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样本方差分布

让N个从具有以下特征的人群中采集样本中心力矩 多个（_n）.这个样本方差 平方米然后由给出

m_2=1/Nsum_（i=1）^N（x_i-m）^2，
(1)

哪里m=x^_是样本平均值.

的预期值平方米对于样本大小 N个然后由给出

<s^2>=<m_2>=（N-1）/Nmu_2。
（2）

同样，预期方差样本方差的由提供

<变量（s^2）>=<变量（m2）>
(3)
=（（N-1）^2）/（N^3）mu_4-（（N-l）（N-3）mu_2^2）
（4）

（Kenney and Keeping 1951，第164页；Rose and Smith 2002，第264页）。

导出方程的代数(4)手工操作相当乏味，但可以如下执行。首先要注意

var（x）=<x^2>-<x>^2，
(5)

所以

var（s^2）=<s^4>-<s^2>^2。
(6)

的价值<s^2>从方程中已经知道(◇), 所以它只留下来寻找<s^4>.代数被立即大大简化将变量转换为x_i^'=x_i-mu并对这些进行计算中心变量。因为方差不取决于平均值亩基本分布的结果，使用转换后的变量将给出相同的结果，同时立即消除含奇幂项和的期望值x _ i（等于0）。要确定<s^4>，展开方程式(6)以获得

<s^4>=<（s^2）^2>
(7)
=<（<x^2>-<x>^2）^2>
(8)
=<[1/Nsumx_i^2-（1/Nsumx_ i）^2]^2>
(9)
=1/（N^2）<（sumx_i^2）^2>-2/。
(10)

第一学期的工作(10),

<（总和_i^2）^2>=<sumx_i^4+sum_（i！=j）x_i|2x_j^2>
(11)
=<sum_i^4>+<sum_（i！=j）x_i^2x_j^2>
(12)
=N＜x_i^4＞+N（N-1）＜x_i^2＞＜x_j^2＞
(13)
=Nmu_4+N（N-1）mu_2^2。
(14)

第二任期(◇) 由提供

<总和_i^2（总和_j）^2>=<sumx_i^4+sum_（i！=j）x_i*2x_j^2+2sum_
(15)
=Nmu_4+N（N-1）mu_2^2，
(16)

第三学期

<（总和i）^4>=<总和_i^4+3sum_（i！=j）x_i^2x_j^2+4sum_
(17)
=<sum_i^4>+3<sum_（i！=j）x_i^2x_j^2>
(18)
=Nmu_4+3N（N-1）mu_2^2。
(19)

堵塞(◇)-(19)到(◇) 然后给出

<s^4>=1/（N^2）[Nmu_4+N（N-1）mu_2^2]-2/
(20)
=（1/N-2/（N^2）+1/（N^3））mu_4+[（N-1）/N-（2（N-1
（21）
=（（N^2-2N+1）/（N^3））mu_4+（（N-1）（N^2-N+3））/（N ^3）mu_2^2
(22)
=（（（N-1）[（N-1）mu_4+（N^2-2N+3）mu_2^2]）/（N^3）
(23)

（Kenney和Keeping，1951年，第164页）。堵塞(◇) 和(23)到(◇) 然后给出

var（s^2）=<s^4>-<s^2>^2
(24)
=（（N-1）[（N-l）mu_4-（N-3）mu_2^2]）/（N^3），
(25)

和以前一样。

样本方差分布

对于正态分布,mu_2=σ^2和mu_4=3sigma^4，所以

m_1（s_（高斯）^2）=（（N-1）σ^2）/N
(26)
m2（s_（高斯）^2）=（2（N-1）西格玛^4）/（N^2）。
(27)

第三和第四个时刻s_（高斯）^2由提供

m3（s_（高斯）^2）=（8（N-1）σ^6）/（N^3）
(28)
m_4（s_（高斯）^2）=（12（N-1）（N+3）σ^8）/（N^4），
(29)

给予偏斜度和峰态超越的分布s_（高斯）^2作为

gamma_1（s_（高斯）^2）=平方米（8/（N-1））
(30)
γ_2（s_（高斯）^2）=（12） /（N-1），
（31）

由学生计算得出。学生还推测，潜在分布是皮尔逊III型分布

f（s^2）=（（N/（2sigma^2））^，
(32)

哪里伽马（z）是伽马函数--后来的推测经R.A.证明。费希尔。曲线如上图所示σ=1和N个不同于N=1至10。

另请参见

平均分布,样品,样本方差,样品方差计算,标准偏差分布,方差

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工具书类

肯尼，J.F。和Keeping，E.S。统计学数学，第2部分，第2版。新泽西州普林斯顿：Van Nostrand，1951年。罗斯，C.和M.D.史密斯。数学数学统计学。纽约：Springer-Verlag，2002年。

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样本方差分布

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“样本方差分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/SampleVarianceDistribution.html

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