黎曼素数计数函数

黎曼定义了函数通过

（Hardy，1999年，第30页；Borwein等。2000; 哈维尔2003，第189-191和196-197页；德比郡2004年，第299页），有时表示,（爱德华兹2001年，第22和33页；德比郡2004年，第298页），或（哈维尔2003年，第189页）。注意，这不是一个无限级数，因为从开始变为零，以及其中是楼层功能和是以2为底的对数。对于, 2, ..., 前几个值是0、1、2、5/2、7/2、7/2，9/2, 29/6, 16/3, 16/3, ... （组织环境信息系统A096624号和A096625型). 可以看出，当是质数，跳跃1次；当它是素数的平方时，它会跳跃1/2；当它是素数的立方体时，它会跳跃1/3；等等（德比郡，2004年，第300-301页），如上所示。

令人惊讶的是素数计数函数 与相关由莫比乌斯变换

哪里是莫比乌斯函数（里塞尔1994年，第49页；哈维尔2003年，第196页；德比郡2004年，第302页）。更令人惊讶的是，与连接黎曼-泽塔函数 通过

（里塞尔，1994年，第47页；爱德华兹，2001年，第23页；德比郡，2004年，第309页）。也由以下公式给出

哪里是黎曼-泽塔函数、和(5)和(6)表格a梅林变换一对。

Riemann（1859）提出

哪里是对数积分总和是覆盖所有非平凡零的黎曼泽塔功能 （马修斯1961，第10章；兰道1974，第19章；英格姆1990年，第4章；哈代1999年，第40页；博尔文等。2000; 爱德华兹2001年，第33-34页；哈维尔2003年，第196页；德比郡2004年，第328页）。事实上，由于根的和只是条件收敛的，所以必须按顺序求和的增加即使在配对术语时和他们的“双胞胎”，所以

（爱德华兹2001年，第30和33页）。

该公式随后由Mangoldt（1895年；Riesel 1994年，第47页；Edwards 2001年，第48和62-65页）证明。右侧积分收敛只为,但由于没有小于2的素数，所以唯一有趣的值是.由于它是单调递减的，因此最大值出现在，具有价值

（组织环境信息系统A096623号; 德比郡2004年，第329页）。

黎曼还考虑了该函数

有时也表示（博尔文等。2000），通过替换获得在Riemann函数中对数的完整的 ，其中是黎曼泽塔功能和是莫比乌斯函数（哈代1999年，第16和23页；博文等。2000; 哈维尔2003年，第198页）。在上面绘制，包括在半对数刻度上（底部两个图），其中说明了这样一个事实原点附近有一系列零。这些发生在对于（组织环境信息系统A143530号), 15300.7, 21381.5, 25461.7,32711.9, 40219.6, 50689.8, 62979.8, 78890.2, 98357.8, ..., 对应于（组织环境信息系统A143531号),,,,,,,,,, ....

数量如上图所示。

此功能在沃尔夫拉姆语言作为黎曼R[x个].

Ramanujan独立推导了，但不严格（Berndt 1994，p.123；Hardy 1999，第23页）。下表进行了比较和对于小型.黎曼推测（Knuth 1998，第382页），但这被证明是错误的1914年由利特伍德（Hardy and Littlewood，1918）创作。

黎曼素数计数函数与克系列

哪里是黎曼-泽塔函数（哈代1999年，第24-25页），但革兰氏系列远不止这些易于进行数值计算。例如，上面的图显示了差异哪里使用Wolfram语言的内置的NSum公司命令（黑色）并使用第一个（蓝色），（绿色），（黄色），（橙色），和（红色）点。

在表格中，表示最近的整数函数注意，Hardy（1999年，第26页）为不正确。

黎曼函数与首要的计数函数通过

其中总和覆盖所有复（非平凡）零属于（Ribenboim 1996），即临界带钢所以,解释为平均值

然而，没有证据表明(12)似乎存在于文学（博尔文等。2000).