素数算术级数

素数的算术级数是一组素数表单的 用于固定和和连续即。，例如，199、409、619、829、1039、，1249、1459、1669、1879、2089是一个有差素数的10项算术级数210

长期以来，人们一直猜测存在任意长的素数在里面算术级数（盖伊，1994年）。作为早在1770年，拉格朗日和沃林就研究了的算术级数素数必须是。1923年，哈代和利特伍德（1923）制作一个被称为k个-元组猜想关于首要的星座包括存在无限长的假设素数级数是一个特例。重要的附加理论随后，范德科尔普特（1939）取得了进步，他证明了这一点算术级数中无穷多个素数三元组，以及Heath-Brown（1981），他证明了无穷多的四项级数由三项组成素数和一个素数或半素数.

然而，尽管做了这些努力，任意长素数序列的一般结果的证明仍然是一个公开的猜测（Guy 1994，p.15）。谢谢对于本·格林和特伦斯·陶的新作品来说，这个猜想似乎终于得到了证实以积极的态度解决问题。在最近出版的预印本中，Green和Tao（2004）使用一个重要的结果Szemerédi的定理结合Goldston和Yildirim最近的工作原理”和48页密集的技术数学，显然要建立素数包含算术级数的基本定理长度的为所有人（Weisstein，2004年）。然而，证据是非结构性的.

让是的递增算术级数 素数差异最小.如果首要的 不可分割，然后是的元素必须假设所有剩余模具体来说必须可以除以.自只包含素数，此元素必须等于.

让素数 表单的 小于表示.然后

哪里是对数积分和是指向函数.

让表示素数阶乘属于.那么如果，一些素数不可分割和那个素数在中因此，为了确定有，只需要检查有限数量的可能（那些有并包含素数)看看它们是否只包含素数。如果没有，那么.如果,那么不能覆盖任何素数的所有残留物. Thek个-元组猜想然后断言有无穷多个素数的算术级数差异.

计算表明，一组或更多素数在算术级数中,2, 3, ... 是0、1、2、6、6、30、150、210、210、2310、30030、30030和30030，30030, 510510, ... （组织环境信息系统A033188号、里贝博伊姆1989年，Dubner和Nelson，1997年）。最大值为是严格的，而余数是下限假设k个-元组猜想并简单地由.的算术级数的最小第一项素数差异最小是2、2、3、5、5、7、7、199、199和60858179，147692845283, 14933623, 834172298383, ... （组织环境信息系统A033189号;威尔逊）。

对于非最小值，可能存在较小的第一项-术语进展。示例包括8个学期的进步对于,1, ..., 7，12学期进展对于, 1, ..., 11（Golubev 1969，Guy 1994）和13项算术进展对于, 1, ..., 12（盖伊，1994年）。

下表总结了已知的最大算术级数小素数，其中

安德森维护了一个更完整的表格。

最小的六个序列连续的 素数在算术级数中是

对于,1, ..., 5（Lander和Parkin，1967年；Dubner和Nelson，1997年）。

已知最大的三起案件连续的算术级数中的素数是对于,1，2，由T.Alm，H.Rosenthal，J.K.发现。安徒生和R.Ballinger2003年。

已知的最大序列连续的 素数在里面算术级数（即，所有级数中第一个学期和最后一个学期之间的数字，成员除外他们自己，是复合的）是十，由

对于,1, ..., 9（OEIS）A033290号)哈维发现的Dubner、Tony Forbes、Manfred Toplic、，等人。1998年3月2日。根据杜布纳等。，以前需要将计算机速度提高数万亿倍搜索由11个连续素数组成的序列是实用的，因此他们希望十次世界纪录将持续很长一段时间。

这打破了1998年1月15日由同一调查人员创下的连续九个素数的记录，

对于,1, ..., 8（现在已知九的两个序列），八个连续的级数素数由

对于,1, ..., 7，由哈维·杜布纳、托尼·福布斯发现，等人。11月7日，1997年（现在已知几个），7的级数由

对于,1, ..., 6，由H.Dubner和H.K.发现。Nelson于8月29日，1995年（Peterson 1995年，Dubner和Nelson 1997年）。