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Riemann-Siegel公式


Riemann-Siegel公式是Riemann发现(但未发表)的一个公式,用于计算黎曼-西格尔功能 θ(t).该公式随后被C.L.在黎曼论文的档案中发现。西格尔(爱德华兹2001年,第136页;德比郡2004年,第257和263页)并出版西格尔于1932年创作。

黎曼-西格尔公式指出

 Z(t)~2sum_(k=1)^(nu(t))1/(sqrt(k))cos[theta(t)-tlnk]+R(t),
(1)

哪里

nu(吨)=|_平方米(吨/(2pi))_|
(2)
R(吨)=(-1)^(nu(t)-1)(t/(2pi))^
(3)
ck(p)=[omega^k]{exp[i(ln(t/(2pi))-1/2t-1/8pi-theta(t))]×[y^0][(sum_(j=0)
(4)
A_0(年)=e^(2位^2)
(5)
A_j(y)=-1/2yA_(j-1)(y)-1/(32pi^2)(部分^2)/
(6)
磅/平方英寸(磅)=(cos[2pi(p^2-p-1/(16))])/(cos(2pip))
(7)

|_x个_|楼层功能(爱德华兹2001),以及【y^k】系数表示法.前几个术语ck(p)由提供

c0(p)=磅/平方英寸(p)
(8)
c1(p)=-(psi^((3))(p))/(96pi^2)
(9)
c2(p)=(磅平方英寸(英寸)(磅)/(64磅平方英寸)+(磅平方英尺((6))/(18432磅平方英寸4)
(10)
c3(p)=-(磅/平方英寸)/(64pi^2)-(磅/立方英寸(5))/(3840pi^4)-(psi^(9))
(11)
c4(p)=(磅/平方英寸)/(128pi^2)+(19psi(4))/(24576pi^4)+(11psi(8))
(12)
c_5(p)=-(5psi^((3))(p))/(3072pi^4)-。
(13)

分子和分母为1,-1, 1, 1,-1,-1,-1, 1, 19, 11, 1,-5,-901, ... (组织环境信息系统A050276号)和196、64、18432、64、3840、5308416、128。。。(组织环境信息系统A050277号),分别是。

它是基于对积分的评估

磅/平方英寸(磅)=(e^(ipi/8)e^
(14)
=(cos[2pi(p^2-p-1/(16))])/(cos(2pip)),
(15)

也表示为磅/平方英寸(磅),哪里伽马射线是斜率1的线段,从右上角指向左下角,横穿0和之间的虚轴2个像素(爱德华兹2001年,第147页)。

Riemann和Siegel提出的另一个公式是Riemann1859年的开创性论文中提出的公式,

 (pi(x)-Li(x))/(sqrt(x)/(lnx))约为-1-2sum_(S中的γ)(sin(γ))/γ,
(16)

哪里π(x)素数计数函数,李(x)对数的完整的、和S公司是一组伽马射线这样的话γ>01/2+igamma是的(非平凡)零黎曼ζ函数 ζ(s)这里,左边是李(x)作为首要的计数功能通过误差项的表观大小(Borwein和Bailey 2003,第68页)。


另请参见

对数积分,素数计数函数,Prime(主要)数字定理,Riemann-Siegel函数,Riemann-Siegel积分公式,Riemann-von-Mangoldt公式,黎曼Zeta函数

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Borwein,J.和Bailey,D。实验数学:21世纪的合理推理。马萨诸塞州韦尔斯利:AK Peters,第68页,2003年。Borwein,J。;Bailey,D。;和Girgensohn,R。实验数学:发现的计算途径。马萨诸塞州韦尔斯利:A K Peters,2004J.德比郡。Prime(主要)迷恋:伯恩哈德·里曼和数学中最伟大的未解决问题。纽约:企鹅出版社,2004年。爱德华兹,H.M。“Riemann-Siegel公式。“第7章英寸黎曼氏Zeta函数。纽约:多佛,第136-170页,2001年。格兰维尔,A.和Martin,G.,《素数竞赛》,2004年8月24日。http://www.arxiv.org/abs/math.NT/0408319.黎曼,G.F.公司。B。“安扎尔·德·普里姆扎赫伦(Anzahl der Primzahlen unter gegebenen)是我们的朋友格里斯。"莫纳茨伯。科尼格尔。普劳斯。阿卡德。威斯。柏林, 671-680,1859年11月。重印于达斯Kontinuum和Andere专题论文(编辑H.Weyl)。纽约:切尔西,1972年。斯隆,新泽西州。答:。序列A050276号A050277号在“在线整数百科全书”中序列。"

参考Wolfram | Alpha

Riemann-Siegel公式

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Riemann-Siegel公式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFormula.html

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