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维拉尔索圆圈

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圆环（Torus Circles）VillarceauCircleX部分

四个圈子可以通过任意点绘制P（P）在上圆环体.前两个圆很明显：一个在圆环面上，另一个在圆环面上垂直的第三和第四圈子（相对于圆环体)很多更出乎意料的是，被称为维拉尔索圈（维拉尔索1848，施密特1950年，科克塞特1969年，梅尔扎克1983年）。

看到两个额外的圈子存在，考虑坐标系具有起源在…的中心圆环体，使用z（z）^^指向上。指定的位置P（P）通过其角 φ在导管周围测量圆环体.定义φ=0对于距离中心最远的点的圆圆环体（即具有以下特征的点x^2+y^2=R^2)，并绘制x个-轴作为飞机通过z（z）-轴并通过P（P）与xy公司-平面。围绕旋转年-轴由角 θ，其中

θ=sin^（-1）（a/c）。
（1）

根据旧坐标，新坐标为

x个=x_1cosheta-z_1sintheta
（2）
z（z）=x_1sintheta+z_1cosheta。
(3)

所以在（x_1，y_1，z_1）坐标，方程式(◇) 圆环体的

[sqrt（（x_1costheta-z_1sintheta）^2+y_1^2）-c]^2+（x_1sintheta+z_1costherta）^2=a^2。
(4)

展开左侧可以

（x_1costheta-z_1sintheta）^2+y_1^2+c^2-2sqrt（（x_1 costheta-z_1sintheta）^2+y_1^2）+（x_1sintheta+z_1costheta）^2=a^2。
(5)

但是

（x_1sintheta-z_1sintheta）^2+（x_1sntheta+z_1cosheta）^2=x_1^2+z_1^2，
(6)

所以

x_1^2+y_1^2+z_1^2+c^2-2csqrt（（x_1costheta-z_1sintheta）^2+y_1^ 2）=a^2。
(7)

在z_1=0平面，插入(◇) 保理提供

[x_1^2+（y_1-a）^2-c^2][x_1 ^2+（y _1+a）^2-c ^2]=0。
(8)

这使得圈子

x_1^2+（y_1-a）^2=c^2
(9)

和

x_1^2+（y_1+a）^2=c^2
(10)

在中z_1平面。写入矩阵带参数的窗体t英寸[0,2pi），这些是

C_1=[ccost；csint+a；0]
(11)
C_2=[ccost；csint-a；0]。
(12)

在原件中（x，y，z）协调，

C_1=[costheta 0-sintheta；0 1 0；-sintheta 0 costheta][ccost；csint+a；0]
(13)
=[ccothetacost；csint+a；-csinthetacost]
(14)
C_2=[costheta 0 sintheta；0 1 0；-sintheta 0 costheta][ccost；csint-a；0]
(15)
=[cothetacost；csint-a；-cnthetacost]。
（16）

重点P（P）必须满足

z=asinphi=csintheta成本，
(17)

所以

成本=（asinphi）/（csintheta）。
(18)

将此插入x_1和y_1给出角 磅/平方英寸通过它圆圈必须旋转关于z（z）-轴为了让它通过P（P）,

psi=tan^（-1）（y/x）=（csint+a）/（ccothetacost）=（csqrt（1-cos^2t）+a）／（ccotthetacost。
(19)

四个人圈子通过P（P）因此

C_1=[cospsi sinpsi 0；-sinpsi cospsi 0；0 0 1][ccothetacost；csint+a；-csinthetacost]
(20)
C_2=[cospsi sinpsi 0；-sinpsi cospsi 0；0 0 1][ccothetacost；csint-a；-csinthetacost]
(21)
C_3号=[（c+acosphi）成本；（c+accoshi）sint；asinphi]
(22)
C_4号机组=[c+acost；0；asint]。
(23)

另请参阅

圆环体

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科克塞特，H.S。M。几何学导论，第二版。纽约：Wiley，第132-133页，1969年。卡拜，美国。数学制图I：使用Mathematica的计算机制图课程。Püspökladány，匈牙利：联合国，第125页，2002年。梅尔扎克，Z.A.公司。邀请几何图形。纽约：Wiley，第63-72页，1983年。施密特，H。模具反转和反转Anwendungen。德国慕尼黑：奥尔登堡，1950年。维拉尔索，M.“苏雷尔大街。”努夫。安。数学。 7,第345-347页，1848页。

参考Wolfram | Alpha

维拉尔索圆圈

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“维拉尔索圆圈。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/VillarceauCircles.html

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