如果
-侧面的Poncelet横向为给定的两个构造圆锥截面一个原点闭合,它对原点的任何位置都是闭合的。具体来说,给定一个椭圆在另一个内部,如果存在一个外切的(同时外刻内刻)
-gon,然后是外部边界上的任意点椭圆是某个顶点外切的
-多边形。如果圆锥曲线被视为一个圆(凯西1888年,第124-126页)然后是一个既有内切点又有外切点的多边形(对于该多边形横截面因此闭合)称为双中心的多边形.
令人惊讶的是,这个问题与Gelfand的问题(King 1994)。
对于平面多边形,对角线在极限点对于两个圆,而对于奇边多边形,连接线相反切点的顶点在限制指向.
颠倒两者之一极限点给出了两个同心圆。然而
-在这个过程中,直角边变成了圆弧,所以这个有点简单反转不提供自动定理的证明(如斯坦纳多孔性,例如)。
Fuss(1792)导出的公式不仅适用于双中心四边形,但也有双中心五角形,六角形,七边形、和八角形正如斯坦纳(Fuss 1792;Jacobi 1823;Steiner1827; Dörie 1965,p.192)。Chaundy(1923)为
、4、5、6、7、8、9、10、12、14、16、18、20以及错误其他几个值的表达式(Kerawala 1947)。Richelot推导出了这个表达式对于
.事实上,有一个关于外半径
,入侵的
和之间的偏移圆心和插入器
对于双中心多边形。鉴于
,
、和
,定义
请注意,自
,
、和
是正数
,
.
现在让我们
并定义椭圆模量
通过
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(6)
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那么
-将是双中心的
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(7)
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哪里
是一个雅可比椭圆函数和
是一个完成第一类椭圆积分(里奇洛1830年,科拉瓦拉1947年)。科拉瓦拉(1947)能够以简单明确的形式建立许多porism,而无需诉诸椭圆函数的使用。
对于上述两个圆,内圈上的切线可以通过求解确定
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(8)
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哪里
是内圆的半径,
是内圈的偏移量,
是外部的给定位置圆,和
是切线发生时围绕内圆的角度。采取点产品简化给出了
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(12)
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当这一问题得到解决时
,该线的延伸点相交使用a的标准方程可以再次找到外圆圆形线交叉.
学位
代数方程的
,
、和
对于
, 4, ..., 是1、2、3、4、6、8、9、12、15、16、21、24、24,32, 36, ... (组织环境信息系统A002348号; 科拉瓦拉1947)。让素因子分解属于
写成
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(13)
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然后
通常由以下公式给出
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(14)
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在以下表达式中,写出
继科拉瓦拉(1947)之后
继里奇洛(1830)之后。
双中心三角形的方程(
)也就是说,任何三角形都可以写为
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(33)
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(34)
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(35)
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(36)
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(Richelot 1830),或
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(37)
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(施泰纳1827年;加布里埃尔·马雷1912年,第497-501页;科拉瓦拉1947年;阿尔茨海勒法院1952年,85至87页;威尔斯1992年)。后者有时被称为欧拉三角形公式.
对于双中心四边形(
),半径和偏移量由公式连接
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(38)
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(科拉瓦拉1947年),其范围扩大到
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(39)
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(Davis;Durége;Casey 1888,第109-110页;F.Gabriel-Marie 1912,第321和814-816页;Johnson 1929;Dörie 1965)。这也可以写成
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(40)
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(41)
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(斯坦纳1827),或
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(42)
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(里奇洛1830)。
双中心的关系五角形(
)是
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(43)
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(斯坦纳1827)或
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(44)
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(里奇洛1830)。下面给出了一些替代形式
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(45)
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(46)
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(47)
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(48)
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(49)
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和
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(50)
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(科拉瓦拉,1947年)。
对于
,
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(51)
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(斯坦纳1827),
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(52)
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(里奇洛1830),
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(53)
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或
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(54)
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(科拉瓦拉,1947年)。
对于
,
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(55)
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(雅各比1823年,科拉瓦拉1947年)
对于
,
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(56)
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(科拉瓦拉1947),也可以用
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(57)
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(里奇洛1830年,雅各比1823年)。斯坦纳(1827)给出的方程式包含(至少一个)印刷错误。
对于
,
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(58)
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对于
,
![16p2q^2(p2-1)(q^2-1)[p^4q^4-(p2-q^2)^2]^2={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p2q^2-p^2)|2]^2+[p^4q^4-](/images/equations/PonceletsPorism/NumberedEquation33.svg) |
(59)
|
(里奇洛)。
对于
,
![64p^4q^4(p^2-1)(q^2-1={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p2q^2-p^2)|2]^2+[p^4q^4-](/images/equations/PonceletsPorism/NumberedEquation34.svg) |
(60)
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(里奇洛)。
对于
,
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(61)
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对于
,
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(62)
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(Kerawala 1947)或
![64p^4q^4(p^2-1)(q^2-1={[p^4-(p^2q^2-q^2)^2]^2+[q^4-(p2q^2-p^2)|2]^2+[p^4q^4-](/images/equations/PonceletsPorism/NumberedEquation37.svg) |
(63)
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(里奇洛1830)。
威尔(1878)给出了求近似解的算法
用于带有偶数的porism
下表给出了固定
.
另请参见
双中心多边形,双中心四边形,台球,圆形-线条交叉,共线,循环(Cyclic)四边形的,欧拉三角形公式,约翰逊定理,蓬塞莱横向,色情,威尔的定理
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参考文献
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庞塞莱的色情
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“庞塞莱的色情。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html网址
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