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施瓦兹不等式

让psi_1（x）和psi2（x）是任意两个真实的 可积的中的函数[甲，乙],那么施瓦兹不等式由下式给出

|<psi_1|psi_2>|^2<=<psi_1|psi_1><psi_2|psi_2>。
（1）

明确写出

[int_a^bpsi_1（x）psi_2（x）dx]^2<=int_a^b[psi_1（x）]^2dxint_a^b[psi_2（x）]^2dx，
(2)

平等地若（iff） psi_1（x）=αpsi_2（x）具有阿尔法a常量。施瓦兹不等式有时也被称为Cauchy-Schwarz不等式（Gradshteyn和Ryzhik 2000，第1099页）或Buniakowsky不等式（Hardy等。1952年，第16页）。

为了推导不等式，让磅/平方英寸（x）成为复数函数和λ一复杂的常数，以便psi（x）=f（x）+λ（x）对一些人来说如果和克.自intpsi ^_psidx>=0，其中z（z）^_是复共轭,

intpsi^_psidx=intf^_fdx+lambdaintf ^_gdx+λ^_intg^_fdx+λ，
(3)

当磅/平方英寸（x）=0.用简洁的符号写这个，

<f^_，f>+lambda<f^，g>+lambda^。
(4)

现在定义

λ=-（<g^_，f>）/（<g__，g>）
(5)
λ^_=-（<g，f^_>）/（<g^_，g>）。
(6)

乘法(4)由<g^_，g>然后插上电源(5)和(6)以获得

<f^_，f><g^_，g>--<g^_，f><g，f^_>+<g^，f>>=0，
(7)

它简化为

<g^_，f><f^_，g>
(8)

所以

|<f，g>|^2<=<f，f><g，g>。
(9)

贝塞尔不等式来自施瓦兹的不平等。

另请参阅

贝塞尔不等式,柯西氏不平等,霍尔德不等式

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M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。带公式、图形和数学表的数学函数手册，第9版。纽约：多佛，第11页，1972年。阿夫肯，G。数学物理学家方法，第三版。佛罗里达州奥兰多：学术出版社，第527-529页，1985Buniakowsky，V.“关于埃加利特的苏尔奎尔斯”序数整数与差额整数完成。"阿尔卡特梅莫尔。圣佩特斯堡（七） 1,1959年第9期，第4页。I.S.格雷斯泰恩。和I.M.Ryzhik。桌子积分、级数和乘积，第6版。加利福尼亚州圣地亚哥：学术出版社，第10992000页。哈代，G.H。；Littlewood，J.E。；和Pólya，G.《关于方法的进一步评论：施瓦兹不等式》§6.5不平等，第2版。英国剑桥：剑桥大学出版社，第132-134页，1952H.A.施瓦兹。“在弗拉钦·克莱因斯顿的生命中Flächeninhalts betreffends变分研究问题。"社会学报。科学。芬。 15, 315-362, 1885. 重印于Gesammelte数学Abhandlungen，第1卷。纽约：切尔西，第224-269页，1972年。

引用的关于Wolfram | Alpha

施瓦兹不等式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“施瓦兹的不平等。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SchwarzsInequality.html

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