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波动方程——矩形

求具有长度边的矩形薄膜的运动L_x（L_x）和L_y（_y）（在没有重力的情况下），使用二维波方程式

（部分^2 z）/（部分x^2）+（部分^2 z）/（部分^2）=1/（v^2）（部分^2 z）/（部分t^2），
(1)

哪里z（x，y，t）是膜上某一点的垂直位移(x、 年)和时间t吨.使用变量分离寻找解决方案表单的

z（x，y，t）=x（x）y（y）t（t）。
(2)

堵塞(2)到(1)给予

YT（d^2X）/（dx^2）+XT（d^2 Y）/（dy^2）=1/（v^2）XY（d^ 2T）/（dt^2），
(3)

其中偏导数现在已成为完全导数。乘法(三)由v^2/XYT给予

（v^2）/X（d^2X）/（dx^2）+（v^2Y）/（dy^2）=1/T（d^2 T）/（dt^2）。
(4)

左侧和右侧必须都等于常数，所以我们可以通过将右侧写为

1/T（d^2T）/（dt^2）=ω^2。
(5)

这有解决方案

T（T）=C_omegacos（ω）+D_ω。
(6)

堵塞(5)返回到(◇),

（v^2）/X（d^2X）/（dx^2）+（v^2Y）/（dy^2）=ω^2，
(7)

我们可以改写为

1/X（d^2X）/（dx^2）=-1/Y（d^2 Y）/（dy^2）-（ω^2）/（v^2）=-k_X^2
(8)

因为左边和右边都必须等于常数。我们现在可以将Y（年）方程式

1/Y（d^2Y）/（dy^2）=k_x^2-（ω^2）/（v^2）=-k_Y^2，
(9)

其中我们定义了一个新常数千（_y）令人满意的

k_x^2+k_y^2=（ω^2）/（v^2）。
(10)

方程式(◇) 和(◇) 有解决方案

X（X）=经济（k_xx）+Fsin（k_xxx）
(11)
Y（Y）=Gcos（k_yy）+Hsin（k_yy）。
(12)

我们现在将边界条件应用于(11)和(12). 条件z（0，y，t）=0和z（x，0，t）=0意思是

E=0 G=0。
(13)

同样，条件z（L_x，y，t）=0和z（x，L_y，t）=0给sin（k_xL_x）=0和sin（k_yL_y）=0，所以L_xk_x=ppi和L_yk_y=qpi，其中第页和q个是整数.解决允许的值kx（千x）和千（_y）然后给出

k_x=（ppi）/（L_x）k_y=（qpi）/（L _y）。
(14)

堵塞(◇), (◇), (◇), (◇), 和(14)返回到(◇) 给出了特定值的解第页和q个,

z_（pq）（x，y，t）=[C_ωcos（ω）+D_ω。
(15)

通过写入将常数集中在一起A_（pq）=C_omegaF_pH_q（我们可以这样做，因为欧米茄是的函数第页和q个，所以欧米茄（_O）可以写为C_（pq）)和B_（pq）=ωF_pH_q，我们获得

z_（pq）（x，y，t）=[A_。
(16)
波方程矩形

模式的空间部分的绘图如上所示。

一般解是所有可能值的总和第页和q个，所以最终的解决方案是

z（x，y，t）=sum_（p=1）^inftysum_（q=1），
(17)

哪里欧米茄通过组合定义(◇) 和(◇) 屈服

ω_（pq）=pivsqrt（（p/（L_x））^2+（q/（L_y））^2）。
(18)

给定初始条件z（x，y，0）和（partialz）/（partialt）（x，y，0），我们可以计算A_（pq）s和B_（pq）s显式显示。为了实现这一点，我们利用正交性的正弦表单中的函数

I=int_0^ Lsin（（mpix）/L）sin（npix）/L）dx=1/2 Ldelta_（mn），
(19)

哪里增量（mn）是克罗内克三角洲这可以证明直接集成.让u=像素/升所以du=（pi/L）dx英寸(◇), 然后

I=L/piint_0^pisin（mu）sin（nu）du。
(20)

现在使用三角恒等式

sinalphasinbeta=1/2[cos（alpha-beta）-cos（alpha+beta）]
(21)

写

I=L/（2pi）int_0^picos[（m-n）u]du+int_0^ picos[（m+n）u]du。
(22)

请注意，对于整数 我=0，如下完整的消失

int_0^皮科斯（lu）du=1/l[sin（lu）]_0^pi
(23)
=1/l[sin（lpi）-sin0]
(24)
=1/lsin（lpi）
(25)
=0,
(26)

自从sin（lpi）=0什么时候我是一个整数因此，I=0什么时候l=m-n=0然而，我做不在以下情况下消失l=0，自

int_0^picos（0·u）du=int_0^pidu=pi。
(27)

因此，我们有I=Ldelta_（mn）/2，所以我们推导了(◇). 现在我们乘法z（x，y，0）通过两个正弦项并在0和之间积分L_x（L_x）以及介于0和之间y（_y）,

I=int_0^（L_y）[int_0^（L_x）z（x，y，0）sin（（ppix）/（L_x））dx]sin（qpiy）/（L_y））dy。
(28)

现在接通电源z（x，y，t）,设置t=0,并将这些指数与第页和q个英寸(28),

I=sum_（q^'=1）^inftyint_0^（L_y）[sum_。
(29)

利用(◇) 英寸(29),

I=sum_（q^'=1）^inftyint_0^（L_y）sum_，
（30）

所以总数超过了p^'和q^'坍塌成一个学期

I=（L_x）/2sum_（q=1）^输入A_（pq^'）。
(31)

相等(30)和(31)和解决A_（pq）然后给出

A_（pq）=4/（L_xL_y）int_0^（L_y。
（32）

类似的推导给出了B_（pq）s作为

B_（pq）=4/（ω_（pq）L_xL_y）int_0^（L_y。
(33)

另请参见

波动方程,波动方程——一维,波动方程——圆盘,波动方程——三角形

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“波动方程——矩形。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/WaveEquationRectangle.html

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