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苏丹的嫁妆问题


一位苏丹授予一位平民与他的一位平民结婚的机会n个女儿。平民将与女儿们见面每次一个,当每个女儿出现时,平民会被告知女儿的嫁妆(事先确定)。当被介绍给一个女儿时,平民必须立即决定是接受还是拒绝她(他是不被允许的以返回到先前被拒绝的女儿)。然而,苏丹将允许只有当普通人挑选出整体最高的女儿时,才会结婚嫁妆。那么,假设平民对这方面一无所知,那么他最好的策略是什么嫁妆的分配(莫斯特勒1987)?

苏丹嫁妆问题

因为平民对嫁妆的分配一无所知,所以最好的策略是等到一定的数量x个共有个女儿收到了礼物,然后选择最高的嫁妆此后(哈维尔2003年,第134页)。要跳过的确切数字由条件是已经看到最高嫁妆的几率更大而不是等待观察的可能性如果被看到,它就会被选中。这相当于找到最小的x个这样的话

 x/n>=x/n(1/(x+1)++1/n)。
(1)

更具体地说,等待后获得最大嫁妆的概率x个由于n个女儿是

 P(n,x)=(1+x(H_(n-1)-H_x))/n,
(2)

哪里H_ n是一个谐波数(哈维尔2003年,第137页),上面绘制了一些特定值n个作为的函数x个(上图左图)和中的曲面图n个x个(右图)。

因此,解决方案是最小的x个这样的话

 H_x>=H_n-1。
(3)

解决,

 H_x=H_n-1
(4)

数字和取天花板函数 【x】然后给出解0,1,1,2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, ... (组织环境信息系统A054404号)对于n=1,2, ... 女儿们。

令人惊讶的是连分数属于1个/年,由0、1/2、1/3、3/8、4/11、7/19、32/87、39/106、71/193、465/1264。。。(组织环境信息系统A007676号A007677号),与配对完全对应(x,n),其中x个是的最佳值n个女儿(哈维尔,2003年,第137页)。

通过使用级数展开式可以获得近似解H_x(_x)关于无穷大,

 H_x~γ+1/(2x)++液化天然气,
(5)

哪里伽马射线Euler-Mascheroni常数、和将此近似插入(4),给予

 1/(2x)+lnx=1/(2n)+lnn-1。
(6)

这可以用闭合形式来求解,以给出以下问题的近似解x个,

 x^^_1=-1/(2W(-(e^(1-1/(2n)))),
(7)

哪里宽(x)Lambert W函数事实上[x^^_1]给出正确的结果n> 3个.

另一个近似值可以通过以下级数展开得到P(n,x)以获得

 P(n,x)近似值(n-r+2rnln(n/r))/(2n^2)。
(8)

取导数并设置为0,则得出

 x^^_2=ne^(-[1+1/(2n)]),
(9)

在所有正确答案的1以内n个.

苏丹道尔近似值

上图显示了这两个近似值(红色和蓝色曲线)以及实际值(黑点)。这两种近似都有形式的级数展开式

 x^^~a_0+n/e+(a_(-1))/n+。。。,
(10)

哪里a_0(零)a_(-1)是小常数。

这个问题最常见的表述是n=100女儿们,这使得普通人应该等到他看到37个女儿,再挑选带嫁妆的第一个女儿这比之前任何一个都大。有了这个策略,他选择嫁妆最高的女儿出奇地高:大约37.10%(Honsberger 1979年,第104-110页,Mosteller 1987年;哈维尔2003年,第136页)。随着女儿数量的增加,这倾向于1/e约36.787…%(组织环境信息系统A068985号).


另请参见

生日问题

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更多需要尝试的事情:

工具书类

哈维尔,J.“最佳选择”,第13.13条伽马射线:探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿:普林斯顿大学出版社,第34-138页,2003Honsberger,R.“概率中的一些意外”,第5章在里面数学李子(编辑R.Honsberger)。华盛顿特区:数学。美国协会。,第104-110页,1979Mosteller,F.“选择最大的嫁妆”,问题47在里面五十用解决方案挑战概率问题。纽约:多佛,第73-77页,1987新泽西州斯隆。答:。序列A007676号/M0869,A007677号/M2343,A054404美元A068985号在线百科全书整数序列的。"

参考Wolfram | Alpha

苏丹的嫁妆问题

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“苏丹的嫁妆问题。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SultansDowryProblem.html

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