话题

庞塞莱的色情


蓬塞莱特综合症

如果n个-侧面的Poncelet横向为给定的两个构造圆锥截面一个原点闭合,它对原点的任何位置都是闭合的。具体来说,给定一个椭圆在另一个内部,如果存在一个外切的(同时外刻内刻)n个-gon,然后是外部边界上的任意点椭圆是某个顶点外切的 n个-多边形。如果圆锥曲线被视为一个圆(凯西1888年,第124-126页)然后是一个既有内切点又有外切点的多边形(对于该多边形横截面因此闭合)称为双中心的多边形.

令人惊讶的是,这个问题与Gelfand的问题(King 1994)。

庞塞莱的porism对角线

对于平面多边形,对角线在极限点对于两个圆,而对于奇边多边形,连接线相反切点的顶点在限制指向.

Poncelets Porism反转

颠倒两者之一极限点给出了两个同心圆。然而n个-在这个过程中,直角边变成了圆弧,所以这个有点简单反转不提供自动定理的证明(如斯坦纳多孔性例如)。

Fuss(1792)导出的公式不仅适用于双中心四边形,但也有双中心五角形六角形七边形、和八角形正如斯坦纳(Fuss 1792;Jacobi 1823;Steiner1827; Dörie 1965,p.192)。Chaundy(1923)为n=3、4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18、20以及错误其他几个值的表达式(Kerawala 1947)。Richelot推导出了这个表达式对于n=11.事实上,有一个关于外半径 R(右)入侵的 对和之间的偏移圆心插入器 d日对于双中心多边形。鉴于R(右)对、和d日,定义

一=1/(R+d)
(1)
b条=1/(R-d)
(2)
c(c)=1/r。
(3)

请注意,自对R(右)、和d日是正数d<R0<a<b.

现在让我们

λ=1+(2c^2(a^2-b^2))/(a^2(b^2-c^2)
(4)
欧米茄=cosh^(-1)λ,
(5)

并定义椭圆模量 k个通过

 k^2=1-e^(-2兆)。
(6)

那么n个-将是双中心的

 sc((K(K))/n,K)=(csqrt(b^2-a^2)+bsqrt(c^2-a*2))/(a(b+c)),
(7)

哪里sc(x,k)是一个雅可比椭圆函数K(K)是一个完成第一类椭圆积分(里奇洛1830年,科拉瓦拉1947年)。科拉瓦拉(1947)能够以简单明确的形式建立许多porism,而无需诉诸椭圆函数的使用。

PonceletsClosureConst公司

对于上述两个圆,内圈上的切线可以通过求解确定

 (x2-x1)·(x2-x0)=0,
(8)

哪里

x_0个=[d;0]
(9)
x_1=[科斯特塔;辛西塔]
(10)
x2个=[d+rcospi;rsinphi],
(11)

对是内圆的半径,x个是内圈的偏移量,θ是外部的给定位置圆,和φ是切线发生时围绕内圆的角度。采取产品简化给出了

 r+dcospi-cos(phi-theta)=0。
(12)

当这一问题得到解决时φ,该线的延伸点相交使用a的标准方程可以再次找到外圆圆形线交叉.

学位dn(数字)代数方程的一b条、和c(c)对于n=3, 4, ..., 是1、2、3、4、6、8、9、12、15、16、21、24、24,32, 36, ... (组织环境信息系统A002348号; 科拉瓦拉1947)。素因子分解属于n个写成

 n=2^(alpha_0)产品_(i)p_i^(α_i),
(13)

然后dn(数字)通常由以下公式给出

 d_n=(4^(alpha_0))/8产品_(i)p_i^(2(alpha_i-1))(p_i~2-1)。
(14)

在以下表达式中,写出

e_0(电子_ 0)=a+b+c
(15)
电子1=-a+b+c
(16)
电子2=a-b+c
(17)
电子3=a+b-c
(18)
E_1(E_1)=-a^2+b^2+c^2
(19)
E_2(E_2)=a^2-b^2+c^2
(20)
E_3(E_3)=a^2+b^2-c^2
(21)
F_1级=-E_2E_3+E_3E_1+E_1E_2
(22)
第2层=E_2E_3-E_3E_1+E_1E_2
(23)
F_3级=E_2E_3+E_3E_1-E_1E_2
(24)
表格_0=E_2E_3+E_3E_1+E_1E_2
(25)
=e_0e_1e_2e_3
(26)
第0组=E_1E_2E_3+2abE_1E_2+2bcE_2E_3+2caE_3E_1
(27)
g_1级=E_1E_2E_3-2abE_1E_2+2bcE_2E_3-2caE_3E_1
(28)
第二代=E_1E_2E_3-2abE_1E_2-2bcE_2E_3+2caE_3E_1
(29)
g_3=E_1E_2E_3+2abE_1E_2-2bcE_2E_3-2caE_3E_1
(30)

继科拉瓦拉(1947)之后

第页=(R+d)/R
(31)
q个=(R-d)/R
(32)

继里奇洛(1830)之后。

双中心三角形的方程(n=3)也就是说,任何三角形都可以写为

 a+b=c
(33)
 (R+d)^(-1)+(R-d)^(-1)=R^(-1-)
(34)
 平方(R-d-R)+平方(R+d-R)=平方(2R)
(35)
 (p-1)(q-1)=1
(36)

(Richelot 1830),或

 R^2-2Rr-d^2=0
(37)

(施泰纳1827年;加布里埃尔·马雷1912年,第497-501页;科拉瓦拉1947年;阿尔茨海勒法院1952年,85至87页;威尔斯1992年)。后者有时被称为欧拉三角形公式.

对于双中心四边形(n=4),半径和偏移量由公式连接

 a^2+b^2=c^2,
(38)

(科拉瓦拉1947年),其范围扩大到

 1/((R+d)^2)+1/(R+d^2)=1/(R^2)
(39)

(Davis;Durége;Casey 1888,第109-110页;F.Gabriel-Marie 1912,第321和814-816页;Johnson 1929;Dörie 1965)。这也可以写成

 (R^2-d^2)^2=2r^2(R^2+d^2),
(40)
 (R+R+d)(R+R-d)(R-R+d
(41)

(斯坦纳1827),或

 (p^2-1)(q^2-1
(42)

(里奇洛1830)。

双中心的关系五角形(n=5)是

 r(r-d)=(r+d)平方((r-r+d)(r-r-d))+(r+d)平方(2R(r-r-d))
(43)

(斯坦纳1827)或

 4p^2q^2(p-1)(q-1)=(p^2+q^2-p^2q ^2)^2
(44)

(里奇洛1830)。下面给出了一些替代形式

 (a+b)(b+c)(c+a)=a ^3+b ^3+c ^3
(45)
 (a+b+c)^3=4(a^3+b^3+c^3)
(46)
 (-a+b+c)(a-b+c
(47)
 |e_0 e_3 e_2;e_3 e_0 e_1;e_2 e_1 e_0 |=0
(48)
 a(-a^2+b^2+c^2)+b(a^2-b^2+c^2,
(49)

 e_0^(-1)+e_1^(-1-)+e_2^(-1+e_3^(-01)=0
(50)

(科拉瓦拉,1947年)。

对于n=6

 3(R^2-d^2)^4=4r^2(R^2+d^2
(51)

(斯坦纳1827),

 4p^2q^2(p^2-1)(q^2-1
(52)

(里奇洛1830),

 F_3=0,
(53)

 E_1^(-1)+E_2^(-1-)=E_3^(-1)
(54)

(科拉瓦拉,1947年)。

对于n=7

 g_3=0
(55)

(雅各比1823年,科拉瓦拉1947年)

对于n=8个

 E_1^(-2)+E_2^(-2)=E_3^(-3)
(56)

(科拉瓦拉1947),也可以用

 16p^4q^4(p^2-1)(q^2-1”)=(p^2+q^2-p^2q^2)^4,
(57)

(里奇洛1830年,雅各比1823年)。斯坦纳(1827)给出的方程式包含(至少一个)印刷错误。

对于n=9

 aF_2F_3+bF_3F_1-cF_1F_2=0。
(58)

对于n=10

 16p2q^2(p2-1)(q^2-1)[p^4q^4-(p2-q^2)^2]^2={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p2q^2-p^2)|2]^2+[p^4q^4-
(59)

(里奇洛)。

对于n=12

 64p^4q^4(p^2-1)(q^2-1={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p2q^2-p^2)|2]^2+[p^4q^4-
(60)

(里奇洛)。

对于n=14

 g_1=0。
(61)

对于n=16

 E_2^(-2)+E_3^(-2)=E_1^(-20),
(62)

(Kerawala 1947)或

 64p^4q^4(p^2-1)(q^2-1={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p2q^2-p^2)|2]^2+[p^4q^4-
(63)

(里奇洛1830)。

威尔(1878)给出了求近似解的算法(d、r、r)用于带有偶数的porismn个下表给出了固定R<<1.

n个承兑交单r/r(右/右)错误
61/23/4(243)/(128)R^8
81/4(15) /4转(2955538440751415296)/(6568408355712890625)R^(16)
101/(10)平方米(10)9/(40)平方米(10)

另请参见

双中心多边形双中心四边形台球圆形-线条交叉共线循环(Cyclic)四边形的欧拉三角形公式约翰逊定理蓬塞莱横向色情威尔的定理

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参考文献

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参考Wolfram | Alpha

庞塞莱的色情

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“庞塞莱的色情。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html网址

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