的合谋,而且看起来也很像一个肉眼可见的大洞。佐波夫在隐式假设下工作,即离散噪声与泊松密度采样中的噪声相似,并且佐波夫如果粒子被精心安排来愚弄它,可能会产生令人惊讶的结果。

2.4空隙率的统计意义

一个空洞的可能性是真的是根据它的密度对比度,即比率来判断的r()ρ的(),脊上的最小密度粒子,其上方是更深的空隙,到最小密度,ρ最小. 这并不是唯一可以想象的判断虚无意义的方法。但它很简单,它返回的概率与目测结果大致一致。

密度对比r通过比较泊松粒子分布,将其转换为概率。Voronoi图应用于Poisson抽样均匀密度分布的若干统计性质已被很好地理解。例如,Voronoi细胞体积的分布很好地近似于伽马分布(浙江1966)以及Voronoi邻域的平均数(48π2/35+215.54)甚至在分析上是已知的(Okabe等人,2000年). 不幸的是,在Poisson-Voronoi图中密度凹陷的对比度分布是未知的。由于每个凹陷都有未知数量的粒子,它们的估计密度以一种复杂的方式相互依赖,所以很难通过分析或已知的结果来建模。因此,为了佐波夫,这一分布是用蒙特卡罗方法从泊松抽样测量的。

让累积概率P(r)密度对比度大于r.图2显示P(r)作为…的函数r对于两个三次泊松模拟(假设周期性边界条件),128和256粒子。它还显示了以下适合于P(r):
1
这个P(r)给出了一个与密度对比的空洞的可能性的估计r可能是由泊松噪声引起的,也就是说,它是假的。表1显示了与前七个“σs”(类似于高斯分布)对应的密度对比度,使用此拟合计算。可以大致相信适合r=3,超过这个值就没有泊松数据。在NGH中,我们发现在4和7σ水平之间的某个点上,晕的相似显著性度量似乎失去了意义。也就是说,7σ晕并不明显比4σ晕更坚固。
图2

累积概率函数P(r)比例的r()在一个区域的最低密度和水会泄漏到一个更深的相邻区域的密度之间。实线和虚线显示P(r)对于均匀密度泊松过程,使用256和128粒子。随着粒子数的增加,曲线具有相同的形状。虚线表示拟合方程(1). 点虚线曲线显示P(r)对于AAVFCP分析区域内的空隙。

图2

累积概率函数P(r)比例的r()在一个区域的最低密度和水会泄漏到一个更深的相邻区域的密度之间。实线和虚线显示P(r)使用均匀密度的256泊松过程和128粒子。随着粒子数的增加,曲线具有相同的形状。虚线表示拟合方程(1). 点虚线曲线显示P(r)对于AAVFCP分析区域内的空隙。

表1

不同密度对比下的孔隙丰度r在泊松粒子模拟和AAVFCP区域。与高斯分布类似,前两列列出了对应于不同σs的概率水平。第三纵队(r)使密度与丰度形成对比P(r)在泊松模拟中,使用方程(1). 第四列给出了超过密度对比的空隙数r在40年代h1Mpc AAVFCP地区。最后一列添加了约束条件,即孔隙的最小密度ρ最小<0.2,以平均密度为单位。最后两列显示在图8.

σ P(rr 空隙空隙率(ρ最小<0.2)
0119308号5543个
10.3171.22条2362个1722年
4.55×102 1.57个525个502个
2.70×10 2.00美元164个163
6.33×105 2.45秒64岁64岁
5.73×107 2.89个29岁29岁
1.97×109 3.3条十三十三
72.56×1012 3.7款
σ P(rr 空隙空隙率(ρ最小<0.2)
0119308号5543个
10.3171.22条2362个1722年
4.55×102 1.57个525个502个
2.70×10 2.00美元164个163
6.33×105 2.45秒64岁64岁
5.73×107 2.89个29岁29岁
1.97×109 3.3条十三十三
72.56×1012 3.7款
表1

不同密度对比下的孔隙丰度r在泊松粒子模拟和AAVFCP区域。与高斯分布类似,前两列列出了对应于不同σs的概率水平。第三纵队(r)使密度与丰度形成对比P(r)在模拟中计算方程(1). 第四列给出了超过密度对比的空隙数r在40年代h1Mpc AAVFCP地区。最后一列添加了约束条件,即孔隙的最小密度ρ最小<0.2,以平均密度为单位。最后两列显示在图8.

σ P(rr 空隙空隙率(ρ最小<0.2)
0119308号5543个
10.3171.22条2362个1722年
4.55×102 1.57个525个502个
2.70×10 2.00美元164个163
6.33×105 2.45秒64岁64岁
5.73×107 2.89个29岁29岁
1.97×109 3.3条十三十三
72.56×1012 3.7款
σ P(rr 空隙空隙率(ρ最小<0.2)
0119308号5543个
10.3171.22条2362个1722年
4.55×102 1.57个525个502个
2.70×10 2.00美元164个163
6.33×105 2.45秒64岁64岁
5.73×107 2.89个29岁29岁
1.97×109 3.3条十三十三
72.56×1012 3.7款

图2还显示了密度对比度的累积分布r对于一个千年模拟区域,在第3节; 中列出了此区域的结果表1,以及。可能,在这个数据集中停止接受空洞为真实的地方应该是r在曲线交叉点下方r1.5条。然而,这发生在2σ水平,这似乎相当低。

在256年-粒子泊松模拟,佐波夫检测到335025个空洞;因此,一个区域中的平均粒子数为50.1。这也意味着每50.1个粒子中就有一个是最小密度。然而,由于孔隙可能由许多区域组成,因此孔隙中的平均粒子数大于50.1。

的二维版本方程(1)
2
这个拟合是基于一个相当小的2562均匀分布的泊松粒子。它只延伸到P(r) 10(约3σ)。这种配合r=1.44、2.19、3.3、4.7、7、9和11,对于1–7σ的显著性水平。

除了统计概率准则外,还有一个简单的物理准则可以使用。与经历球形膨胀的顶帽空洞相关的自然暗物质密度为ρ无效红移0.2(下文中,假设密度以平均密度为单位)。因为星系和暗物质的密度一般不同,这个标准可能不适合用于星系。这可以被纳入显著性度量,例如,将空洞在统计上是假的概率乘以得到其核心粒子(最小)密度ρ的概率最小在密度为0.2的Poisson-Voronoi图中。但是,在AAVFCP示例中,所有佐波夫3σ水平有芯密度ρ最小<0.2(参见图8). 还有,ρ最小<0.2是非常明显的;接近ρ的空隙很少最小=0.2。所以,在ρ处有一个简单的截止点最小=0.2可以作为物理标准,如果只使用较大的显著空隙,则为多余。

图8

顶面板:用于佐波夫40分钟的空隙h1最小密度ρ的散点图最小以及密度对比r(ρ的比值,空隙与较深空隙合并时的密度,以及ρ最小). 这张图显示了两个种群,一个满足“物理”显著性标准,秋千,另一个没有。高密度总体仅包含一个大于3σ的空洞,而3765个泊松空洞中预计有10个。底部面板:AAVFCP区域粒子密度的概率密度函数(PDF)。黑色虚线曲线显示了完整60个粒子的PDFh1Mpc箱;蓝色虚线仅使用内部40中的粒子h1Mpc信箱。内盒每单位体积的光晕较少;这就解释了内盒内的低密度峰和高低密度峰。实心绿色曲线显示了空隙最小密度粒子的PDF。使用完整粒子集的PDF中的峰值(例如蓝色虚线曲线)似乎在密度稍小的情况下给出了空洞核心粒子密度PDF中更尖锐的峰值(绿色曲线)。

图8

顶面板:用于佐波夫40分钟的空隙h1最小密度ρ的散点图最小以及密度对比rρ,空隙与较深空隙合并时的密度,以及ρ最小). 这张图显示了两个种群,一个满足“物理”显著性标准,秋千,另一个没有。高密度总体仅包含一个大于3σ的空洞,而3765个泊松空洞中预计有10个。底部面板:AAVFCP区域粒子密度的概率密度函数(PDF)。黑色虚线曲线显示了完整60个粒子的PDFh1Mpc箱;蓝色虚线仅使用内部40中的粒子h1Mpc信箱。内盒每单位体积的光晕较少;这就解释了内盒内的低密度峰和高低密度峰。实心绿色曲线显示了空隙最小密度粒子的PDF。使用完整粒子集的PDF中的峰值(例如蓝色虚线曲线)似乎在密度稍小的情况下给出了空洞核心粒子密度PDF中更尖锐的峰值(绿色曲线)。

2.5定义空心边

如上所述,最深的佐波夫一组粒子中的空隙将包含所有区域,除了具有将其与其他区域隔开的最高密度脊的区域。有(至少)三种方法来处理这种情况。

第一个选择是不做任何进一步的事情。原始的佐波夫结果将由一个大的空洞组成,其中几个亚孔隙(和亚孔隙等)的显著性水平不同。一个分区可以属于多个空洞和子空洞。这个选择可能在其简单性上很有吸引力,并且非常适合于宇宙中空洞被认为具有的物理层次结构(Dubinski等人,1993年;Sheth&van de Weygaert 2004年;Furlanetto和Piran 2006). 然而,以下两个选项可能会产生更实际可用的空洞集。

2.5.1条指定显著性水平

第二种选择是从母孔隙中剔除超过特定显著性水平(如5σ)的子孔隙。如果一个子空洞从一个空洞中移除,那么在与该子空洞相同的吸积事件中或在随后的吸积事件中与母空洞相连的所有区域也将被移除。如果需要不相交的空隙,这是一个自然的选择,这是传统的情况。

图3(a)显示此过程的结果,应用于中的粒子集图1,使用2σ阈值r=2.19。根据方程式(2)空隙1和2在4σ水平显著,空隙3和4在3和2σ水平显著。最暗的区域属于2σ以上的无空洞。

图3

两种检测高度显著空洞边缘的策略,适用于图1. 在(a)中,在中讨论第2.5.1条,用户选择一个显著性水平,在这个水平上接受一个空值(这里是2σ)。超过此阈值的空洞在遇到另一个超过此阈值的空洞时停止增长。最暗区域的粒子属于2σ以上的无空穴。在(b)中,在中讨论第2.5.2条,找到了每个空隙的最可能范围。区域根据其重要性进行着色。4σ孔隙最深的区域最轻;包含在3、2和1σ孔隙中的区域颜色越来越暗。最暗区域的粒子属于1σ以上的无空穴。阴影区域为1σ亚空洞。

图3

对于两个重要的粒子集,采用了两种有效的检测策略图1. 在(a)中,在中讨论第2.5.1条,用户选择一个显著性水平,在这个水平上接受一个空值(这里是2σ)。超过此阈值的空洞在遇到另一个超过此阈值的空洞时停止增长。最暗区域的粒子属于2σ以上的无空穴。在(b)中,在中讨论第2.5.2条,找到了每个空隙的最可能范围。区域根据其重要性进行着色。4σ孔隙最深的区域最轻;包含在3、2和1σ孔隙中的区域颜色越来越暗。最暗区域的粒子属于1σ以上的无空穴。阴影区域为1σ亚空洞。

2.5.2款确定最可能的空隙范围

第三种选择是使用空隙和子孔隙的密度对比来定义最可能的空隙范围。假设一个区域z有一系列范围,. 例如,图1(d)显示该粒子集中“空心1”的各种可能范围。

在每个区域添加事件中,定义一个重要性S. 零区加法的意义S0P[r(z)],区域概率z的密度对比r(z)产生于泊松粒子分布。注意密度比r(z) =ρ(z)/ρ最小(z)以及r() =ρ()/ρ最小(z)可能不同。ρ()脊状颗粒间的最小密度z到更深的区域(可能有一条路径穿过其他区域),而ρ(z)脊状颗粒间的最小密度z任何邻近的区域。

th区域添加事件{z+1个,j}(0z),并调用要在中添加的区域集(+1)st区域添加事件Z+1={z+1个,j}. 判断(+1)st加法,比较所有的区域Z+1他们的结合很可能是伪造的,+1=+Z+1,是假的。鉴于S,定义S+1作为
在这里,r() =ρ()/ρ最小(z),式中ρ()是指脊上颗粒间的最小密度从未来的新区Z+1. 如果新区域设置Z由其他整个空隙(即区域集)和子空隙组成,只有空隙,而不是子空隙,在分母中输入乘积。

例如,区域3图1(c),以及它下面和左边的两个相邻区域(称为3′和3〃),被一个微不足道的(低于1σ)密度脊隔开,在原始粒子集中肉眼无法检测到。三者都是假的(分别由泊松噪声引起)的概率是P[r(3) ]P[r(3′)]P[r(3〃)]=P(1.28)P(1.11)P(1.06)=0.30,使用方程式(2). 他们的结合是假的可能性是P[r(3+3′+3〃)]=P(3.57)=0.0013。由于后者更为罕见,所以从统计上讲,工会是受欢迎的。S符号,这些概率的标准化是不同的;为了得到这一段中的表达式,用方程(3).

图4显示了中三个大孔隙的各种可能范围的重要性图1. 它显示了当添加第一组分区时,空洞3中的第一个倾斜可能是虚假的,如前一段所述。第二次(也是最后一次)预期增加,在遇到更深区域之前的最后一次,给出了空洞3曲线的上升。因此,最后一个加法在统计学上不受欢迎。然而,使用第2.5.1条,此额外区域包含在区域3中。

图4

三个空洞不同程度的意义图1它包含的不仅仅是它们的中心区域。这些曲线的最小值范围如所示图3(b),但void 1除外。对于void 1,范围显示在图3(b)有很多附加功能=3,曲线的最小值,不包括高-向高密度区域倾斜。

图4

三个空洞不同程度的意义图1它包含的不仅仅是它们的中心区域。这些曲线的最小值范围如所示图3(b),但void 1除外。对于void 1,范围显示在图3(b)有很多附加功能=3,曲线的最小值,不包括高-向高密度区域倾斜。

空隙1,最深的空隙,有最长的曲线图4. 在第三次增加分区后,它的假象概率达到局部最小值。根据直觉,曲线会再次增大,但当图形中最密集的区域最终被包括在内时,密度对比度急剧增大,使曲线急剧下降。佐波夫正在检测除右下角密集点以外的所有内容作为高度显著的空白。为了防止空隙成长为光环,可以设置区域之间连接的密度限制。对于暗物质,这个极限的自然值是ρ,最大值=0.2。或者,你可以简单地接受最低的最小值,然后在终点向下倾斜。

图3(b)显示最有可能佐波夫二维粒子集的空心范围。区域根据其显著性级别进行着色。最深的4σ孔隙(用三个区域叠加事件定义)中的区域最轻;包含在3、2和1σ孔隙中的区域颜色越来越暗。最暗区域的粒子属于1σ以上的无空穴。阴影区是大孔隙中的1σ亚孔隙。所有区域实际上都是亚孔隙,但大多数都没有通过1σ水平。

2.6选择函数、边界和孔

观测效应使佐波夫对真实的数据,例如来自星系红移的调查。本节包含了一些关于如何处理这些影响的推测。

佐波夫可自然适应随位置变化的选择函数,φ(). 我们需要做的就是把每个粒子/星系的密度除以按φ() (van de Weygaert&Schaap 2008年). 对于空洞发现,密度用dtfe公司(在粒子之间定义)通常比什么更好佐波夫用途vtfe公司(在粒子处定义)。但是,变量选择函数更适合于使用vtfe公司.

佐波夫是为周期性模拟而设计的,但可以处理其他边界情况。如果对一组孤立的粒子进行分析而不做任何修改,佐波夫仍然可以正确确定每个粒子的邻接。然而,边缘上的粒子可能具有任意大的Voronoi体积,因此在边缘会出现许多伪密度极小值。防止这种情况的一个简单方法是将所有边粒子的密度设置为比内部任何密度都高的值。另一种方法是在数据集周围的平均密度处添加粒子缓冲区。这将抑制边缘效应的密度估计粒子略低于表面,以及。然而,在这其中有一些模糊之处。

对于佐波夫. 处理这个问题的一个简单方法可能是将粒子放入孔中,在孔内以平均密度进行泊松采样。密度也可以在相邻粒子之间插值,也许是一个迭代过程。或者,也许最理想的情况是,可以通过一个有限的实现来估计(贝辛格1987;霍夫曼和里巴克1991;Zaroubi等人,1995年;van de Weygaert&Bertschinger 1996年). 对于任何类型的泊松孔填充,最好尝试几种实现方法。

结果

在这里,我将讨论佐波夫从立方体60到暗物质粒子h1一侧的Mpc(以下简称“完整立方体”)取自Millennium模拟。这些方面的结果是内部40h1Mpc立方体(以下简称“内部立方体”)可以在AAVFCP论文中找到,并与其他空洞发现者进行直接比较。为了减少对边界条件的依赖性,在AAVFCP中只分析了内部立方体中具有核心(最小密度粒子)的空洞。

佐波夫是为周期性模拟而设计的。对于非周期性的AAVFCP立方体,在整个立方体的每个面上都添加了一个平均密度的正方形粒子晶格,与内部立方体(实际分析结果的地方)相当远。

佐波夫在AAVFCP区域检测到的空洞比其他任何空洞探测仪都多出几个数量级。这是因为许多低显著性空洞,和亚空洞,它检测到;看见表1,和图8. 5σ空洞的数量(29)是其他空洞发现者检测到的空洞数量的典型值。

图56显示最大的,最重要的,佐波夫在内部AAVFCP立方体中具有核心粒子的空洞。实际上在整个立方体中有一个更深的空隙,但它的最小密度粒子在外缘,这可能是用于细分的边界条件的伪制品。正是这个空洞,而不是图中所示的空洞,几乎涵盖了整个体积,是最重要的佐波夫void通常是这样。

图5

甲5h1Mpc宽切穿内40h1为AAVFCP分析Mpc立方体。这张图和下面的图是用尼克·格尼丁的ifrit公司软件,可从http://home.fnal.gov/~gnedin/IFRIT公司/.

图5

甲5h1Mpc宽切穿内40h1为AAVFCP分析Mpc立方体。这张图和下面的图是用尼克·格尼丁的ifrit公司软件,可从http://home.fnal.gov/~gnedin/IFRIT公司/.

图6

最大、最重要的空白沃博兹找到了里面的40h1Mpc AAVFCP立方体。绿色,弥漫的粒子在空隙中;黑色粒子不是。小点(红点)在核心是最小的密度。顶部面板显示的是完全空白。底部面板显示如中所述的截断空心第2.5.1条,使用5σ的显著性水平;与中所述的最可能的空隙范围相同第2.5.2条,如果“更陡”适合图7,方程(4),已使用。

图6

最大、最重要的空白沃博兹找到了里面的40h1Mpc AAVFCP立方体。绿色,弥漫的粒子在空隙中;黑色粒子不是。大的红点是空隙中的核心(最小密度)粒子。顶部面板显示的是完全空白。底部面板显示如中所述的截断空心第2.5.1条,使用5σ的显著性水平;与中所述的最可能的空隙范围相同第2.5.2条,如果“更陡”适合图7,方程(4),已使用。

底部面板图6显示顶部面板中的空心,截断方式如中所示第2.5.1条,概率阈值为5σ。它也是最有可能的空隙范围,如中所述第2.5.2条,还有一个警告。图7显示了这个空洞的程度-显著性曲线,使用两种不同的密度对比与概率拟合。实心曲线使用原始拟合,方程(1),用于P(r)在方程(3). 该曲线的最小值(显示最可能的范围)为=2,在中心区域周围有一个很小的区域。有两种解释解释佐波夫而人眼发现:仅密度对比是一个不充分的量词的空白意义(由人眼判断);或者说,与虚无假象的概率相吻合方程(1)在高处是不准确的r.

图7

中所示的空隙的可能空隙范围的意义图6. 最可能的范围(曲线上的最小值)为=2使用初始拟合度函数,方程(1). 达到最低=200(范围显示在图6),一种更陡的配合,比如方程(4)必须使用。用于图2太小了,无法探测泊松模拟中的丰度佐波夫与此空洞一样具有高密度对比度的空洞。

图7

中所示的空隙的可能空隙范围的意义图6. 最可能的范围(曲线上的最小值)为=2使用初始拟合度函数,方程(1). 达到最低=200(范围显示在图6)更陡峭的方程(4)必须使用。用于图2太小了,无法探测泊松模拟中的丰度佐波夫与此空洞一样具有高密度对比度的空洞。

甚至使用方程(1),曲线在=200;此时的空隙范围如所示图6. 为了将这作为最有可能的程度返回,无效伪造的概率必须大幅降低一个因子e351r=4.5(密度对比度达到=200)。一种更陡峭的拟合方法是
4
用于虚线的拟合。不幸的是,泊松模拟用于图2不足以测试这种罕见的高密度对比的可能性。

3.1拉格朗日密度分布

顶部面板图8是密度对比的散点图r与核心(最小)密度ρ最小,用于AAVFCP区域的空隙。有两组点:一组是ρ最小<0.2,关于∧CDM中孔隙的自然密度,以及在高密度下的秒,ρ最小102.5. 起初,高密度组可能令人惊讶,但所有这些空洞都有低密度对比。其中只有一个勉强通过3σ水平,甚至少于3765个样本中3σ对象的预期数量(10);这是用ρ表示的空隙数最小>0.2。以上所有高度显著的空隙密度对比中的3σ与ρ也有物理意义最小<0.2。这为这两个重要指标提供了可信度。

顶部面板中的高密度集群图8似乎与ρ处的高密度峰值有关102.5在概率分布中P(ρ) 粒子密度,如下图所示。该峰值约为病毒化的基准密度ρ病毒200,所以这个峰值的粒子通常位于塌陷的结构中。高密度峰值P(ρ) 在内部立方体中比在整个立方体中更小,反之亦然,在ρ处的低密度峰值1.这是有道理的,因为光环在内部立方体中很少见,大部分都被一个巨大的空隙所占据。

这个P(ρ) 是欧拉细胞计数(CIC)统计的拉格朗日版本P中投公司(N,)(例如。Szapudi,Meiksin&Nichol 1996年),它测量粒子数的分布N在体积固定的网格单元中. 粗略地说,P(ρ) ρP中投公司(N,),因为,例如,每个包含三个粒子的单元将被计算一次P中投公司(N=3,)但是三次P(ρ=N/). CIC测量没有高密度峰值,但它们通常有一个显著的高密度尾部,当乘以ρ(或N),可能会产生峰值。这将是有趣的,但超出了本文的范围,建模这个高密度峰值在P(ρ) 例如,使用光环模型。

4讨论

佐波夫有一些独特的,吸引人的特征,我相信当宇宙学家发展出一个标准的空洞定义时,这些特征是值得记住的。这些特性如下。

  • 参数独立性。空洞的集合佐波夫一组粒子的返回值不依赖于参数,这是基于空洞的一个简单定义:密度最小值周围的凹陷。然而,“抑郁”这个词也有点模糊;它的定义佐波夫基本上是第2节. 从某种意义上说,这些实现选择是参数。

  • 空隙率的统计显著性测量。找空不是一个明确的任务,所以佐波夫不返回一组明确的结果。相反,在密度的基础上,每一个空洞的发生概率,都是以概率为基础的。因此,我相信,这种方法在哲学上是令人满意的,但它返回的原始结果不一定是直接分析的。为了得到一组不相交的空洞,我们可以设置一个显著性水平,在这个水平上可以相信一个空洞是真实的。或者,佐波夫有一种机制来确定最可能的空隙范围。有一些方法可以分析原始的,无参数的佐波夫结果也一样。例如,一个空洞概率函数的测量可以包括所有的空洞,但是根据它们的真实概率来衡量它们的权重。佐波夫并不是唯一一个采用统计显著性检验(例如。考夫曼和费尔尔1991).

  • 分层空隙。就像光环包含子卤素一样,空洞也包含子空洞。佐波夫很自然地适应了这个事实,检测到了亚孔隙以及空洞。同样,空洞的层次结构不适合使用传统方法进行直接分析,但是可以设计出利用这种层次信息的方法。

还有一些领域可以从进一步的研究或改进中受益。

  • 使用(对偶)Delaunay代替Voronoi细分进行密度估计。这个dtfe公司vtfe公司(分别基于这两个细分)从一组粒子中给出自然密度估计(Schaap和van de Weygaert 2000年;Pelupessy,Schaap和van de Weygaert 2003年;夏普2007).wvf公司(Platen等人,2007年)例如,使用dtfe公司而不是vtfe公司. 两个dtfe公司vtfe公司无自由参数,空间分辨率无限,达到机器精度。可以说,他们给出了最局部的可能密度估计值和有意义的信息。这个vtfe公司定义每个粒子的密度,因此在一组粒子中找到最大值是很自然的。这就是为什么我们用它来寻找光环沃博兹. 但是dtfe公司是寻找最小值的更自然的选择,因为它定义了粒子间细胞的密度。对于采样良好的密度场,如N-人体模拟,差别可能可以忽略不计,但是对于稀疏(例如星系)粒子样本,佐波夫最好使用dtfe公司. 另一方面vtfe公司当面对变量选择函数时,可能是首选函数,它比dtfe公司做。

  • 空白的统计意义的定义。佐波夫判断空白的统计意义通过山脊上的最低密度之间的对比,其上方是更深的空隙,以及的最小密度。这个定义简单易计算,它返回的概率与目测结果相比更为有利。

    然而,还有其他可能的重要措施。例如,该算法可以在密度场的不同montecarlo实现上运行几次,密度场是由所有粒子以与系统中的噪声对应的某种方式移动(“抖动”)而形成的。如果限制性噪声来自于粒子的离散性(实际数据通常不是这样),那么使粒子抖动的一种自然方法就是将每个粒子移动到其初始Voronoi单元中的一个随机位置。N-人体模拟,根据空间分辨率(如重力软化长度)测量的抖动可能更合适。对于三维星系红移测量,主要的不确定性可能是从红移推断的距离,以及边界条件和空洞的处理。对于像N-人体模拟,这种蒙特卡罗方法可能要花费相当长的时间,但对于更易于管理的数据集(如星系目录),用这种方法估计显著性可能是可行的。

这项研究的另一个发现是暗物质粒子密度的对数二进制概率分布中的一个宽的、高密度的峰值秋千,如中所示图8. 这将是有趣的,看看是否可以成功地使用大规模结构的光环模型来建模。

代码佐波夫,打包了光环查找算法沃博兹,可在http://ifa.hawaii.edu/~neyrinck/沃博兹. 提出了新的边缘检测方法佐波夫,如中所述第2.5条,制造商沃博兹在一般的点集(如星系目录)中寻找星团比以前更有吸引力。

我感谢伊斯特万·萨普迪、埃尔文·普拉滕、谢尔盖·尚达林、安德鲁·汉密尔顿、尼克·格内丁和汤姆·贝塞尔进行了有益的讨论,并感谢裁判里恩·范德韦加特的富有见地的评论和建议。我还感谢Volker Springel允许使用千年模拟暗物质坐标,感谢Rien van de Weygaert和荷兰皇家艺术科学院(KNAW)组织了2006年12月在阿姆斯特丹举行的关于宇宙空洞的精彩讨论会。我很感谢美国宇航局拨款NNG06GE71G和AMS04-0434413的支持。

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