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庞塞莱的色情

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蓬塞莱特综合症

如果n个-侧面的Poncelet横向为给定的两个构造圆锥截面一个原点闭合，它对原点的任何位置都是闭合的。具体来说，给定一个椭圆在另一个内部，如果存在一个外切的（同时外刻内刻）n个-gon，然后是外部边界上的任意点椭圆是某个顶点外切的 n个-多边形。如果圆锥曲线被视为一个圆（凯西1888年，第124-126页）然后是一个既有内切点又有外切点的多边形（对于该多边形横截面因此闭合）称为双中心的多边形.

令人惊讶的是，这个问题与Gelfand的问题（King 1994）。

庞塞莱的porism对角线

对于平面多边形，对角线在极限点对于两个圆，而对于奇边多边形，连接线相反切点的顶点在限制指向.

Poncelets Porism反转

颠倒两者之一极限点给出了两个同心圆。然而n个-在这个过程中，直角边变成了圆弧，所以这个有点简单反转不提供自动定理的证明（如斯坦纳多孔性，例如）。

Fuss（1792）导出的公式不仅适用于双中心四边形，但也有双中心五角形，六角形，七边形、和八角形正如斯坦纳（Fuss 1792；Jacobi 1823；Steiner1827; Dörie 1965，p.192）。Chaundy（1923）为n=3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18、20以及错误其他几个值的表达式（Kerawala 1947）。Richelot推导出了这个表达式对于n=11.事实上，有一个关于外半径 R（右），入侵的 对和之间的偏移圆心和插入器 d日对于双中心多边形。鉴于R（右），对、和d日，定义

一=1/（R+d）
(1)
b条=1/（R-d）
(2)
c（c）=1/r。
(3)

请注意，自对，R（右）、和d日是正数d<R，0<a<b.

现在让我们

λ=1+（2c^2（a^2-b^2））/（a^2（b^2-c^2）
(4)
欧米茄=cosh^（-1）λ，
(5)

并定义椭圆模量 k个通过

k^2=1-e^（-2兆）。
(6)

那么n个-将是双中心的

sc（（K（K））/n，K）=（csqrt（b^2-a^2）+bsqrt（c^2-a*2））/（a（b+c）），
(7)

哪里sc（x，k）是一个雅可比椭圆函数和K（K）是一个完成第一类椭圆积分（里奇洛1830年，科拉瓦拉1947年）。科拉瓦拉（1947）能够以简单明确的形式建立许多porism，而无需诉诸椭圆函数的使用。

PonceletsClosureConst公司

对于上述两个圆，内圈上的切线可以通过求解确定

（x2-x1）·（x2-x0）=0，
(8)

哪里

x_0个=[d；0]
(9)
x_1=[科斯特塔；辛西塔]
(10)
x2个=[d+rcospi；rsinphi]，
(11)

对是内圆的半径，x个是内圈的偏移量，θ是外部的给定位置圆，和φ是切线发生时围绕内圆的角度。采取点产品简化给出了

r+dcospi-cos（phi-theta）=0。
(12)

当这一问题得到解决时φ，该线的延伸点相交使用a的标准方程可以再次找到外圆圆形线交叉.

学位dn（数字）代数方程的一，b条、和c（c）对于n=3, 4, ..., 是1、2、3、4、6、8、9、12、15、16、21、24、24，32, 36, ... （组织环境信息系统A002348号; 科拉瓦拉1947）。让素因子分解属于n个写成

n=2^（alpha_0）产品_（i）p_i^（α_i），
(13)

然后dn（数字）通常由以下公式给出

d_n=（4^（alpha_0））/8产品_（i）p_i^（2（alpha_i-1））（p_i~2-1）。
(14)

在以下表达式中，写出

e_0（电子_ 0）=a+b+c
(15)
电子1=-a+b+c
(16)
电子2=a-b+c
(17)
电子3=a+b-c
(18)
E_1（E_1）=-a^2+b^2+c^2
(19)
E_2（E_2）=a^2-b^2+c^2
(20)
E_3（E_3）=a^2+b^2-c^2
(21)
F_1级=-E_2E_3+E_3E_1+E_1E_2
(22)
第2层=E_2E_3-E_3E_1+E_1E_2
(23)
F_3级=E_2E_3+E_3E_1-E_1E_2
(24)
表格_0=E_2E_3+E_3E_1+E_1E_2
（25）
=e_0e_1e_2e_3
(26)
第0组=E_1E_2E_3+2abE_1E_2+2bcE_2E_3+2caE_3E_1
(27)
g_1级=E_1E_2E_3-2abE_1E_2+2bcE_2E_3-2caE_3E_1
（28）
第二代=E_1E_2E_3-2abE_1E_2-2bcE_2E_3+2caE_3E_1
(29)
g_3=E_1E_2E_3+2abE_1E_2-2bcE_2E_3-2caE_3E_1
(30)

继科拉瓦拉（1947）之后

第页=（R+d）/R
(31)
q个=（R-d）/R
(32)

继里奇洛（1830）之后。

双中心三角形的方程(n=3)也就是说，任何三角形都可以写为

a+b=c
(33)
（R+d）^（-1）+（R-d）^（-1）=R^（-1-）
(34)
平方（R-d-R）+平方（R+d-R）=平方（2R）
(35)
（p-1）（q-1）=1
(36)

（Richelot 1830），或

R^2-2Rr-d^2=0
(37)

（施泰纳1827年；加布里埃尔·马雷1912年，第497-501页；科拉瓦拉1947年；阿尔茨海勒法院1952年，85至87页；威尔斯1992年）。后者有时被称为欧拉三角形公式.

对于双中心四边形(n=4)，半径和偏移量由公式连接

a^2+b^2=c^2，
(38)

（科拉瓦拉1947年），其范围扩大到

1/（（R+d）^2）+1/（R+d^2）=1/（R^2）
(39)

（Davis；Durége；Casey 1888，第109-110页；F.Gabriel-Marie 1912，第321和814-816页；Johnson 1929；Dörie 1965）。这也可以写成

（R^2-d^2）^2=2r^2（R^2+d^2），
（40）
（R+R+d）（R+R-d）（R-R+d
(41)

（斯坦纳1827），或

（p^2-1）（q^2-1
(42)

（里奇洛1830）。

双中心的关系五角形(n=5)是

r（r-d）=（r+d）平方（（r-r+d）（r-r-d））+（r+d）平方（2R（r-r-d））
(43)

（斯坦纳1827）或

4p^2q^2（p-1）（q-1）=（p^2+q^2-p^2q ^2）^2
(44)

（里奇洛1830）。下面给出了一些替代形式

（a+b）（b+c）（c+a）=a ^3+b ^3+c ^3
(45)
（a+b+c）^3=4（a^3+b^3+c^3）
(46)
（-a+b+c）（a-b+c
（47）
|e_0 e_3 e_2；e_3 e_0 e_1；e_2 e_1 e_0 |=0
(48)
a（-a^2+b^2+c^2）+b（a^2-b^2+c^2，
(49)

和

e_0^（-1）+e_1^（-1-）+e_2^（-1+e_3^（-01）=0
(50)

（科拉瓦拉，1947年）。

对于n=6，

3（R^2-d^2）^4=4r^2（R^2+d^2
(51)

（斯坦纳1827），

4p^2q^2（p^2-1）（q^2-1
(52)

（里奇洛1830），

F_3=0，
(53)

或

E_1^（-1）+E_2^（-1-）=E_3^（-1）
(54)

（科拉瓦拉，1947年）。

对于n=7，

g_3=0
(55)

（雅各比1823年，科拉瓦拉1947年）

对于n=8个，

E_1^（-2）+E_2^（-2）=E_3^（-3）
(56)

（科拉瓦拉1947），也可以用

16p^4q^4（p^2-1）（q^2-1”）=（p^2+q^2-p^2q^2）^4，
(57)

（里奇洛1830年，雅各比1823年）。斯坦纳（1827）给出的方程式包含（至少一个）印刷错误。

对于n=9，

aF_2F_3+bF_3F_1-cF_1F_2=0。
(58)

对于n=10，

16p2q^2（p2-1）（q^2-1）[p^4q^4-（p2-q^2）^2]^2={[p^4-（p^2q^2-q^2）^2]^2+[q^4-（p2q^2-p^2）|2]^2+[p^4q^4-
(59)

（里奇洛）。

对于n=12，

64p^4q^4（p^2-1）（q^2-1={[p^4-（p^2q^2-q^2）^2]^2+[q^4-（p2q^2-p^2）|2]^2+[p^4q^4-
(60)

（里奇洛）。

对于n=14，

g_1=0。
(61)

对于n=16，

E_2^（-2）+E_3^（-2）=E_1^（-20），
(62)

（Kerawala 1947）或

64p^4q^4（p^2-1）（q^2-1={[p^4-（p^2q^2-q^2）^2]^2+[q^4-（p2q^2-p^2）|2]^2+[p^4q^4-
(63)

（里奇洛1830）。

威尔（1878）给出了求近似解的算法（d、r、r）用于带有偶数的porismn个下表给出了固定R<<1.

n个承兑交单r/r（右/右）错误
61/23/4（243）/（128）R^8
81/4（15） /4转（2955538440751415296）/（6568408355712890625）R^（16）
101/（10）平方米（10）9/（40）平方米（10）

另请参见

双中心多边形，双中心四边形，台球，圆形-线条交叉，共线，循环（Cyclic）四边形的，欧拉三角形公式，约翰逊定理，蓬塞莱横向，色情，威尔的定理

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参考文献

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参考Wolfram | Alpha

庞塞莱的色情

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“庞塞莱的色情。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html网址

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