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维维亚尼曲线


Vivianis曲线交叉口

正如格雷(1997年,第201页)所定义的,维维亚尼的曲线,有时也称为维维亚妮的窗口,是空间曲线给出十字路口圆柱半径的一和中心(a,0)

 (x-a)^2+y^2=a^2
(1)

 x^2+y^2+z^2=4a^2
(2)

带中心(0,0,0)和半径2a个.1692年,维维亚尼(Viviani)对该曲线进行了研究(Teixeira 1908-1915,第311-320页;Struik 1988年,第10-11页;格雷1997年,第201页)。

Vivianis曲线

直接求解x个年作为的函数z(z)给予

x个=2a-(z^2)/(2a)
(3)
年=+/-z/2sqrt(4-(z^2)/(a^2))。
(4)

该曲线由参数方程

x个=a(1+成本)
(5)
年=阿森特
(6)
z(z)=2磅(1/2吨)
(7)

对于t英寸(-2pi,2pi)(格雷1997年,第201页)。

Vivianis曲线截面

从参数方程中可以立即看出,从前面、顶部和左侧的曲线视图由柠檬状的-像曲线,圆圈、和抛物线分别是。类柠檬形图形具有参数方程

x个=辛特
(8)
年=2分(1/2吨),
(9)

可以写在笛卡尔坐标作为四次曲线

 4x^2+y^4=4y^2。
(10)

维维亚尼的曲线弧长

 s=8sqrt(2)aE(1/2 sqrt)
(11)

哪里E(k)是一个完全椭圆积分第二种.

这个弧长功能,曲率,扭转维维亚尼曲线的

秒(t)=2sqrt(2)E(1/2吨,1/2平方吨(2))
(12)
卡帕(吨)=(平方米(13+3成本))/(a(3+成本)^(3/2))
(13)
τ(t)=(6cos(1/2t))/(a(13+3成本))
(14)

(Gray 1997,第202页),其中E(x,k)是不完整的椭圆形第二类积分.


另请参见

圆柱,圆柱-球体相交,魔鬼曲线,柠檬酸盐,球体,Steinmetz固体

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工具书类

格雷,A.“维维亚尼曲线”第8.6节现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica,第二版。博卡佛罗里达州Raton:CRC出版社,第201-202页,1997年。Kenison,E.和Bradley,高压断路器。描述的几何学。纽约:麦克米伦出版社,第284页,1935年。D.J.斯特鲁克。讲座经典微分几何。纽约:多佛,1988年。特谢拉,F.G.公司。课程特色是平面和高切,第2卷。葡萄牙科英布拉,1908-1915年。重印纽约:切尔西,1971巴黎:加贝。冯·塞格恩,D。CRC公司标准曲线和曲面。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第270页,1993年。

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“维维亚尼的曲线。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/VivianisCurve.html

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