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统计相关性

对于两个随机变量X（X）和Y（Y），相关性由Y定义

cor（X，Y）=（cov（X，Y））/（σ_Xsigma_Y），
(1)

哪里西格玛_X表示标准偏差和覆盖（X，Y）是协方差属于这两个变量。对于变量的一般情况X _ i和X _ j，其中i、 j=1, 2, ...,n个,

cor（X_i，X_j）=（cov（X_i，X_j））/（平方码（V_（ii）V_（jj））），
(2)

哪里V_（ii）是的元素协方差矩阵一般来说，相关性给出了变量之间关系的强度。对于i=j,

cor（X_i，X_i）=（cov（X_i，X_i））/（sigma_i^2）=1。
（3）

任何数量的方差总是非负的根据定义，所以

var（X/（sigma_X）+Y/（simma_Y））>=0。
(4)

来自的属性差异，总和可以展开

var（X/（sigma_X））+var（Y/（simma_Y））+2cov（X/
(5)
1/（西格玛_X^2）变量（X）+1/（西格马_Y^2）var（Y）+2/（西格玛_Xsigma_Y）cov（X，Y）>=0
(6)
1+1+2/（σ_Xsigma_Y）覆盖（X，Y）=2+2/（∑_Xsigma_Y）覆盖（X，Y）>=0。
(7)

因此，

cor（X，Y）=（cov（X，Y））/（σ_Xsigma_Y）>=-1。
(8)

同样，

var（X/（西格玛_X）-Y/（西格玛_Y））>=0
(9)
var（X/（sigma_X））+var（-Y/（simma_Y））+2cov（X/
(10)
1/（σ_X^2）变量（X）+1/（∑_Y^2）var（Y）-2/（σ_ Xsigma_Y）cov（X，Y）>=0
(11)
1+1-2/（σ_Xsigma_Y）覆盖（X，Y）=2-2/（∑_Xsigma_Y）覆盖（X，Y）>=0。
(12)

因此，

cor（X，Y）=（cov（X，Y））/（σ_Xσ_Y）<=1，
(13)

所以-1<=cor（X，Y）<=1.

对于线性组合在两个变量中，

变量（Y-bX）=var（Y）+var（-bX）+2cov（Y，-bX）
(14)
=var（Y）+b^2 var（X）-2bcov（X，Y）
(15)
=σ_Y^2+b^2sigma_X^2-2bcov（X，Y）
(16)
=σ_Y^2+b^2sigma_X^2-2bsigma_Xsigma~Ycor（X，Y）。
(17)

检查以下情况cor（X，Y）=+/-1,

cor（X，Y）=（cov（X，Y））/（σ_Xσ_Y）=+/-1
(18)
var（Y-bX）=b^2sigma_X^2+σ_Y^2∓2bsigma_Xσ_Y=。
(19)

这个方差将为零，如果b=+/-σ_Y/σ_X，它要求方差是一个常量。因此，y-bx=a，所以y=a+bx.如果cor（X，Y）=+/-1,年要么是完全相关的(b> 0个)或完全反相关(b<0)带有x个.

另请参见

协方差,协方差矩阵,方差

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“统计相关性。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/StatisticalCorrelation.html

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