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四次方程

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四次方程是四阶方程多项式的方程式 表单的

z^4+a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0。
(1)

虽然一些作者（Beyer 1987b，p.34）使用了“双二次方程“作为四次方程的同义词，其他人（Hazewinkel 1988，Gellert等。1989）为没有立方项的四次方程保留项，即a二次方程在里面x ^2（x ^2）.

法拉利是第一个开发出求解一般四次方程的代数技术的人，该技术被窃取并发表在Cardano的大衍术1545年（博伊尔和默兹巴赫1991年，第283页）。这个Wolfram语言可以使用内置命令精确求解四次方程解决[a4类x^4+a3 x^3+a2 x^2+a1 x+a0==0,x个]. 解决方案还可以是表示为Wolfram语言首次发布的代数根对象设置选项[根,石英->假].

这个根这个方程的满足维埃塔的公式:

x_1+x_2+x_3+x_4=-a_3
(2)
x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x2x_4+x_3x_4=a_2
(3)
x_1x_2x_3+x_2x3x_4+x_1x2x_4+x_1x_3x_4=-a_1
(4)
x_1x_2x_3x_4=a_0，
(5)

右边的分母都是a_4=1.用标准形式写出四分音符

x^4+px^2+qx+r=0，
(6)

的属性对称多项式出现在维埃塔公式然后给予

z_1^2+z_2^2+z _3^2+z _4^2=-2便士
(7)
z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3=-第3季度
(8)
z_1^4+z_2^4+z _3^4+z _4^4=2p^2至4r
(9)
z_1^5+z_2^5+z _3^5+z _4^5=5个。
(10)

消除第页,q个、和第页分别给出了关系

z_1z_2（p+z_1^2+z_1z_2+z_2^2）-r=0
(11)
z_1^2z_2（z_1+z_2）-qz_1-r=0
(12)
q+pz_2+z_2^3=0，
(13)

以及它们的循环排列。

法拉利是第一个开发出求解一般四次方程的代数技术的人。他将自己的技术（被卡达诺偷走并出版）应用于方程式

x^4+6x^2-60x+36=0
(14)

（史密斯，1994年，第207页）。

这个x ^3（x ^3）项可以从一般四次曲线中消除(◇) 通过进行替换表单的

z=xλ，
(15)

所以

x^4+（a_3-4λ）x^3+（a_2-3a_3λ+6λ^2）x^2+（a_1-2a_2lambda+3a_3lambda^2-4lambda*3）x+（a_0-a_1lambda+a_2lampda^2-a_3labbda^3+lambda_4）。
(16)

出租λ=a_3/4所以

z=x-1/4a_3
(17)

然后给出标准形式

x^4+px^2+qx+r=0，
(18)

哪里

第页=a_2-3/8a_3^2
(19)
q个=a_1-1/2a_2a_3+1/8a_3^3
(20)
第页=a_0-1/4a_1a_3+1/（16）a_2a_3^2-3/（256）a_3^4。
(21)

四次函数可以通过将其写成一般形式来求解，这种形式允许它在代数上可分解，然后找到将其写为这种形式的条件。为了使其可分解，必须求解的方程称为预解液立方体的。要做到这一点，请注意，如果可以写入四次曲线，则四次曲线将是可分解的作为两个平方项的差，

P^2-Q^2=（P+Q）（P-Q）。
(22)

事实证明，这种形式的因子分解可以通过加法和减法得到x^2u+u^2/4（其中u个目前是任意数量，但将指定简而言之）到等式(◇) 以获得

（x^4+x^2u+1/4u^2）-x^2u-1/4u^2+px^2+qx+r=0。
(23)

这个等式可以重写

（x^2+1/2u）^2-[（u-p）x^2-qx+（1/4u^2-r）]=0
(24)

（Birkhoff和Mac Lane，1966年）。注意，第一项立即是一个完美的正方形第2页具有

P=x^2+1/2u，
(25)

第二项是一个完美的正方形问题^2如果u个是为了使广场能够在

Q^2=（u-p）（x^2-Q/（u-p-）x+（1/4u^2-r）/（u-p））。
(26)

这意味着我们想要

Q^2=（u-p）（x-sqrt（（1/4 u^2-r）/（u-p））^2
(27)

这就要求

2sqrt（（1/4u^2-r）/（u-p））=q/（u-p），
(28)

或

q^2=4（u-p）（1/4 u^2-r）。
(29)

这是预解立方.

由于已知立方体的解析解，我们可以立即用代数方法求解方程的三个解之一(29)，说吧u_1，和堵塞方程(29)转化为等式(26)然后给出

Q=Ax-Q/（2A）
(30)

具有

A=平方（u_1-p）。
(31)

问因此是线性的x个和P（P）为平方英寸x个，所以每个术语P+Q公司和P-Q公司是二次的，可以使用二次的公式从而给出原始四次曲线的所有四个解。

明显地，堵塞第页,q个、和第页返回到(◇) 给予

u^3+（3/8a_3^2-a_2）u^2+（3/（64）a_3^4-1/4a_2a_3^2+a_1a_3-4a_0）u+（1/（512）a_3,6-1/（64）a_2a_3 ^4+1/8a_1a~3^3/2a_0a_3^2+4a_0a_2-a_1^2）。
（32）

这可以通过进行替换来简化

u=y-1/8a_3^2，
(33)

它给出了解决方案三次方程

y^3-a_2y^2+（a_1a_3-4a_0）y+（4a_2a_0-a_1^2-a_3^2a_0。
(34)

让y_1成为真实的 根第页，共页(34),然后是四个根原始四次曲线的这个根方程式的

x^2+1/2（a3+/-平方（a3^2-4a2+4y_1））x+1/2（y_1+/-平方（y_1^2-4a-0））=0，
(35)

哪些是

z_1=-1/4a_3+1/2R+1/2D
(36)
z_2型=-1/4a_3+1/2R-1/2D
（37）
z3型=-1/4a_3-1/2R+1/2E
(38)
z4型=-1/4a_3-1/2R-1/2E，
(39)

哪里

R（右）=平方（1/4a_3^2-a_2+y_1）
(40)
D类=R！=0的{sqrt（3/4a_3^2-R^2-2a_2+1/4（4a_3a_2-8a_1-a_3^3）R^（-1））；R=0的sqrt
(41)
E类=R！=0的{sqrt（3/4a_3^2-R^2-2a_2-1/4（4a_3a_2-8a_1-a_3^3）R^（-1））；R=0的sqrt
(42)

（Abramowitz和Stegun 1972年，第17页；Beyer 1987年a，第12页）。这个结果是有时被称为四次公式.

求解四次曲线的另一种方法(◇) 定义

阿尔法=（x_1+x_2）（x_3+x_4）=-（x_1+x_2）^2
（43）
贝塔=（x_1+x_3）（x_2+x_4）=-（x_1+x_2）^2
(44)
伽马射线=（x1+x4）（x2+x3）=-（x2+x3）^2，
(45)

第二种形式从

x_1+x_2+x_3+x_4=-a_3=0，
(46)

并定义

小时（x）=（xα）（xβ）（xγ）
(47)
=x^3-（α+β+γ）x^2+（α-β+α-γ+β）x-α-β。
(48)

这个方程可以用原始系数表示第页,q个、和第页作为

h（x）=x^3-2px^2+（p^2-4r）x+q^2。
(49)

这件事的根源三次方程然后给予阿尔法,贝塔、和伽马射线和方程式(◇) 至(◇) 可以解决对于四个根x _ i原四重奏（福塞特1996）。

另请参见

双二次方程,三次方程,多项式的歧视性的,二次方程,四分位数公式,五次方程

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。“四次方程的解”，第3.8.3节手册《数学函数与公式、图形和数学表》，第9次印刷。纽约：多佛，第17-18页，1972年。M.Berger§16.4.1-16.4.11.1在里面几何形状一、。纽约：Springer-Verlag出版社，1987年。Beyer，W.H。CRC公司标准数学表，第28版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，第12页，1987年a。Beyer，W.H。《数学科学手册》，第6版。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，1987年b。G.Birkhoff和S.Mac Lane。A类《现代代数概论》，第5版。纽约：麦克米伦出版社，第107-108页，1996Borwein，P.和Erdélyi，T.“四次方程”中的§1.1.E.1e多项式和多项式不等式。纽约：Springer-Verlag，第4页，1995年。博伊尔，C.B.公司。和密苏里州默兹巴赫。A类数学史，第二版。纽约：Wiley，第286-287页，1991年。埃利希，G.§4.16英寸基础抽象代数的概念。马萨诸塞州波士顿：PWS Kent，1991年。水龙头，W.M.公司。“一般四次方解的几何解释多项式的。"阿默尔。数学。每月 103, 51-57, 1996.盖勒特，W。；哥特瓦尔德，S。；海尔威奇，M。；Kästner，H。；和Künstner，H.（编辑）。越南卢比简明数学百科全书，第二版。纽约：Van Nostrand Reinhold，1989Hazewinkel，M.（管理编辑）。百科全书数学：苏联“数学”的更新和注释翻译百科全书。"荷兰多德雷赫特：雷德尔，1988年。数学页。“将Quartics减少为Cubics。”http://www.mathpages.com/home/kmath296.htm.Smith，D.E.博士。A类数学参考书。纽约：多佛，1994年。范德瓦尔登，B.L.公司。§64英寸代数，第1卷。纽约：Springer-Verlag，1993年。

参考Wolfram | Alpha

四次方程

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“四次方程。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html

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