Smarandache函数

Smarandache函数是卢卡斯（1883）、纽伯格首先考虑的函数（1887）和坎普纳（1918），后来斯马兰达什（1980）发现给出给定值的最小值在其中（即。，划分阶乘的). 例如，数字8不除,,，但确实存在分歧，所以.

对于,2, ...,由1、2、3、4、5、3、7、4、6、5、11。。。（组织环境信息系统A002034号),值得注意的是，斯隆定义了，而Ashbacher（1995）和Russo（2000，第4页）拿.增量最大值是1、2、3、4、5、7、11、13、17、19、23、29。。。（组织环境信息系统A046022号)，发生在以下值.增量最小值属于相对于是=1，1/2，1/3，1/4，1/6，1/8，1/12，3/40，1/15，1/16，1/24，1/30。。。（组织环境信息系统A094404号和A094372号)，发生在, 6, 12, 20, 24, 40, 60, 80, 90, 112, 120, 180, ... （组织环境信息系统A094371号).

存在可立即计算的公式对于特殊形式的最简单的情况是

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

哪里是质数，是不同的素数，、和（坎普纳1918）。此外，

(6)

如果是第个即使完全数和是相应的梅森首要的（阿什巴赫1997；鲁伊斯1999a）。最后，如果是质数，并且一个整数，那么

(7)

（Ruiz 1999b）。

这个案子对于更复杂，但可以根据Kempner（1918）的算法进行计算。收件人开始，定义递归地由

(8)

具有.这可以用封闭形式解决

(9)

现在找到这样的话，由给出

(10)

哪里是楼层功能。现在计算序列和根据欧几里德算法-像程序

			(11)
			(12)
			(13)
			(14)
			(15)

即直到剩下的时间.在每个步骤中，是整数部分属于和是余数。例如，在第一步中，和.然后

(16)

（坎普纳1918）。

的价值一般情况下然后由给出

(17)

（坎普纳1918）。

对于所有人

(18)

哪里是最大素因子属于.

可以通过查找并测试是否划分如果是，那么如果没有，那么并且必须使用Kempner的算法。套装属于为此（即。，不可分割)具有Erdős（1991）提出并经Kastanas（1994）证明的密度为零，但对于小的,有相当多的值用于前几位是4、8、9、12、16、，18, 24, 25, 27, 32, 36, 45, 48, 49, 50, ... （组织环境信息系统A057109号).出租表示正整数的数量这样的话，Akbik（1999）随后表明

(19)

随后，福特（1999）和德科宁克（De Koninck）和多扬（Doyon）（2003）对此进行了改进，遗憾的是，前者是不正确的。Ford（1999）提出了渐近公式

(20)

哪里是迪克曼函数,通过隐式定义

(21)

常数需要修正（Ivić2003）。Ivić（2003）随后表明

(22)

就基本函数而言，

(23)

Tutescu（1996）推测两个连续参数的值永远不会相同，即。，对于任何.这至少可以支持（Weisstein，2004年3月3日）。

的多个值可以具有相同的值，如下表所示.

	这样的话
1	1
2	2
三	3, 6
4	4,8, 12, 24
5	5, 10,15, 20, 30, 40, 60, 120
6	9,16, 18, 36, 45, 48, 72, 80, 90, 144, 180, 240, 360, 720

让表示的最小逆，即最小的为此.然后由提供

(24)

哪里

(25)

（J.Sondow，pers.comm.，2005年1月17日），其中是最大素数因素属于和是楼层功能.对于, 2, ...,由1、2、3、4、5、9、7、32、27、25、11、243。。。（组织环境信息系统A046021号). 的一些值第一次只出现在非常大的情况下。递增最大值的序列是1、2、3、4、5、9、32、243、4096、59049、177147、134217728、，…（OEIS）A092233号)，对应于, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 16, 24, 27, 32, ... （组织环境信息系统A092232号).

查找的编号为此注意，根据定义，是的除数但不是的。因此，要找到所有为此都有一个给定的值具有，取的所有除数集并省略的除数特别是属于为此对于确实是

(26)

哪里表示的除数，即除数函数因此整数具有,2, ... 由1、1、2、4、8、14、30、36、64、110。。。（组织环境信息系统A038024型).

特别是，方程式(26)显示了逆Smarandache函数始终存在，因为有一个具有（因此是最小的a（n）），因为对于.

Sondow（2006）表明出乎意料地出现在非理性之中e（电子）,并推测不等式等待几乎所有，其中“几乎所有人”的意思是除了一组密度为零。例外情况为2、3、6、8、12、15、20、24，30、36、40、45、48、60、72、80。。。（组织环境信息系统A122378号).

自几乎所有人（Erdős 1991，Kastanas 1994），其中是最大素数因素，一个等价的猜想是不等式几乎所有人都坚持例外情况为2、3、4、6、8、9、12、15、16、18、20、，24, 25, 27, 30, 32, 36, ... （组织环境信息系统A122380号).

D.Wilson指出，如果

(27)

是的力量首要的在里面，其中是基数之和-的位数，那么接下来就是

(28)

其中最小值被素数划分。当是最大素数因素属于.

另请参见

阶乘,最大素因子,伪随机数函数,Smarandache Ceil函数,斯马兰达凯常量,Smarandache-Kurepa函数,Smarandache Near-to-Primorial公司功能,Smarandache-Wagstaff函数

本条目的部分内容由乔纳森·桑多(作者的链接)

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更多需要尝试的事情：

工具书类

Akbik，S.“关于ErdőS的密度问题”国际数学杂志。科学。 22, 655-658, 1999.阿什巴赫，C。安Smarandache函数简介。爱荷华州锡达拉皮兹：决策标志，1995Ashbacher，C.“问题4616。”学校科学。数学。 97,221, 1997.Begay，A.“Smarandache Ceil函数”公告纯应用程序。科学。印度 第16页, 227-229, 1997.德科宁克，J.-M。和Doyon，N.“关于包含最大素因子的薄整数集功能。"国际数学杂志。数学。科学。第19期，第1185-1192页，2003年。杜米特里斯库，C.和Seleacu，V。这个Smarandache函数。亚利桑那州维尔：埃胡斯大学出版社，1996年。埃尔德，P.“问题6674。”阿默尔。数学。每月 98, 965, 1991.芬奇，S.“Smarandache函数的平均值。”斯马兰达克观念J。 10, 95-96, 1999.http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook10.pdf.芬奇，S.“Smarandache函数的矩”斯马兰达克观念杂志。 11,140-141, 2000.http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook11.pdf.芬奇，S.R.公司。“Golomb-Dickman常数”§5.4数学常量。英国剑桥：剑桥大学出版社，第284-292页，2003Smarandache函数的正常行为斯马兰达克观念杂志。 10, 81-86, 1999.http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/SNBook10.pdf.“函数在数论中。"http://www.gallup.unm.edu/~smarandache/FUNCT1.TXT公司.Hungerbühler，N.和Specker，E.“Smarandache函数的几个推广变量。"整数：电子J.组合数Th。 6，#A23，2006http://www.integers-ejcnt.org/vol6.html.Ibstedt，H。滑水数字的海洋——几个斯马兰达克的概念和类似的主题。勒普顿，亚利桑那州：埃尔胡斯大学出版社，第27-30页，1997年。Ivić，A.“关于包含的最大素因子的Erdõs问题

。”2003年11月5日。http://arxiv.org/abs/math.NT/0311056.卡斯塔纳斯，I.“问题6674的解决方案：最小阶乘是的倍数

."阿默尔。数学。每月 101,179, 1994.A.J.肯普纳。“杂项。”阿默尔。数学。每月 25, 201-210, 1918.Lucas，E.“问题编号288”数学三, 232, 1883.Neuberg，J.“问题的解决方案提案，问题编号288。”数学 7, 68-69, 1887.鲁伊斯，S.M.公司。“Smarandache函数应用于完美数字。”斯马兰达凯概念J。 10第114-155页，1999年a。S.M.鲁伊斯。“A结果使用Smarandache函数获得。"斯马兰达克观念杂志。 10,123-1241999b。Russo，F。A类数论中的新Smarandache函数、序列和猜想集。亚利桑那州勒普顿：美国研究出版社，2000年。Sandor，J.“关于某些涉及Smarandache函数的不等式。"论文摘要到Amer。数学。Soc公司。 17，1996年第583页。新泽西州斯隆。答：。序列A002034号/M0453，A038024型,A046021号,A046022号,A057109号,A092232号,A092233号,A094371号,A094372号,A094404号,A122378号、和122380英镑在“整数序列在线百科全书”中斯马兰达什，F.“数论中的函数”阿纳莱勒大学Timisoara，Ser。圣。数学。 43, 79-88, 1980.F.斯马兰达奇。论文集，第1卷。罗马尼亚布加勒斯特：坦普斯，1996年。F.斯马兰达奇。收集论文，第2卷。摩尔多瓦基希涅夫：基希涅夫大学出版社，1997年。索多，J.“一个几何证明

非理性及其非理性的新度量。"阿默尔。数学。每月 113, 637-641, 2006.Tutescu，L.“关于关于Smarandache函数的猜想。"论文摘要到Amer。数学。Soc公司。 17, 583, 1996.

参考Wolfram | Alpha

Smarandache函数

引用如下：

乔纳森·索多和埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Smarandache函数。”摘自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SmarandacheFunction.html

Smarandache函数

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