二次曲线判别

给一个将军二次曲线

数量称为判别式，其中

并在以下条件下保持不变旋转.使用系数从二次方程式对于旋转一个角度,

现在让我们

和使用

重写素数变量

发件人(16)和(18)，因此

与结合(17)产量，任意

因此在旋转下是不变的。因此，该不变量为确定由二次的曲线.选择制造（请参见二次方程)，曲线的形状

配方法以及定义新的变量给予

在不失概括性的情况下要积极。判别式是

现在，如果,然后和两者的符号相同，方程的一般形式为椭圆（如果和是积极的）。如果，然后和符号相反，方程具有一般形式的双曲线.如果，然后要么或为零，方程的一般形式为抛物线（如果非零 或为正）。由于鉴别器是不变的结论也适用于任意选择，所以当替换为原来的一般结果是

1.如果,方程式表示椭圆，一个圆圈（退化椭圆)，一个指向（退化圆圈)、或没有图形。

2.如果,方程式表示双曲线或一对交叉线（退化双曲线).

3.如果,方程式表示抛物线，一个线（退化抛物线)，一双平行的，平行的线（退化抛物线)、或没有图形。