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Riccati微分方程


有许多方程被称为Riccati微分方程。最常见的是

 z^2w^('')+[z^2-n(n+1)]w=0
(1)

(Abramowitz和Stegun 1972年,第445页;Zwillinger 1997年,第126页),其中有解决方案

 w=Azj_n(z)+Bzy_n(z),
(2)

哪里jn(z)y_n(z)球贝塞尔函数第一个的第二种类.

另一个Riccati微分方程是

 (dy)/(dz)=az^n+乘以^2,
(3)

只有当n=-4米/(2米+/-1)对于m=01, 2, ....

另一个Riccati微分方程是

 w^'=P(z)+Q(z)w+R(z)w^2,
(4)

哪里w^'=dw/dz(Boyce和DiPrima,1986年,第87页)。转变

 w=-(y^')/(yR(z))
(5)

导出二阶线性齐次方程

 R(z)y^(“”)-[R^'(z)+Q(z)R(z。
(6)

如果是特定的解决方案第1周至(4)是已知的,然后是更一般的包含单个任意常数的解可以从

 w=w_1(z)+1/(v(z)),
(7)

哪里v(z)是一阶的解决方案线性的方程式

 v^'=-[Q(z)+2R(z)w_1(z)]v-R(z)
(8)

(Boyce和DiPrima,1986年,第87页)。这一结果归功于1760年的欧拉。


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工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。(编辑)。《Riccati-血管功能》第10.3节手册《数学函数与公式、图形和数学表》,第9次印刷。纽约:多佛,第445页,1972年。C.M.本德。和S.A.Orszag。§1.6英寸高级科学家和工程师的数学方法。纽约:McGraw-Hill,1978博伊斯,W.E。和DiPrima,R.C。初级微分方程和边值问题,第4版。纽约:威利,1986波义耳,P.P。;田伟。;和Guan,F.“Riccati方程数学金融。"J.塞姆。计算。 33, 343-355, 2002.上光器,J·W·。L。“关于Riccati方程。”夸脱。J.纯应用。数学。 11267-273, 1871.戈德斯坦,M.E。和W.H.Braun。高级微分方程的求解方法。NASA SP-316。华盛顿,DC:美国政府印刷局,第45-46页,1973年。因斯,E.L。普通微分方程。纽约:多佛,第23-35和295页,1956年。里德,W.T.公司。里卡蒂微分方程。纽约:学术出版社,1972年。西蒙斯,G.F.公司。有差别的方程及其应用和历史注释。纽约:McGraw-Hill,第62-631972页。Zwillinger,D.(编辑)。CRC公司标准数学表格和公式。佛罗里达州博卡拉顿:CRC出版社,第414页,1995Zwillinger,D.“Riccati方程——1和Riccati公式——2。”§II。A.75和II。A.76英寸手册微分方程,第3版。马萨诸塞州波士顿:学术出版社,第121页和288-2911997年。

参考Wolfram | Alpha

Riccati微分方程

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“Riccati微分方程。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/RiccatiDifferentialEquation.html

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