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欠阻尼简谐运动

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SHO欠阻尼

欠阻尼简谐运动是受潮的简谐运动

x^+贝塔克斯^+ω_0^2x=0
（1）

在哪儿

β^2-4omega_0^2<0。
（2）

自从我们

D=β^2-4ω，
(3)

因此，数量

伽马射线=1/2平方米（-D）
(4)
=1/2平方（4omega_0^2-beta^2）
(5)

是积极的。接通试验溶液x=e^（rt）然后给出微分方程的解满足

r+/-=-1/2贝塔+/-igamma，
(6)

即，解决方案是表单的

x=e^（-（β/2+/-igamma）t）。
(7)

使用欧拉公式

e^（ix）=cosx+isinx，
(8)

这可以重写

x=e^（-（beta/2）t）[cos（gammat）+/-isin（gamma）]。
(9)

我们对真实的解决。既然我们在这里处理的是线性同质ODE，线性和线性地独立的解决方案也是解决方案。因为我们有一系列这样的解决方案英寸(9)，因此想像的和真实零件分别满足ODE，因此我们寻求的解决方案。正弦项前面的常数是任意的，所以我们可以将解决方案确定为

x_1=e ^（-（β/2）t）cos（γ）
(10)
x2个=e^（-（beta/2）t）sin（gammat），
(11)

所以一般的解决方案是

x=e^（-（beta/2）t）[Acos（gammat）+Bsin（gamma）]。
(12)

初始值为

x（0）=A类
(13)
x ^。(0)=-1/2贝塔A+B，伽马
(14)

所以A类和B类可以用初始条件表示为

A类=x（0）
(15)
B类=（β（0））/（2gamma）+（x^.（0）。
（16）

上图显示了欠阻尼简谐振荡器Ω=0.3,β=0.4对于各种初始条件（A、B）.

具有强迫函数的余弦受迫欠阻尼振荡器g（t）=Ccos（ω），所以

x^+贝塔克斯^+ω_0^2x=Ccos（ω），
(17)

定义

伽马射线=1/2平方（4omega_0^2-beta^2）
(18)
阿尔法=1/2贝塔
(19)

为了方便起见，然后注意

4omega_0^2-β^2=4伽马^2
(20)
欧米茄0^2=γ^2+1/4β^2
(21)
=γ^2+α^2
(22)
贝塔=2阿尔法。
(23)

我们现在可以使用参数的变化以获得特定的解决方案

x^*=x_1v_1+x_2v_2，
(24)

哪里

第1版=-int（x_1（t）g（t））/（W（t）
(25)
第2版=int（x_2（t）g（t））/（W（t）
（26）

和Wronskian公司是

W（吨）=x_1x^_2-x^_1×2
(27)
=gammae^（-2alphat）。
(28)

这些可以直接集成以提供

第1版=-C/gammainte ^（字母）sin（gammat）cos（omegat）dt
(29)
第2版=C/gammainte^（alphat）cos（gammat）cos-（omegat）dt。
(30)

因此，

x ^*（吨）=C（（α^2+γ^2-ω^2）cos（ω）+2αω
(31)
=C/（平方（（ω_0^2-ω^2）^2+ω^2beta^2））cos（ω+δ），
(32)

已使用谐波加法定理和

δ=tan^（-1）（（betaomega）/（omega^2-omega_0^2））。
(33)

另请参阅

临界阻尼简谐运动,阻尼简谐运动,过阻尼简谐运动,简单谐波运动

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工具书类

A.帕普利斯。概率、随机变量和随机过程，第2版。纽约：McGraw-Hill，第525-527页，1984年。

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“欠阻尼简谐运动。“来自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/UnderdampedSimpleHarmonicMotion.html

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