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斯特林近似


斯特林近似值给出了阶乘的功能不!伽马函数 伽马(n)对于n> >1。近似值可以最简单地推导为n个一个整数通过将总和近似为这个阶乘的带有完整的,以便

不!=ln1+ln2++液化天然气
(1)
=总和(k=1)^(n)lnk
(2)
 大约 整数_1^nlnxdx
(3)
=[xlnx-x]_1^n
(4)
=nln-n+1
(5)
 大约 nln-n号。
(6)

该方程也可以使用阶乘的,

 不=int_0^inftye^(-x)x^ndx。
(7)

请注意对数被积函数的可以写入

 d/(dx)ln(e^(-x)x^n)=d/(dx)(nlnx-x)=n/x-1。
(8)

被积函数急剧峰值,其重要贡献仅在附近x=n因此,让x=n+xi哪里xi<<n,然后写入

ln(x^ne^(-x))=nlnx-x型
(9)
=nln(n+xi)-(n+xi)。
(10)

现在,

ln(n+xi)=ln[n(1+xi/n)]
(11)
=lnn+ln(1+xi/n)
(12)
=lnn+xi/n-1/2(xi^2)/(n^2)+。。。,
(13)

所以

ln(x^ne^(-x))=nln(n+xi)-(n+xi)
(14)
=nln+xi-1/2(xi^2)/n-n-xi+。。。
(15)
=nln-n-(xi^2)/(2n)+。。。。
(16)

采取指数的那么每侧的给予

x^ne^(-x) 大约 e(nlnn)e(-n)e(-xi^2/2n)
(17)
=n^ne^(-n)e^(-xi^2/2n)。
(18)

插入的积分表达式不!然后给出

不! 大约 int_(-n)^inftyn^ne^(-n)e^(-xi^2/2n)dxi
(19)
 大约 n^ne^(-n)int_(-infty)^inftye^(-xi^2/2n)dxi。
(20)

计算积分得出

不! 大约 n^ne^(-n)平方码(2针)
(21)
=平方(2pi)n^(n+1/2)e^(-n)
(22)

(Wells 1986,第45页)。采取对数两者的双方然后让步

不! 大约 nln-n+1/2ln(2针)
(23)
=(n+1/2)lnn-n+1/2ln(2pi)。
(24)

这是斯特林级数只保留了第一个任期,而且,对于大部分n个,它简化为斯特林近似值

 不!约nlnn-n。
(25)

采用连续条款|_n^n/n_|,其中|_x个_|楼层功能,给出了序列1、2、4、10、26、64、163、416、1067、2755。。。(组织环境信息系统A055775号).

斯特林近似可以推广到双重不等式

 平方(2pi)n^(n+1/2)e^(-n+1/(12n+1))<n<平方(2pi)n^(n+1/2)e^(-n+1/(12n))
(26)

(罗宾斯1955年,费勒1968年)。

Gosper指出不!(即近似于斯特林的系列而不是截断它们)由以下公式给出

 n!大约sqrt((2n+1/3)pi)n^ne^(-n)。
(27)

考虑到n个一个实数,所以lim_(n->0)n^n=1,方程式(27)同时阶乘的第页,共页,0!=1,顺从的sqrt(pi/3)约1.02333而不是用传统的斯特林近似得到的0。


另请参见

比奈对数伽马公式,阶乘,Gamma函数,Log Gamma函数,斯特林的系列

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

Feller,W.“斯特灵公式”§2.9英寸概率论及其应用导论,第1卷,第3版。纽约:Wiley,第50-53页,1968年。哈维尔,J。伽马射线:探索欧拉常数。新泽西州普林斯顿:普林斯顿大学出版社,第86-88页,2003Robbins,H.“斯特林公式的评论”阿默尔。数学。每月 62, 26-29, 1955.新泽西州斯隆。答:。顺序A055775号在线百科全书整数序列的。"J·斯特林。方法差异,sive tractatus de-sumination et interpolation serierum infinitarium(无穷级数)。伦敦,1730年。霍利迪的英文翻译。这个微分法:无限级数求和与插值的论述。1749威尔斯,D。这个企鹅奇趣数字词典。英国米德尔塞克斯:企鹅图书,第45页,1986年。E.T.惠塔克。和罗宾逊,G.“斯特林近似阶乘”§70 in这个观察演算:数值数学论文,第4版。新建约克:多佛,第138-140页,1967年。

参考Wolfram | Alpha

斯特林近似

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“斯特林近似。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html

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