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薛定谔数

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施罗德编号

薛定谔数S_n（_n）是的数字晶格路径在笛卡尔平面中，从（0，0）开始，到（n，n），线上方不包含点y=x、和仅由步骤（0，1）、（1，0）和（1，1） 即。，->,^、和->.显示生成路径的图表S_1号机组,S_2号机组、和S_3号机组如上图所示。

数字S_n（_n）由递推关系

S_n=S_（n-1）+总和_（k=0）^（n-1）S_kS_（n-1-k），
(1)

哪里S_0=1,前几个是2、6、22、90。。。（组织环境信息系统A006318号).十进制数字S_（10^n）对于n=0, 1, ... 是1、7、74、761、7650、76548、765543、7655504、，…（OEIS）A114472号)，其中数字接近那些log_（10）（3+2sqrt（2））=0.765551。。。（组织环境信息系统A114491号).

它们具有生成功能

G（x）=（1-x-sqrt（1-6x+x^2））/（2x），
(2)

这满足了

（1-x）G（x）-x[G（x
(3)

并有封闭式解决方案

S_n（_n）=2_2 F_1（-n+1，n+2；2；-1）
(4)
=-1/2C_（n+1）^（-1/2））（3）
(5)
=1/2[-P_（n-1）（3）+6P_，
(6)

哪里_2F_1（a，b；c；z）是一个超几何函数,C_n^（（k））（x）是一个盖根堡多项式的,P_n（z）是一个勒让德多项式、和(5)等待n> 1个.

Schröder数与Delannoy数作为加泰罗尼亚数字执行二项式系数.

另请参见

二项式系数,加泰罗尼亚数字,德拉努瓦编号,晶格路径,莫茨金编号,第页-好的道路,超级的加泰罗尼亚数字

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Bonin，J。；夏皮罗，L。；和Simion，R.“一些q个-组合数学中Schröder数的类比格路径统计。"J.统计规划推断 34,35-55, 1993.Moser，L.和Zayachkowski，W.“格点路径对角台阶。"脚本数学。 26, 223-229, 1963.佩戈拉，E.和Sulanke，R.A。“薛定谔三角形、路径和平行四边形波利米诺群岛。"J.整数序列 11998年第98.1.7号。http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL1/PergolaSulanke/.罗杰斯，D.G.公司。“Schröder三角。”组合数学V：第五届澳大利亚会议记录。纽约：Springer-Verlag，第175-196页，1977D.G.罗杰斯。和Shapiro，L.“一些涉及薛定谔数。"组合数学：国际会议，堪培拉，1977年。纽约：施普林格出版社，第267-276页，1978Schröder，E.“Vier kombinatorische Probleme”Z.公司。数学。物理学。 15, 361-376, 1870.新泽西州斯隆。答：。序列A006318号/M1659，A114472号,和A114491号在线百科全书整数序列的。"斯坦利，R.P。“希帕克斯、普鲁塔克、，霍格·施罗德。"阿默尔。数学。每月 104, 344-350, 1997.苏兰克，注册会计师。“关于Schröder路径的双射递归。”电子J.组合数学 51998年第1期，R47，1-11。http://www.combinatics.org/Volume_5/Abstracts/v5i1r47.html.

引用的关于Wolfram | Alpha

薛定谔数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“薛定谔数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SchroederNumber.html

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