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参数的变化


对于二阶普通微分方程,

 y^('')+p(x)y^'+q(x)y=g(x)。
(1)

假设线性无关解y_1(x)y_2(x)对于齐次方程是已知的

 y^('')+p(x)y^'+q(x)y=0,
(2)

并寻找v_1(x)v_2(x)这样的话

年^*=v_1y_1+v_2y_2
(3)
y^('*)=(v_1^'y_1+v_2^'y_2)+(v_1y_1^'+v_2y_2^')。
(4)

现在,施加附加条件

 v_1^'y_1+v_2^'y_2=0
(5)

以便

y^('*)(x)=v_1y_1^'+v_2y_2^'
(6)
y^(''*)(x)=v_1^'y_1^'+v_2^'y_2^'+v_1y_1^('')+v_2y_2^(''')。
(7)

插头年^*,y^*^',y^*^('')回到原来的方程式中获得

 v_1(y_1^('')+py_1^'+qy_1)+v_2(y_2^('')+py_2^'+qy_2)+v_1^'y_1^'+v_2^'y_2^'=g(x),
(8)

它简化为

 v_1^'y_1^'+v_2^'y_2^'=g(x)。
(9)

组合方程式(◇) 和(9)同时解决v_1^'v_2^'然后给出

v_1^'=-(y_2g(x))/(W(x)
(10)
v_2^'=(y_1g(x))/(W(x),
(11)

哪里

 W(y_1,y_2)=W(x)=y_1y_2^'-y_2y_1^'
(12)

Wronskian公司,它是的函数x个只有,所以可以直接将这些进行集成以获得

第1版=-int(y_2g(x))/(W(x)
(13)
第2版=int(y_1g(x))/(W(x),
(14)

可以插入以提供特定的解决方案

 y^*=v_1y_1+v_2y_2。
(15)

泛化为n个度ODE,让y_1, ...,y_n号是齐次ODE的解,并让v_1^'(x), ...,v_n^'(x)被选择为

 {y_1v_1^'+y_2v_2^'+…+y_nv_n^'=0;y_1^'v_1^'+y_2^'v_2^'+…+y_n^'v_n^'=0;|;y_1 ^((n-1))v_1^'+y_2 ^(n-1。
(16)

具体的解决方案是

 y^*(x)=v_1(x)y_1(x)++vn(x)y_n(x),
(17)

另请参见

常微分方程,第二订单常微分方程

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“参数变化。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Variation-Parameters.html

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