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球面波函数

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Stratton（1935年）、Chu和Straton（1941年）以及Rhodes（1970年）将椭球函数定义为微分方程的解

（1-eta^2）psi_（alphan）^（''）（c，eta）-2（alpha+1）etapsi_
(1)

在奇点处保持有限eta=+/-1.有限性条件限制了可接受性参数的值b（字母）（c）到由索引的离散特征值集n=0,1, 2, ... （罗德斯，1970年）。

径向解决方案R_（mn）（xi）在长球坐标中满足微分方程式

d/（dxi）[（xi^2-1）d/（d xi）R_（mn）（xi）]-（λ_（mn）-c^2xi^2+（m^2）/（xi^2-1））R_（锰）（xi）=0
(2)

和角度解S_（mn）（eta）满足

d/（数据）[（1-eta^2）d/（deta）S_（mn）（eta）]+（λ_（mn）-c^2eta^2-（m^2）/（1-eta^2））S_（mn，eta）=0。
(3)

注意，微分方程是相同的，因此径向和角向波函数在不同的变量范围内满足相同的微分方程（Abramowitz和Stegun 1972，第753页）。

角椭球谐波在Wolfram语言作为球形PS[n个,米,伽马射线,x个]和球形QS[n个,米,伽马射线,x个]; 径向球谐函数实现为球形S1[n个,米,伽马射线,x个]和球体S2[n个,米,伽马射线,x个]; 并且特征值被实现为球体特征值[n个,米,伽马射线].

如果γ=npi/2和m=1.

角波函数有关于伽马=0由提供

PS_（nm）=P_n^m（x）+[（-m+n+1）（-m+n+2）P_（n+2）^m（x））/（2（2n+1）（2n+3）^2）-（（m+n-1）（m+n）P_（n-2）^m（x））/（2（2n-1）^2（2n+1））]γ^2+O（γ^3）QS_（nm）=Q_n^m（x）+[（-m+n+1）（-m+n+2）Q_（n+2）^m（x））/（2（2n+1）（2n+3）^2）-（（m+n-1）（m+n）Q_（n-2）^m（x））/（2（2n-1）^2（2n+1））]伽马^2+O（伽马^3）。
(4)

径向波函数具有如下渐近行为z->输入由提供

S_（纳米）^（（1））（z）∼1/（gammaz）sin（gammaz-1/2npi）
(5)
S_（纳米）^（（2））（z）∼1/（gammaz）cos（gammaz-1/2npi）。
(6)

惠塔克和沃森（1990年，第403页）呼吁

S_（mn）^（（1））=2pi（（n-m）！）/（（n+m）！）P_n^m（ir）P_n^m（cosheta）cos；罪（mphi）
(7)
S_（mn）^（（2））=2pi（（n-m）！）/（（n+m）！）Q_n^m（ir）Q_n^ m（cosheta）cos；罪（mphi），
(8)

哪里P_l^m（x）是一个勒让德多项式和Q_l^m（x）是一个勒让德第二类功能内外球面波函数。然而，它们并不是通常意义上的真正的椭球波函数。

另请参阅

第一类椭球调和,椭圆形第二类谐波,扁形球面波函数,延长球面波函数,球面谐波

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《球面波函数》第21章手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第751-759页，1972年。朱立杰（Chu，L.J.）。和斯特拉顿，J.A.公司。“椭圆和球面波函数。”数学杂志。和物理。 20,259-309, 1941.Falloon，P.“球面波函数主页”http://www.physics.uwa.edu.au/~fallon/球体/球体.html.休伦，体育。；阿伯特，P.C。；和Wang，J.B。“理论与计算球面波函数。“2002年12月18日。http://arxiv.org/abs/math-ph/0212051.休伦，体育。具有一般参数的球谐理论和计算。硕士论文。澳大利亚珀斯：西澳大利亚大学，2001年。http://www.physics.uwa.edu.au/pub/Theses/2002/Falloon/Masters_Thesis.pdf.火焰器，C、。球形的波函数。加利福尼亚州斯坦福：斯坦福大学出版社，1957年。梅克斯纳，J.和Schäfke，R.W。Mathieusche Funktitonen和Sphäroidfunktionen。柏林：斯普林格·弗拉格出版社，1954年。莫尔斯，P.M。和Feshbach，H。方法理论物理第一部分。纽约：McGraw-Hill，第642-644页，1953罗德·R·罗兹。“关于球面函数。”J。Res.Nat.Bur.研究。标准——B.数学。科学。 第74页，187-2091970年7月-9月。斯特拉顿，J.A.公司。“球面函数。”程序。美国国家科学院。科学。 21,51-56, 1935.斯特拉顿，J.A。；莫尔斯，P.M；Chu，L.J。；和R.A.Hutner。椭圆形圆柱波函数和球面波函数，包括分离常数表和系数。纽约：威利出版社，1941年。斯特拉顿，J.A。；莫尔斯，P.M。；Chu，L.J。；利特尔，J.D。C。；和科巴托，F·J。球形的波函数。纽约：威利出版社，1956年。E.T.惠塔克。和G.N.Watson。A类现代分析课程，第四版。英国剑桥：剑桥大学出版社，1990年。

参考Wolfram | Alpha

球面波函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“球面波函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SpheroidalWaveFunction.html

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