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留数定理

安解析函数 f（z）谁的洛朗级数由提供

f（z）=总和_（n=-infty）^inftya_n（zz_0）^n，
(1)

可以使用闭合的轮廓 伽马射线环绕z0（零）,

int_gammaf（z）dz=sum_（n=-infty）^（infty）a_nint_gamma（zz0）^ndz
(2)
=sum_（n=-infty）^（-2）a_nint_gamma（zz0）^ndz+a_（-1）int_gama（dz）/（zz_0）+sum_。
(3)

这个柯西积分定理要求第一项和最后一项消失了，所以我们有

intγ（z）dz=a（-1）intγ（dz）/（zz0），
(4)

哪里a_（-1）是复合残渣.使用轮廓 z=伽马（t）=e^（it）+z0给予

int_gamma（dz）/（zz0）=int_0^（2pi）（即^（it）dt）/（e^（it））=2pii，
(5)

所以我们有

int_gammaf（z）dz=2piia（-1）。
（6）

如果轮廓伽马射线包含多个极点，则该定理给出了一般结果

int_gammaf（z）dz=2piisum_（a in a）Res_（z=a_i）f（z，
(7)

哪里A类是包含在轮廓内的一组极点。因此，这个惊人的定理表示轮廓积分对于任何中的轮廓复平面取决于只有关于几个非常特殊点的性质里面轮廓。

留数定理

上图显示了应用于所示的轮廓 伽马射线和功能

f（z）=3/（（z-1）^2）+2/（z-i）-2/（z+i）+i/（z+3-2i）+5/（z+1+2i）。
(8)

只有极在1和我包含在轮廓中，其残差为0和分别为2。的值轮廓积分因此，由

int_gammaf（z）dz=2pii（0+2）=4pii。
(9)

另请参见

柯西积分公式,柯西积分定理,复杂残留,轮廓,轮廓完整的,轮廓集成,组留数定理,Laurent系列,电杆

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Knopp，K.“留数定理”，第33节理论功能第一部分和第二部分，两卷合订为一，第一部分。纽约：多佛，第129-1341996页。S.G.将军。“留数定理。”§4.4.2英寸手册复杂变量。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第48-49页，1999年。

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留数定理

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“留数定理。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Resident Theorem.html

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