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Xi-功能

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xi函数是函数

xi（z）=1/2z（z-1）（伽马（1/2z））/（π^（z/2））zeta（z）
(1)
=（（z-1）伽马（1/2z+1）zeta（z））/（sqrt（pi^z）），
（2）

哪里泽塔（z）是黎曼-泽塔函数和伽马（z）是伽马函数（Gradshteyn和Ryzhik 2000年，第1076页；Hardy 1999年，第41页；Edwards 2001年，第16页）。这是Riemann在其里程碑纸（Riemann 1859），上面现在的标准符号遵循Landau（爱德华兹2001年，第16页）。

它是一个整个函数（爱德华兹2001年，第16页）。

它在Wolfram语言作为黎曼希[秒].

Xi功能根

的零xi（z）及其的衍生产品都位于批评的带 z=西格玛+it,哪里0<西格玛<1.因此黎曼ζ函数完全对应于xi（z）（即xi（1/2+it）与的相同泽塔（1/2+it）真的t吨)，还有其他好处xi（1/2+it）纯粹是真实的。

前几个零出现在下表中总结的值处（Wagon 1991，第361-362和367-368页；Havil 2003，第196页；Odlyzko），其中相应的负值也是根。最接近这些值的整数是14、21、25、30、33、38、41、43、48、50。。。（组织环境信息系统A002410号).零数小于10，10^2,10^3。。。是0、29、649、10142、138069、1747146。。。（组织环境信息系统A072080型; 奥德利兹科）。

n个组织环境信息系统t_n
1A058303号14.134725
221.022040
三25.010858
430.424876
532.935062
637.586178

特殊值包括

xi（0）=1/2
(3)
xi（1）=1/2
（4）
xi（2）=1/6pi
(5)
xi（3）=（3zeta（3））/（2pi）
(6)
xi（4）=1/（15）π^2
(7)
xi（5）=（15zeta（5））/（2pi^2）。
(8)

这个xi（西）函数满足功能性的方程式

xi（1-z）=xi（z）
(9)

（爱德华兹2001年，第16页）。

xi函数具有泰勒级数大约1/2属于

xi（s）=sum_（n=0）^inftya（2n）（s-1/2）^（2n），
(10)

哪里

a_（2n）=4int_1^英寸（d[x^（3/2）psi^'（x）]）/（dx）（（1/2lnx）^（2nx^（-1/4）dx
(11)

和

磅/平方英寸（x）=sum_（n=1）^（infty）e^（-n^2 ix）总和
(12)
=1/2[theta_3（0，e^（-pix））-1]
(13)

（爱德华兹2001年，第15页）θn（z，q）一雅可比θ功能.系数a_0（零）具有简单的分析形式

a_0（零）=-（伽马（1/4）zeta（1/2））/（8pi^（1/4））
(14)
=0.497120778。。。
(15)

（组织环境信息系统A114720号).

正如Riemann（1859）和Hadamard（1893）首次严格证明的那样，xi函数可以写成

xi（s）=xi（0）乘积（rho）（1-s/rho），
(16)

产品从根部流过的地方ρ属于xi（rho）=0（爱德华兹2001年，第17-21页）。

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xi功能扩展到复平面如上图所示。

功能xi（z）与相关

Xi（t）=Xi（z），
(17)

哪里z=1/2+它（Gradshteyn和Ryzhik 2000年，第1074页；Edwards 2001年，第16页），即最初考虑并实际表示的功能xi（吨）作者：Riemann（Edwards，2001年，第16页）。此功能可以也被定义为

Xi（it）=1/2（t^2-1/4）pi^（-t/2-1/4）伽马（1/2t+1/4）zeta（t+1/2），
(18)

给

Xi（t）=-1/2（t^2+1/4）pi^（it/2-1/4）伽马（1/4-1/2it）zeta（1/2-it）。
(19)

这个德布鲁因-纽曼常数定义为Xi（吨）功能。

Hardy（1914）证明了xi（1/2+it）有无穷多个实根(哈代定理),Hardy和Littlewood（1921）证明了0到T型至少是KT公司对于某些正常数K（K）而且都足够大T型Selberg（1942）证明了这个数字实际上是最少的KTlnT公司对于一些积极的K（K）而且都很大T型（Edwards，2001年，第19页）。

Coffey（2004）给出了xi（s）.

另请参阅

de Bruijn-Newman常数,哈代定理,莱默氏现象,李的标准,黎曼假设,Riemann-Siegel函数,Riemann-Siegel积分公式,黎曼-泽塔函数,黎曼Zeta函数零

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工具书类

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参考Wolfram | Alpha

Xi-功能

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Xi-Function”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Xi-Function.html

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