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可靠性多项式

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让G公司是一个图，假设G公司以固定概率独立删除0≤p≤1然后是没有连接组件的概率属于G公司因此断开连接，表示C（p）被称为可靠性多项式G公司.

可靠性多项式可直接表示为图特多项式的给定图形的

C（p）=（1-p）^（n-C）p^（m-n+C）T（1，p^，
(1)

哪里n个是顶点数，米边缘计数，以及c（c）连接组件的数量（Godsil和Royle 2001，第358页；错误已纠正）。这相当于定义

C（p）=总和_（j=1）^ma_j（1-p）^jp^（m-j），
(2)

哪里阿吉是原始图的子图数量G公司确实有j个边和其中的每对节点G公司由子图中的边的路径连接S公司（即。，S公司已连接并且|S |=n)，这是佩奇和佩里（1994）的定义做出改变后p->1-p.

例如彼得森图表由提供

C（p）=（1-p）^9（704p^6+696p^5+390p^4+155p^3+45p^2+9p+1）
(3)

（Godsil和Royle，2001年，第355页）。

下表总结了具有闭式可靠性多项式的简单图类。在这里，t=平方（1+2x+9x^2）.

图表C（p）
香蕉树（x-1）^（nk）
周期图表 C_n（_n）（1-p）^（n-1）[1+（n-1
齿轮图（（p-1）^（2n）[（-t+3p+1）^n+（t+3p+1”^n-2^（n+1）p^n]）/（2^n）
梯形图（（p-1）^（2n-1））/（2^nsqrt（p（9p+2）+1））[（3p-sqrt（p（9p+1）+1）*1）^n-（3p+sqrt
全景图（1-p）^n[1+（n-1）p]
路径图 P_n（_n）（1-p）^（n-1）
明星图表 S_n（_n）（1-p）^（n-1）
日出图 C_n圆圈K_1（1-p）^（2n-1）[（1+（n-1）p]

下表总结了一些简单图类的可靠性多项式的递推关系。

图表秩序重现
循环图 C_n（_n）2pn（x）=-2（x-1）p_（n-1）（x）-（x-1
齿轮图三pn（x）=（4x+1）（x-1）^2p_（n-1）（x）-x（3x+2）
梯形图 L_n（L_n）2pn（x）=（3x+1）p（n-1）（x）-xp（n-2）（x
全景图2pn（x）=-2（x-1）p（n-1）-（x-1”^2p（n-2）（x）
路径图 P_n（_n）1pn（x）=（1-x）p（n-1）（x）
星形图 S_n（_n）1p_n（x）=（1-x）p（n-1）（x）
日出图 C_n圆圈K_12pn（x）=2（x-1）^2p_（n-1）（x）-（x-1
车轮图表 W_n（n）三pn（x）=-（3x+1）（x-1）p_（n-1）（x）-2x（x+1）

非同构图不一定具有不同的可靠性多项式。下表总结了一些联合可靠性图。

n个可靠性多项式图
4-（-1+x）^3爪图表,路径图 第4页
5（-1+x）^4分叉图,路径图表 第5页,星形图 S_5号机组
5（-1+x）^4（1+2x）布尔图,板球图表,(3,2)-蝌蚪图
5（-1+x）^4（1+3x+4x^2）省道图,风筝图表

另请参见

秩多项式,图特多项式的

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工具书类

J.I.布朗。和科尔本，C.J。“可靠性多项式的根。”SIAM J.光盘。数学。 5, 571-585, 1992.查里，M.和Colbourn，C.，《可靠性多项式：一项调查》J.组合。通知。系统科学。 22, 177-193, 1997.科尔伯恩，C.J。网络可靠性的组合数学。纽约：牛津大学出版社，1987Ellis-Monaghan，J.A。和Merino，C.“图多项式及其应用I：Tutte多项式。“2008年6月28日。http://arxiv.org/abs/0803.3079.戈德西尔，C.和Royle，G。代数图论。纽约：Springer-Verlag，第354-358页，2001年。第页，L.B.公司。和J.E.佩里。“可靠性多项式和链接重要性在网络中。"IEE事务。可靠性 43, 51-58, 1994.罗伊尔，G。；Alan，A.D。；和Sokal，D.“关于零的Brown-Colbourn猜想可靠性多项式为假。"J.Combina.Th.，序列号。B 91,345-360, 2004.

参考Wolfram | Alpha

可靠性多项式

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“可靠性多项式。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/ReliabilityPolynomial.html

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